II.3 M´ ethodes de reconstructions it´ eratives
II.3.1 M´ ethodes alg´ ebriques
d’informations a priori et elles permettent de faire un traitement non invariant des pro-jections. De ce fait, elles r´esolvent naturellement les probl`emes des redondances diff´erentes et de donn´ees manquantes.
Nous rassemblons dans ce document sous l’appellation “ m´ethodes it´eratives ” les approches alg´ebriques et les approches statistiques. Historiquement les approches alg´ebriques ont ´et´e les premi`eres `a ˆetre utilis´ees par Hounsfield dans le cadre de la re-construction tomographique [9]. Ces approches cherchent `a r´esoudre num´eriquement un syst`eme lin´eaire de grande dimension avec la m´ethode de Kaczmarz ([50], [45], et [38]).
Les m´ethodes statistiques ont d’abord ´et´e utilis´ees pour r´esoudre le probl`eme de la tomo-graphie `a ´emission de position (TEP) [33]. Dans ces travaux, le faible taux de comptage des photons a conduit `a utiliser une statistique poissonnienne. Cette approche `a ensuite
´
et´e ´etendue `a la tomographie `a rayons X [18]. Notons que dans ce cas le mod`ele pois-sonnien n’est pas le plus pr´ecis car il y a la pr´esence d’un bruit ´electronique relativement important qui peux ˆetre facilement mod´elis´e par un bruit gaussien. Nous avons donc `a faire `a la somme d’un processus poissonnien et d’un bruit gaussien [20] et [16]. Nous exposerons donc dans la suite les principales approches alg´ebriques et statistiques.
II.3.1 M´ ethodes alg´ ebriques
Dans le CT, apr`es lin´earisation des mesures, nous obtenons les int´egrales des coefficients d’att´enuations de l’objet sur l’ensemble des lignes droites. Elles sont d´ecrites par les
´
equations lin´eaires. Du point de vue des m´ethodes alg´ebriques, le but de la reconstruction tomographique est de trouver les coefficients d’att´enuations inconnus en r´esolvant ces
´
equations lin´eaires.
Nous d´efinissons un objet f born´e dans un support rectangulaire Ω. f est discr´etis´e en N pixels avec N = Nf ×Nf et un pixel est d´efini par un petit carr´e, voir la figure 2.8. Il y a Mφ projections entre le φ0 et φ0 +π, o`u φ0 est la position angulaire initiale.
Les faisceaux des rayons X traversant l’objet sont mesur´es par Md cellules de d´etecteur.
La discr`etisation de la transform´ee de Radon (eq.2.1) pour la mesure de la cellule i de mani`ere suivante :
gi = X
fjsurLi,φ
fjlij (2.44)
o`u le rayon X sur la ligne droite Li,φ connecte la source et la cellule i du d´etecteur, i = (mφ−1)∗Mφ+ md, avec le num´ero des projections mφ= 1,2, ...,Mφet le num´ero de cellule de d´etecteurmd = 1,2, ..., Md. lij est la longueur d’intersection de la ligneLi,φ avec le pixel j de l’objet, ce qui repr´esente la contribution du pixel j de l’objet sur la mesure de la cellule i du d´etecteur, voir la figure2.8.
Pour tout l’objet, les ´equations peuvent ˆetre exprim´ees sous forme matricielle :
g=Hf (2.45)
avecg ∈RM le vecteur des mesures, o`u M est le nombre des mesures avecM =Mφ∗Md. La matrice de syst`eme H∈RM×N, o`u son ´el´ement hij d´ecrit la contribution du pixel j `a la mesure i du d´etecteur avec hij = lij, i=1, ..., M et j=1, ..., N.
Si la matrice du syst`eme H est inversible, la reconstruction de l’objet s’´ecrit comme
f =H−1g (2.46)
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M´ethodes de reconstructions it´eratives
Figure 2.8 – Illustration du rayon X i traversant l’image discr`ete de l’objet. Le pixel j est
´
enum´er´e par j = (j2 −1)∗Nf + j1.
o`u H−1 est l’inverse de la matrice du syst`eme H. Mais la matrice H n’est souvent pas inversible. D’abord, la matrice H n’est pas une matrice carr´ee si le nombre d’inconnus de f N n’est pas ´egal au nombre des mesures de g M. Ensuite elle n’est pas non plus inversible num´eriquement mˆeme si N est ´egal `a M avec pr´esence du bruit.
