M´ethode de la partition de l’unit´e

Un espace d’approximation compos´e de fonctions polynomiales comme l’es-pace engendr´e par une base ´el´ements finis, peut s’av´erer ˆetre inadapt´e pour appro-cher certaines solutions non r´eguli`eres. Pour ce type d’espace d’approximation, le raffinement de la taille de maille h (h-version) ou l’augmentation du degr´e des po-lynˆomes p (p-version) permet difficilement d’approcher la solution, la singularit´e de celle-ci pouvant difficilement ˆetre repr´esent´ee. Une connaissance analytique ou num´erique sur la nature de la solution, comme par exemple l’ensemble des po-lynˆomes harmoniques, solution de l’´equation de Laplace, ou les solutions asymp-totiques en pointe de fissure doit permettre en effet de construire des espaces d’ap-proximation plus pertinents et/ou de r´egularit´e d´esir´ee. La prise en compte de cette connaissance dans un espace d’approximation peut se faire via la PUM (Partition of Unity Method [Melenk et Babuˇska 1996]).

Consid´eronsT ={Ωi}^i∈I, un ensemble d’ouverts r´ealisant un recouvrement du domaine d’´etudeΩ. Chaque Ωi peut recouvrir une partie de ses voisins. De nou-velles fonctions vi sont d´efinies sur chaque patch Ωi avec i ∈ I. Ces fonctions repr´esentent soit une partie de la solution (solution asymptotique en pointe de fis-sure par exemple) soit une base de fonctions mieux adapt´ee que celle des ´el´ements finis classiques et sont telles que∀i∈I, vi ⊂H¹(Ωi∩Ω). Par ailleurs, d´efinissons

2 M´ethodes d’enrichissement traitant de la fissuration

´egalement un ensemble de fonctions {ϕi}^i∈I sur les Ωi de mani`ere `a ce qu’elles forment sur Ωune partition de l’unit´e associ´ee `a la partition T. Plus pr´esic´ement, ces fonctions doivent v´erifier :

support(ϕi) ⊂ Ωi, ∀i∈I X

i∈I

ϕi = 1 surΩ

Remarquons que les fonctions «chapeau» ´el´ements finis classiques forment une partition de l’unit´e (Figure 1.12). Dans ce cas, une fonctionϕi, i ∈ I, est associ´ee

`a un nœud et le patch Ωi ∩ Ω comprend l’ensemble des ´el´ements contenant ce nœud. On d´efinit alors l’espace d’approximation PUM sur le domaineΩde la fac¸on

Ωi

i

Figure 1.12: Choix d’une partition de l’unit´e bas´ee sur une triangulation de Ω : d´efinition du patchΩiassoci´e au nœudi

suivante : V^{P U M} =n

u(x) =X

i∈I

ϕi(x)vi(x)|vi∈Vⁱ, Vⁱ ⊂H¹(Ωi∩Ω)o

⊂H¹(Ω)

Si sur chaque patch Ωi ∩Ω, la fonction u peut ˆetre approxim´ee par une fonction vi∈Vⁱ, telle que :

ku−vikL²(Ωi∩Ω) 6 ǫ1(i) k∇(u−v_i)kL²(Ωi∩Ω) 6 ǫ₂(i)

alors la fonctionuh =P

o`uC1 etC2 sont deux constantes d´ependant uniquement de caract´eristiques de la partition T (taille des Ωi, nombre maximale de patch se recouvrant en un mˆeme point) et de l’ensemble de fonctions{ϕi}<sup>i∈I</sup>. En d’autres termes, la PUM permet de fournir une bonne approximation deusurΩd`es lors qu’une bonne approxima-tion de u sur chaque Ωi est fournie et ceci quelle que soit la partition de l’unit´e form´ee par lesϕi. Si une base ´el´ements finis classique est choisie comme partition de l’unit´e, ce r´esultat est donc valable quels que soient h ou p. Notons que l’espace d’approximation V^{P U M}, h´erite des propri´et´es des espaces locaux Vⁱ, c’est-`a-dire que la fonctionupeut ˆetre approxim´ee surΩpar les fonctions engendrant l’espace V<sup>P U M</sup> si les restrictions deu `a chaqueΩi peuvent ˆetre approxim´ees par les espaces locauxVⁱ correspondants. Par ailleurs, l’espaceV^{P U M} h´erite de la r´egularit´e de la partition de l’unit´e form´ee par les ϕi. En particulier, la r´egularit´e de la partition de l’unit´e assure, par d´efinition, la conformit´e (continuit´e entre chaque ´el´ement fini dans un espace d’approximation ´el´ements finis) de l’espace d’approximationV^{P U M}. 2.2.2 X-FEM et G-FEM

Le paragraphe 2.2.1 a montr´e que l’on pouvait approcher la solutionu sur un domaineΩpar la PUM sous la forme :

o`uv<sup>(i)</sup><sub>j</sub> est une fonction particuli`ere de l’ensemble de fonctions{v⁽ⁱ⁾_j }^j∈Ji d´efinies sur chaque Ωi et d´efinissant une bonne approximation de la solution sur Ωi. Les fonctions{ϕ_i}i∈I forment quant `a elle une partition de l’unit´e surΩet permettent d’assurer une continuit´e de la solution entre chaqueΩi. Lesa<sup>(i)</sup><sub>j</sub> sont des coefficients constants, des degr´es de libert´e PUM. Un choix classique pour les fonctions{ϕi}<sup>i∈I</sup> consiste `a prendre les fonctions de forme ´el´ements finis standards. Un domaineΩi

correspond alors au support des fonctions«chapeau»d´efinies au nœud i, c’est le domaine d’influence du nœudi (Figure 1.12). Ce choix conduit `a ce que Babuˇska et Melenk appellent la PUFEM, Partition of Unity Finite Element Method [Melenk et Babuˇska 1996].

