Etape d’homogénéisation

Il existe de nombreux modèles dans le cas de composite biphasé unidirectionnel [24]. Parmi ceux-ci, on peut citer les plus connus :

60

- Les bornes de Voigt [1889,1910] et Reuss [1929], de Hashin et Shtrikman [1963], de Willis [1977] ou de Weng [1992], qui encadrent les propriétés élastiques, mais ne les évaluent pas ;

- Méthodes d’Eshelby [1957] pour les milieux dilués, de Mori-Tanaka [1973] et autocohérente [Hershey, 1954], les plus utilisées ;

Dans tous les cas, les mêmes hypothèses de base sont prises en compte : - Les hétérogénéités et la matrice sont linéairement élastiques et isotropes ;

- Les renforts sont axisymétriques, identiques en forme et taille, et caractérisés par un rapport de forme s = l / d ;

- Les hétérogénéités et la matrice sont parfaitement liées aux interfaces et cela perdure pendant la déformation [24].

III.5.2.3.1. Bornes de Voigt et Reuss

Les bornes de Voigt et Reuss donnent les estimations les plus simples de A et B, et des propriétés mécaniques du composite. L’approche de Voigt [1889,1910], dite en « déformation uniforme », basée sur l’hypothèse que le renfort et la matrice supporte la même déformation :

ε

ε

f

=

_{, soit d’après l’équation 3.18,}

A

=

I

_{(où I est le tenseur identité d’ordre 4) et donc}

l’équation 3.25 devient [24]:

(

f m

)

f m Voigt

C

v

C

C

C

=

+

−

Équation 3.38 Ce résultat forme une borne supérieure des propriétés du composite.

Parallèlement, le modèle de Reuss [1929], dit en « contrainte uniforme », repose sur l’hypothèse que le renfort et la matrice supporte la même contrainte :

σ

f

=σ

,et d’après l’équation 3.26, on obtient [24]:

(

f m

)

f m uss

S

v

S

S

S

_Re

=

+

−

Équation 3.39 Cela constitue une borne inférieure de la rigidité du composite.

Chapitre III : La Piézoélectricité et Les matériaux Piézoélectriques Les modèles d’homogénéisation en élasticité linéaire

61 III.5.2.3.2. Problème d’Eshelby de l’inclusion équivalent

On considère un solide infini, de rigidité

C

m , séparé en deux domaines: l’inclusion et la matrice. L’inclusion est alors soumise à une transformation, telle que si elle était isolée, elle acquerrait une déformation uniforme

ε

T , libre de contrainte. Cette déformation

ε

T peut être acquise lors d’une transformation de phase ou lors de la combinaison d’un changement de température et d’un coefficient de dilatation différent dans l’inclusion. Mais en réalité, l’inclusion est entourée par la matrice, qui va gêner sa déformation et ainsi quand la transformation a lieu, il se crée dans l’ensemble des deux domaines un champ de déformation compliqué

( x)

c

ε

_{, qui dépend de sa forme avant la transformation [24].}

La contrainte dans la matrice est :

)

(

:

)

(x

C

m c

x

m

_ε

σ

=

Équation 3.40

Dans une inclusion ellipsoïdale, Eshelby a montré que la déformation due à la transformation ne contribue pas à la contrainte , d’où :

(

c T

)

m i

C

ε

ε

σ

=

:

−

Équation 3.41

Le résultat déterminant du travail d’Eshelby permet de montrer que dans une inclusion ellipsoïdale,

ε

T est uniforme et est relié à

ε

c par :

T c

E

ε

ε

=

:

Équation 3.42

Dans un deuxième temps, Eshelby a démontré l’équivalence entre une inclusion hétérogène (de rigidité différente

C

f et sans déformation due à la transformation) et une inclusion homogène, de même forme, toutes deux entourées d’une matrice infinie (Figure 31) [24] .