Afin de r´esoudre cette ´equation lin´eaire 2.45, Kaczmarz ([50] et [38]) a propos´e une solution it´erative. L’estimation de pixel j inconnu en (k+ 1)i`eme est exprim´ee comme suit, fj(k+1), j=1, 2, ..., N,
fj(k+1) =fj(k)+ gi−gi0(k) PN
w=1h2iwhij (2.47)
avec
gi0(k) =
N
X
w=1
fw(k)hiw (2.48)
o`u gi0(k) est la projection estim´ee de f(k) sur la ligne droite Li. Nous nous int´eressons `a la diff´erence entre les deux estimations successives δfj,
δfj(k+1) =fj(k+1)−fj(k)= gi−gi0(k) PN
w=1h2iwhij (2.49)
Les m´ethodes alg´ebriques de reconstruction tomographique bas´ees sur la m´ethode de Kaczmarz consistent `a r´esoudre l’´equation lin´eaire2.45de mani`ere it´erative. Elles peuvent
II.3.1 - M´ethodes alg´ebriques
ˆ
etre d´ecompos´ees en trois groupes : les m´ethodes ART [30], [51] et [52], les m´ethodes SIRT [31], [53] et les m´ethodes SART [32].
II.3.1.1 ART
Les m´ethodes ART sont introduites par Gordon et al en tomographie ´electronique et pho-tographie `a rayons X [30]. Gordon et al ont propos´e deux algorithmes alg´ebriques de re-construction tomographique, un algorithme alg´ebrique additif et un algorithme alg´ebrique multiplicatif (MART, acronyme de Multiplicatif Algebraic Reconstruction Technique).
En prenant en compte la contrainte de la positivit´e des coefficients d’att´enuation lin´eaire, Gordon et al ont r´e´ecrit l’´etape de mise `a jour (2.47) dans leur algorithme additif comme ci-dessous:
La contrainte de la positivit´e est syst´ematiquement satisfaite si l’initialisation de fj est positive. Une image initiale simple est utilis´ee pour tous les algorithmes dans [30] avec f(0) = TNc, o`u Tc est la somme des CALs de l’objet. Tc est calcul´e simplement,
Une approximation binaire dans la matrice du syst`eme H est utilis´ee dans [30].
hij =
1 fj ∈Li∩Ω
0 fj ∈/ Li∩Ω (2.53)
Nous avons alors PN
w=1h2iw = Ni dans l’´equation (2.47), o`u Ni est le nombre des pixels sur la ligne droite Li. La diff´erence de pixel j (2.49) dans ART devient
δfj(k+1) = gi−g0(k)i
Ni (2.54)
avec hij = 1. L’´equation2.50 est r´e´ecrite comme ci-dessous, fj(k+1)=max{fj(k)+gi−gi0(k)
Ni ,0}. (2.55)
L’approximation binaire est l’interpolation du plus proche voisin. Elle est correcte quand l’angle de projection φ = 0, parce que la longueur de l’intersection de la ligne Lφ est le nombre des pixels Ni multipli´e par la longueur unitaire de pixel. Mais elle n’est plus exacte quand φ= 45°, la longueur de l’intersection devient√
2Ni multipli´e par unit´e 42
M´ethodes de reconstructions it´eratives
de pixel. Cela peut r´esulter des artefacts avec l’´equation (2.54). Nous modifions dans la suite l’´equation 2.54 [32] et [45],
δfj(k+1) = gi Si
− gi0(k) Ni
, (2.56)
o`u Si est la longueur d’intersection du rayon X Li avec l’objet.
En plus, les images reconstruites par ART sont de plus en plus bruit´ees au cours d’it´eration [31], [32], [45] et [38]. Afin d’avoir une reconstruction moins bruit´ee, nous pouvons utiliser la m´ethode de Kaczmarz avec relaxation. D’apr`es les ´equations 2.47, 2.49 et2.56, nous mettons `a jour de fj avec relaxation comme suit :
fj(k+1) =fj(k)+$δfj(k+1) =fj(k)+$(gi
Si − gi0(k)
Ni ), (2.57)
avec le param`etre de relaxation $, $ < 1. Les ARTs avec relaxation permettent une reconstruction moins bruit´ee ([54]) mais au d´etriment de la vitesse de convergence. Une autre solution de r´eduction du bruit dans les images reconstruites est de utiliser les m´ethodes SIRT [31] et [45].
