Etat d’équilibre du liquide électron-trou

2.5.1 Equilibre à température nulle

L’équilibre thermodynamique impose que l’énergie libre d’une paire électron-trou doit être mini- mum. A température nulle, cette énergie libre est égale à l’énergie interne par paire, somme des énergies cinétique, d’échange et de corrélation :

Feh= 3 5  EFe + E h F 

+ Eechange´ + Ecorr´elation, (2.35)

où les énergies d’échange et de corrélation sont celles mentionnées à la section 2.4.

L’énergie de liaison du liquide EG est donnée par le minimum de la courbe Feh(rs) à T=0K et

est atteinte pour la densité d’équilibre n0 (ou pour une distance interparticulaire d’équilibre r0). La

différence entre l’énergie de liaison du liquide et l’énergie de liaison de l’exciton s’appelle travail de

sortie et est notéΦ. Elle représente l’énergie à fournir à une paire électron-trou dans le liquide pour la

placer dans la phase gazeuse excitonique environante (se reporter à la section sur les diagrammes de phase 2.6).

La condition du minimum de l’énergie libre pour avoir une phase condensée stable n’est pas la seule au regard du mécanisme de condensation de Fermi-Dirac. En effet, si| EG|<| Ex |, alors le liquide est

instable vis-à-vis de la formation du gaz d’excitons et la phase condensée ne pourra pas se former. Les énergies par paire calculées dans les approches de Inoue et Hanamura (IH), Combescot et No-

2.5. Etat d’équilibre du liquide électron-trou n0 r0 −EG(n0) Φ χ EFe E h F ∆EBGR CN 3.1 0.87 21 6.3 - 7.2 14.1 -43.4 VK 3.2 0.86 22.1 7.4 5.8 10−3 7.3 14.4 -43.8

TAB. 2.1: Variables du liquide eh à l’état fondamental. Toutes les énergies sont en meV, les densités en unité de 1018cm−3et les distances particulaires en unité du rayon de Bohr excitoniqueax. La compressibilitéχ est exprimée dans les unités légales SI

(i. e. Pa−1). Les niveaux de Fermi et les énergies de renormalisation du gap à l’équilibre sont calculés à partir de l’équation 2.5 à 0K (et 2.34 respectivement) et des densitésn0du tableau.

zières (CN), et Vashishta et Kalia (VK) sont reportées sur la figure 2.8. On voit que l’état fondamental calculé par IH est instable vis-à-vis de l’exciton car dans cette méthode, l’énergie de corrélation est sous estimée. L’énergie de Hartree-Fock calculée par CN ne suffit pas elle aussi pour que le liquide soit stable. La stabilité est atteinte lorsque l’on rajoute l’énergie de corrélation, ce qui nous amène à conclure à la très grande importance de cette énergie dans les processus de stabilisation du liquide. Comme l’état fon- damental calculé par (VK) se rapproche beaucoup de (CN), nous préfèrerons utiliser l’expansion 2.33 qui présente l’immense avantage d’avoir une expression analytique simple, à la différence des calculs RPA de CN (qui sont rigoureux).

Le tableau 2.1 donne un comparatif des grandeurs de l’état d’équilibre (densité, niveau de Fermi14...) du liquide électron-trou dans le silicium obtenues avec les approches (CN) et (VK). Dans ce tableau, la compressibilitéχ du liquide est χ−1 = n3₀∂2Feh

∂n2



n=n0[28] et traduit la variation du volume du liquide

sous l’effet de la pression. Pour les liquides usuels et à température ambiante,χ_{≈ 5 10}−10Pa−1, ce qui est 7 ordres de grandeur inférieur à la valeur calculée pour le liquide eh, que l’on peut donc qualifier de liquide le plus compressible. Pour cette raison, on peut s’attendre à des écarts à l’équilibre sous l’effet de la pression beaucoup plus marqués que pour l’eau par exemple, la densité observée différant alors notablement den0.