62

Les deux corps étant soumis à une déformation infinie

ε

, on cherche que doit être

ε

T , de sorte qu’ils possèdent les mêmes champs de contraintes et déformations. D’où l’équation [24]:

(

c T

)

f

(

c

)

m i

C

C

ε

ε

ε

ε

ε

σ

=

:

+

−

=

:

+

Équation 3.43

Et d’après l’équation 3.36, on obtient :

(

)

(

m f m

):ε

T

(

f m

):ε

C

C

E

C

C

C

+

−

=

−

−

Équation 3.44

III.5.2.3.3. Modèle d’Eshelby en solution diluée

Le modèle d’Eshelby [1957, 1961 ; Mura, 1991] considère que chaque renfort est entouré d’un milieu infini ayant les propriétés de la matrice et qu’aucune interaction n’existe entre les renforts : cela nécessite qu’ils soient suffisamment éloignés les uns des autres, d’où le nom de solution diluée [26].

Dans un tel composite, la déformation moyenne est identique à la déformation appliquée

ε

et la déformation dans une fibre est uniforme et vaut

ε

f

=

ε

+ε

c . En utilisant cette dernière relation dans le formalisme de l’équation 3.38, on peut obtenir la relation entre

ε

f

etε

[26] :

(

)

[I

+

E

:S

m

C

f

−C

m

]ε

f

=

ε

Équation 3.45 et en comparant avec l’équation 3.18, on peut identifier le tenseur de localisation des déformations pour la méthode d’Eshelby [24] :

(

)

[

₊

_:

₋

]

−1

=

m f m Eshelby

C

C

S

E

I

A

Équation 3.46

On constate que ce tenseur est indépendant de la fraction volumique des renforts, puisque la solution d’Eshelby n’est valable que pour les solutions diluées. Par conséquent, les propriétés élastiques obtenues à partir des équations 3.25 et 3.26 seront correctement prédites pour de faibles fractions volumiques, typiquement jusqu’à

v

f

=1%

.

Pour des fractions volumiques plus importantes, l’interaction entre renforts doit être prise en compte dans les modèles pour obtenir des estimations réalistes ; les méthodes présentées dans la suite incluent ce point délicat [7].

Chapitre III : La Piézoélectricité et Les matériaux Piézoélectriques Les modèles d’homogénéisation en élasticité linéaire

63

Les expressions analytiques du tenseur d’Eshelby E dans le cas d’une matrice isotrope et pour différentes formes de renforts sont données dans l’annexe 1. Dans le cas plus général où la matrice est anisotrope, il n’y a pas de formulation explicite du tenseur d’Eshelby, qui doit être calculé à partir des intégrales G des fonctions de Green

(

ipjq jpiq

)

pqmn ijkl

C

G

G

E

=

+

π

8

1

Équation 3.47 où C est la matrice de rigidité du milieu.

III.5.2.3.4. Méthode de Mori Tanaka

Le modèle a été développé initialement par Mori et Tanaka [1973], dans le cas d’un matériau contenant une quantité assez élevée d’inclusions, de mêmes propriétés que la matrice [24].

On considère un composite contenant un ensemble de fibres identiques et alignées. Lorsqu’il est soumis à une déformation macroscopique

ε

, la déformation moyenne dans la matrice est la somme de

ε

et d’un terme de perturbation

ε

p , due à toutes les fibres :

ε

m

=

ε

+

ε

p [24].

Pour trouver la déformation moyenne dans les renforts

ε

f , on utilise la méthode de l’inclusion équivalente en considérant le cas d’un milieu (de rigidité

C

m et contenant le renfort) soumis à la déformation macroscopique

ε

m . On trouve que :

m Eshelby f

A

ε

ε

=

Équation 3.48

donc d’après l’équation 3.22 :

Eshelby MT

A

Aˆ

=

Équation 3.49

On en déduit le tenseur de localisation des déformations pour le modèle de Mori- Tanaka, d’après (équation 3.23) [24]:

(

)

[

]

1

1−

+

−

=

Eshelby _{f f} Eshelby MT

A

v

I

v

A

A

Équation 3.50

64

Et les caractéristiques élastiques du composite sont obtenues à partir des équations 3.25 et 3.26 [24].

Dans le chapitre suivant, nous examinons les composites à base des matériaux Piézoélectriques. L’accent sera mis sur les composites Piézoélectriques de type 1.3 et la détermination de l’équation constitutive du composite Piézoélectrique.

65

Dans le document Modélisation et simulation des matériaux composites Piézoélectriques Cas du SiO2 (Page 59-65)