II.3.1.2 SIRT
Dans les m´ethodes ART, nous mettons `a jour un pixel `a partir d’une projection pendant une it´eration. Dans une it´eration de SIRT, un pixel n’est pas modifi´e tant que toutes les projections soient utilis´ees [31]. Les formules additives (eq.2.50) et multiplicatives (eq.2.51) sont r´e´ecrites comme suit :
• algorithme additif direct La mise `a jour d’un seul pixel avec toutes les projections permet de r´eduire l’effet d’inconsistance de certaines projections dans SIRT. Par contre, le temps de calcul est plus long pour les approches SIRT, car la mise `a jour d’un seul pixel n´ecessite toutes les projections. Afin d’obtenir la qualit´e des images identiques aux approches SIRT tout en ayant un coˆut calculatoire limit´e, Andersen et al ont propos´e les m´ethodes SARTs [32] et [45].
II.3.1.3 SART
Les m´ethodes SARTs combinent les avantages des ARTs et des SIRTs [32], [45]. Pour cela, toutes les projections sont utilis´ees pour mettre `a jour un seul pixel comme SIRT et
II.3.1 - M´ethodes alg´ebriques
un mod`ele de projection plus pertinent est ´egalement utilis´e, ce qui permet une conver-gence plus rapide que celle des SIRTs. L’approche consiste `a ´echantillonner r´eguli`erement l’intersection du rayon X avec l’objet. Le pas d’´echantillonnage est not´e δs, la contribu-tion de l’objet `a la projection est calcul´e par interpolation lin´eaire en utilisant l’´equation ci dessous. Soit f(sin) un point d’image et mi`eme l’´echantillon sur le rayons X i. Cette valeur peut ˆetre approch´ee comme suit :
f(sin) = X
j∈V(f(sin))
dijnfj (2.60)
o`uV(f(sin)) est le voisinage du point f(sin),dijn est le coefficient de pond´eration associ´e
`
a l’interpolation bilin´eaire d´ependant de la distance entre le pixel f(sin) et ses voisins, n est le num´ero de l’´echantillon,n = 1,2, ..., Ni0,(voir la figure2.9) [55] et [32]. La projection En comparant l’´equation 2.48 et l’´equation 2.61, nous obtenons hij :
hij =
Ni0
X
n=1
d0ijnδs (2.63)
Nous prenons δs ´egale `a la moiti´e de la largeur d’un pixel pour ne pas compromettre la r´esolution de reconstruction tout en ayant un coˆut de calcul r´eduit. Le pixel jfj est mis
`
a jour avec toutes les projections dans les algorithmes de SART comme ci-dessous :
fj(k+1) =fj(k)+
Les m´ethodes alg´ebriques (ART, SIRT, SART) consid`erent la reconstruction tomo-graphique comme la solution des ´equations lin´eaires. Elles sont capables de reconstruire l’objet correctement quand le nombre des projections est limit´e et sont utiles dans le cas des projection non uniformes, o`u les m´ethodes analytiques ´echouent. Mais les m´ethodes alg´ebriques ne prennent pas en compte la nature stochastique du comptage des photons X par le d´etecteur (voir dans la sous-section I.3.2.3) et de la non-lin´earit´e dˆu au spectre des rayons X polychromatiques et du diffus´e. Pour cela, les m´ethodes statistiques sont donc propos´ees et bas´ees sur les mod`eles statistiques li´es `a l’acquisition, sur les m´ethodes de maximum de vraisemblance (MV) [18] et [20] et sur les m´ethodes bay´esiennes [35], [19]
et [37].
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M´ethodes de reconstructions it´eratives
Figure 2.9 – Illustration des projections avec ´echantillonnages r´eguliers. Le cercle (en ligne virtuelle) est la zone de reconstruction effective qui contient tout l’objet.