2 M´ethodes d’enrichissement traitant de la fissuration

Dans la GFEM, Generalized Finite Element Method [Strouboulis et al. 2000 -2001], comme dans la X-FEM, eXtended Finite Element Method [Belytschko et Black 1999, Dolbow et al. 2000a, Stolarska et al. 2001, Mo¨es et al. 2002a], on inclut dans la liste des fonctions {v_j⁽ⁱ⁾}^j∈Ji d´efinies sur chaque Ωi, la fonction constantev_j⁽ⁱ⁾ = 1, ∀i∈I. Ainsi, si la liste{v_j⁽ⁱ⁾}^j∈Jine contient que cette fonction constante, la PUFEM est rigoureusement ´equivalente `a une approche ´el´ement finis classique FEM dont les fonctions de forme sont d´efinies par la partition de l’unit´e form´ee par les{ϕi}^i∈I. Ceci explique les qualificatifs Generalized et eXtended de la G-FEM et de la X-FEM. Cette version de la PUFEM inclut donc l’espace ´el´ements finis classique. Rien n’empˆeche d’inclure dans cette espace, des fonctions de forme

´el´ements finis de degr´e plus ´elev´e que l’on notera{ϕˆi}^i∈I. Ainsi, l’approximation correspondant `a ces deux nouvelles versions de la PUFEM peut s’´ecrire sous la forme : o`une correspond au nombre de nœuds dont le supportΩi est enrichi par des fonc-tions particuli`eres{v<sub>j</sub><sup>(i)</sup>}j∈J<sub>i</sub>,n<sub>i</sub>est le nombre de fonctions particuli`eres associ´ees au domaine enrichiΩi etnF EM est le nombre total de nœuds du maillage. Le nombre de degr´es de libert´en, pour le cas ouuG−X−F EM est un champ scalaire, est donc :

n =nF EM +

ne

X

i=1

ni

La G-FEM et la X-FEM ne sont donc pas des m´ethodes fondamentalement diff´erentes. La diff´erence r´eside essentiellement dans leurs motivations. Celles-ci ont donn´e lieu `a des travaux qui ont mis l’accent sur des aspects diff´erents. La G-FEM met l’accent sur la qualit´e de l’espace engendr´e par les fonctions d’enrichisse-ment afin d’obtenir une convergence optimale en ´energie de la solution (h-version et p-version). Signalons aussi que la G-FEM ´etudie le cas o`u les fonctions d’enrichis-sement peuvent ˆetre des solutions num´eriques `a des probl`emes ´el´ementaires appel´es handbooks correspondant `a des probl`emes en milieux infinis ou semi-finis. Cette technique permet de traiter des probl`emes de structures contenant plusieurs cen-taines de trous. Dans ce cas, une s´erie de handbooks sont associ´es `a un ´el´ement du maillage grossier. Les trous situ´es dans cet ´el´ements sont alors isol´es. Une s´erie de probl`emes pos´es sur un domaine contenant uniquement ces trous sont alors r´esolus pour des chargements simples de type Dirichlet ou Neumann (Figure 1.13). La G-FEM s’incrit compl`etement dans la lign´ee des travaux de Babuˇska.

La X-FEM a exploit´e essentiellement la flexibilit´e offerte par la PUM dans la g´en´eration des maillages ; les maillages n’ayant plus `a se conformer `a des surfaces

Ω

handbooks

Figure 1.13: M´ethode G-FEM : d´efinitions de handbooks r´esolus sur un ´el´ement du maillage grossier contenant trois trous

comme celles d´ecrivant une fissure par exemple. Les travaux concernant la X-FEM ont œuvr´e de fac¸on `a permettre son introduction dans le milieu industriel. Les choix d’outils appropri´es comme la technique des Level Sets [Osher et Sethian 1988, Se-thian 1999] permet de faciliter son implantation en 2D comme en 3D dans un code industriel. Cet outil Level Sets permet en effet de d´ecrire avec une grande souplesse la g´eom´etrie d’une fissure par exemple, de d´efinir les fonctions d’enrichissement associ´ees (mod´elisation de la discontinuit´e et de la solution en pointe de fissure) et de faire ´evoluer, propager, cette fissure. La X-FEM commence donc `a susciter l’int´erˆet de nombreux industriels et chercheurs. `A titre d’exemple, nous pouvons citer `a ce jour le d´eveloppement de la X-FEM dans SAMCEF de Samtech et dans le code ASTER ainsi que des projets de d´eveloppement dans RADIOSS et Cast3M.

Il faut noter la rapidit´e avec laquelle la X-FEM est pass´ee du monde scientifique (d´ebut des travaux en 1999) au monde industriel, aujourd’hui en 2005 : moins de 10 ans ! De nombreux scientifiques s’y int´eressent ´egalement, ce qui a permis de r´ealiser des ´etudes comparatives avec d’autres strat´egies comme la comparaison entre l’approche des fortes discontinuit´es (SDA) et la X-FEM faite par Dumstorff et Meschke [Dumstorff et al. 2003] ou celle r´ealis´ee par Jir´asek et Belytschko [Jir´asek et Belytschko 2002]. Actuellement, les d´eveloppements r´ecents concernant la X-FEM visent `a rendre la m´ethode plus robuste [B´echet et al. 2004] afin d’atteindre les taux de convergence optimaux attendus [Laborde et al. 2004].