4.2 Redondance dans le formalisme des fonctions de tâche
4.2.1 Etat de l’art
Plusieurs stratégies de commande ont été proposées pour réguler à zéro plusieurs tâches simultanément. Dans certains cas, les tâches définies agissent séparément sur des liaisons ou des degrés de liberté différents. Il est alors possible de mettre en place des approches dites "partitionnées" comme dans [Deguchi, 1998, Malis, 1998, Cadenat, 1999, Corke and Hutchinson, 2001, Folio, 2007, Durand Petiteville, 2012]. Cependant, ces approches dé- pendent de chaque application et il est souvent difficile de partitionner ainsi les fonctions de tâches à réaliser.
Il est préférable d’établir une stratégie de commande qui prenne en compte les dy- namiques souhaitées de toutes les tâches à réaliser. Une première solution envisageable consiste à pondérer les lois de commande garantissant la réalisation indépendante de chacune des tâches à réaliser. Il vient alors [Malis et al., 2001] :
˙ q = h1q˙1+ h2q˙2+ . . . + hmq˙m m X i=1 hi = 1 (4.2)
Les termes de pondérations hi peuvent être utilisés pour imposer une priorité, les tâches
les plus importantes se voyant alors attribuer les coefficients les plus grands. Mais cette loi de commande ne garantit pas le respect des dynamiques imposées séparément à chaque fonction de tâche, ni la parfaite exécution de chacune d’entre elles.
Une meilleure solution consiste à définir une fonction de tâche globale constituée de l’ensemble des m fonctions de tâche définies précédemment. La loi de commande tenant compte de toutes les tâches a pour expression [Kermorgant, 2011, Kermorgant and Chau- mette, 2011c] : ˙ q = J1 J2 : Jm + · ˙e∗1 ˙e∗2 : ˙e∗m (4.3)
Rappelons que les ei sont des vecteurs et non des scalaires. Ce choix permet d’obtenir les
vitesses permettant de respecter au mieux les contraintes et les dynamiques imposées par toutes les tâches. Mais ce système d’équations peut ne pas avoir de solution ou ce jacobien étendu peut être une matrice mal conditionnée. La commande peut alors être aberrante. Pour répondre à ce problème, des approches hiérarchiques permettant d’ordonner les tâches selon un ordre de priorité ont été proposées. Ces approches utilisent la méthode du gradient projeté [Nakamura et al., 1987, Siciliano and Slotine, 1991, Samson et al., 1991]. Elles calculent l’espace des mouvements disponibles pour les tâches secondaires de sorte qu’ils soient compatibles ou n’aient aucun effet sur la dynamique de la tâche principale. Les vitesses calculées pour exécuter les objectifs non prioritaires sont donc projetées dans cet espace avant d’être ajoutées à la loi de commande de la tâche principale. La compatibilité des tâches est donc garantie par construction, ce qui présente un avantage non négligeable lorsque le nombre de degrés de liberté ou de contraintes à satisfaire est important. Le formalisme des tâches redondantes [Samson et al., 1991] s’inscrit dans ce cadre et cherche à exécuter les tâches secondaires sans modifier la dynamique de la tâche principale. Dans les cas d’une tâche principale e1 et d’une tâche secondaire e2, la loi
de commande permettant de réaliser cet objectif est donnée par [Siciliano and Slotine, 1991, Samson et al., 1991] :
˙
q = ˙q1+ P1q˙2 (4.4)
où P1 est un projecteur dans le noyau de J1. L’expression la plus usitée de ce projecteur
est [Siciliano and Slotine, 1991] :
Pi = I − Ji+Ji (4.5)
qui est un cas particulier de l’opérateur de projection préconisé dans [Samson et al., 1991]. Cette loi de commande garantit donc la convergence de la tâche e1, tandis que la tâche e2
est réalisée au mieux en utilisant les degrés de liberté restés disponibles [Cadenat et al., 2001].
Dans le but d’améliorer l’exécution de la tâche secondaire e2, il est possible de prendre
en compte l’impact de la loi de commande pour la tâche prioritaire sur la dynamique de la tâche secondaire. La loi de commande suivante permet d’atteindre cet objectif [Siciliano and Slotine, 1991] :
˙
q = ˙q1+ (J2P1)+( ˙e∗2− J2q˙1) (4.6)
Cette loi ne change pas la dynamique de la tâche prioritaire et calcule le mouvement qui respecte le plus la dynamique souhaitée de la tâche secondaire. Les travaux de Chia- verini [Chiaverini, 1997] ont mis en évidence les singularités algorithmiques de cette loi de commande, qui paradoxalement, donne le même résultat que celle du jacobien étendu (4.3). En effet, tout comme ce dernier, elle cherche à respecter les deux dynamiques. Elle souffre donc des mêmes limitations et présente les mêmes avantages.
Une autre solution consiste à utiliser le concept de redondance directionnelle introduit par Mansard et Chaumette [Mansard and Chaumette, 2009]. La commande calculée pour la tâche prioritaire seule ayant pour but de la faire converger vers zéro, ils ont eu l’idée d’autoriser toute partie de la commande de la tâche secondaire qui prise séparément fait décroitre la fonction d’erreur principale ou n’impacte pas sa dynamique. Ils ont donc proposé un projecteur particulier plus permissif que celui donné par l’équation (4.5). Ce projecteur P (Je 1, ˙q1, ˙q2) dépend donc également de la loi de commande de la tâche secondaire. La loi de commande ainsi obtenue est donnée par :
˙
q = q˙1+P (Je 1, ˙q1, ˙q2) · ˙q2 (4.7)
L’expression quelque peu complexe du projecteur peut être retrouvée dans [Mansard and Chaumette, 2009]. Le revers de la médaille est que le système réagit comme si le correcteur
avait un fort gain, ce qui peut dégrader la stabilité du système. Pour pallier ce problème, il a été nécessaire, à l’intérieur du projecteur, de limiter l’apport de la seconde tâche en fonction de la commande synthétisée pour la première.
Enfin, nous pouvons également mentionner les travaux de Marey [Marey and Chau- mette, 2010]. Dans ses travaux, il définit un projecteur adapté de (4.5) où la tâche prio- ritaire est réduite à une tâche de dimension 1. De cette manière, un plus grand nombre de degrés de liberté est disponible pour la tâche secondaire, facilitant sa réalisation. Mais lorsque la norme de la tâche prioritaire devient faible (i.e., au voisinage du but), il doit basculer vers le projecteur classique (4.5).