2.5.2 Equilibre à température non nulle. Transition liquide-plasma

A température non nulle, la condition d’équilibre thermodynamique du liquide est la même qu’à 0K et implique que l’énergie libre soit minimum. Cette énergie n’est plus égale simplement à l’énergie interne par paire du fait du désordre apparaissant avec la température et entraînant par la même une augmentation de l’entropie. En identifiant l’énergie interne à l’énergie libre à 0K, l’expression pour l’énergie libre à une température quelconque devient Feh(rs, T ) = Feh(rs, 0)− T Seh(rs, T ) [30].

L’entropieSeh du liquide électron-trou augmentant avec la température T (Seh > 0), Feh est alors une

14_{On voit que le niveau de Fermi des trous est bien inférieur à 40 meV qui est l’énergie de levée de dégénérescence de la}

fonction décroissante de T à densité fixée. Comme la capacité calorifique par paire est reliée à l’entropie par la relationCeh(rs, T ) = T (∂Seh/∂T )_rs, alors l’énergie libre devient15

Feh(rs, T ) = Feh(rs, 0)− T

Z T

0

Ceh(rs, T )

T dT. (2.36)

La donnée de la capacité calorifique [31] permet de calculer au second ordre en T

Feh(rs, T ) = Feh(rs, 0)−

1

2γ (rs) (kBT )

2_{, (2.37)}

où le premier terme du membre de droite est donné par 2.35 etγ (rs) = _¯h12



π 3n(rs)

2/3

(me+ mh), avec

n (rs) donné par 2.14 (Feh(rs, T ) est exprimée ici en unités non réduites du rydberg excitonique). La

minimisation de l’énergie libre pour une température donnée permet de trouver la variation de la densité à l’équilibre en fonction de T. On trouve, suivant l’approche (VK), que

n (T )≈ n0− 2.3 10−3T2, (2.38)

oùn0est exprimé en cm−3. Cette dernière relation n’est valable qu’à basse température, là où l’évapo-

ration des paires du liquide dans le milieu environant sous forme d’excitons est négligeable (condition

kBT ≪ Φ).

A plus haute température, la phase liquide et la phase gazeuse excitonique coexistent (voir la sec- tion 2.6 sur les diagrammes de phase). La condition d’équilibre thermodynamique implique que le po- tentiel chimique d’une paire électron trou dans le liquide ait un minimum local16. La température pour laquelle il n’y a plus de minimum local est appelée température critiqueTc et correspond à une densité

critiquencsituée sur le point d’inflexion de la courbeµeh(n). Le point (nc, Tc) est obtenu pour

 ∂µeh(n, T ) ∂n  nc,Tc = ∂ 2_µ eh(n, T ) ∂n2  nc,Tc = 0. (2.39) Les valeurs des paramètres critiques calculés avec (VK) sontnc = 0.64 1018cm−3etTc = 29.5K.

Au delà de cette température les paires électron-trou ne constituent plus un liquide mais sont plus liées que l’exciton. Cette nouvelle phase est un gaz (plasma) d’électrons et de trous dont la densité se situe entre celle du liquide (considéré comme incompressible vis-à-vis de la nouvelle phase) et celle du gaz d’excitons. On l’appellera plasma d’électron-trou (EHP). L’énergie libre n’a plus de minimum local, ce qui a pour effet de rendre la densité du plasma très dépendante du niveau d’excitation laser.

La figure 2.9 reporte l’énergie libre et le potentiel chimique par paire en fonction de n pour des

températures inférieures et supérieures à Tc. Le point d’inflexion de la courbe du potentiel chimique

15

Cette approximation revient à décomposer l’énergie libre du liquide comme la somme de l’énergie libre d’un gaz de fermions sans interaction à température quelconque et de l’énergie d’échange et de corrélation de ceux-ci à température nulle (on se souvient en effet quekBT ≪ ¯hωp, avecωpfréquence plasmon).