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a un ordre suffisamment ´elev´e (25 ici).
2.9 R´esum´e du chapitre
Dans ce chapitre, nous avons rappel´e les principales m´ethodes d´ej`a propos´ees dans la litt´erature. Nous avons commenc´e par les m´ethodes non param´etriques comme FV et Capon qui pr´esentent des performances limit´ees par rapport aux autres m´ethodes, surtout en ce qui concerne la r´esolution. De plus, ces deux m´ethodes souffrent du probl`eme des lobes secondaires dans le cas des ALNU. D’autres m´ethodes non param´etriques ont ´et´e propos´ees dans le cas des ALNU comme GAPES et MAPES mais pour des probl´ematiques l´eg`erement diff´erentes.
Ensuite, nous sommes pass´es aux m´ethodes param´etriques. Il existe les m´ethodes qui se basent sur le crit`ere de vraisemblance, en particulier la m´ethode MV qui pr´esente de bonnes performances mais souffre du grand coˆut calculatoire. L’algorithme EM est une approche g´en´erale it´erative des estim´ees MV, il pr´esente aussi de bonnes performances mais n´ecessite un grand nombre d’it´erations pour converger. L’algorithme EM peut ˆetre exploit´e d’une meilleure fa¸con en changeant la construction des donn´ees compl`etes. C’est le travail du chapitre 5. Ces deux m´ethodes peuvent ˆetre appliqu´ees aux ALU et aux ALNU.
Les m´ethodes `a HR sont aussi des m´ethodes param´etriques qui se basent sur les propri´et´es des espaces propres de la matrice de covariance des donn´ees. Bien qu’elles soient sous-optimales, elles poss`edent des performances proches de l’estimateur au sens du MV tout en pr´esentant une complexit´e calculatoire relativement faible. Spectral-MUSIC est une m´ethode utilis´ee fr´equemment. Elle peut ˆetre utilis´ee dans les cas des ALU et ALNU. Pour r´eduire sa complexit´e, Root-MUSIC a ´et´e propos´ee dans le cas des ALU : elle transforme la recherche des maxima du crit`ere de Spectral MUSIC en une recherche des racines d’un polynˆome. Nous allons d´emontrer au chapitre 3 que Root-MUSIC est applicable directement dans le cas des ALNU lacunaires. ESPRIT consiste `a exploiter l’invariance par translation du mod`ele sinuso¨ıdal. Cette m´ethode est tr`es simple, mais elle ne peut ˆetre appliqu´ee qu’aux ALU et les antennes pr´esentant une g´eom´etrie sp´ecifique. Par contre, si l’ALNU est interpol´ee en une AVLU, ESPRIT pourra ˆetre appliqu´ee. IQML est aussi une recherche des racines d’un polynˆome, mais elle est it´erative donc elle n´ecessite un temps calculatoire plus grand et ne peut ˆetre appliqu´ee que pour les ALU. D’autres approches n´ecessitent un pr´e-traitement des donn´ees pour pouvoir appliquer les m´ethodes `a HR aux ALNU. Entre autres, on trouve les m´ethodes qui se basent sur l’interpolation d’une AVLU. Cette interpolation peut ˆetre faite par secteur comme la m´ethode de Friedlander, mais elle souffre de l’erreur d’interpolation introduite qui est ind´ependante du RSB. Ou bien l’interpolation peut aussi se faire en se basant sur le mod`ele du signal en utilisant l’algorithme EM. Apr`es avoir obtenu l’AVLU, une m´ethode `a HR comme IQML peut ˆetre appliqu´ee pour estimer les DDA. EM-IQML n´ecessite deux boucles de convergence, donc son temps de calcul est tr`es important. Nous proposons de remplacer IQML par ESPRIT dans le chapitre 5.
Une autre approche pour appliquer les m´ethodes `a HR dans le cas des ALNU utilise la matrice de covariance o`u cette matrice Toeplitz est augment´ee pour obtenir une matrice de covariance semblable `a celle d’une ALU. Cette m´ethode ne peut ˆetre appliqu´ee que pour les ALNU `a MR et pr´esente des performances moins bonnes que d’autres approches.
La m´ethode des statistiques d’ordre sup´erieur calcule les cumulants d’ordre 4 des donn´ees de mani`ere `a avoir une matrice de covariance ayant la structure de celle d’une ALU. Cette m´ethode a comme but aussi de pouvoir appliquer les m´ethodes `a HR aux ALNU. Cette m´ethode exige
un grand coˆut calculatoire et un grand nombre d’´echantillons pour obtenir une bonne pr´ecision des matrices cumulants.
Enfin, nous avons pr´esent´e des m´ethodes qui se basent sur le d´eveloppement de Fourier, comme la m´ethode propos´ee par R¨ubsamen et Gershman qui ´etend le concept de Root-MUSIC pour les ALNU `a g´eom´etrie arbitraire. Elle utilise le d´eveloppement tronqu´e en s´erie de Fourier de la fonction spectre de MUSIC pour reformuler le probl`eme d’estimation des DDA en tant que probl`eme de recherche de racines d’un polynˆome. Il y a aussi la m´ethode de technique de s´eparation du vecteur directeur qui aussi n´ecessite la recherche de racines d’un polynˆome et peut ˆetre appliqu´ee aux ALNU `a g´eom´etrie arbitraire. Le principe est de mod´eliser le vecteur direction comme le produit d’une matrice caract´eristique d´ecrivant le r´eseau lui-mˆeme et un vecteur avec une structure de Vandermonde contenant le param`etre angulaire inconnu.
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Chapitre 3
Root-MUSIC pour les r´eseaux
lacunaires
3.1 G´en´eralit´e
Dans le chapitre 2, nous avons ´etudi´e les m´ethodes `a haute r´esolution. Ces m´ethodes se basent sur les propri´et´es des sous-espaces bruit et signal obtenus en d´ecomposant la matrice de covariance. Nous avons vu que ces m´ethodes pr´esentent de bonnes performances et sont capables de r´esoudre des sources ´etroitement espac´ees. Mais dans la litt´erature, ces m´ethodes ont ´et´e con¸cues pour les ALU seulement (`a l’exception de Spectral MUSIC). Nous allons d´emontrer que Root-MUSIC peut ˆetre directement appliqu´ee dans le cas des ALNU. Cette m´ethode est tr`es simple et surmonte le probl`eme des lobes secondaires rencontr´e en utilisant l’algorithme de FV.
Parmi les m´ethodes `a haute r´esolution, l’algorithme Spectral MUSIC (voir section 2.3.1) calcule un crit`ere spatial `a partir du sous-espace bruit et d´etermine les DDA en recherchant les principaux maxima du crit`ere. Cette recherche de N maxima `a une dimension pr´esente donc un coˆut calculatoire ´elev´e. On a vu que cette recherche peut ˆetre remplac´ee par une recherche des racines d’un polynˆome dans Root-MUSIC [5] (voir section 2.3.2). Root-MUSIC a ´et´e d’abord propos´ee pour les ALU pour profiter de la structure Vandermonde du vecteur direction.
On trouve dans la litt´erature plusieurs propositions afin d’utiliser Root-MUSIC pour les ALNU. La plupart font appel `a un pr´e-traitement des donn´ees avant de pouvoir l’appliquer. Ce pr´e-traitement peut ˆetre une interpolation de l’ALU en une Antenne Virtuelle Lin´eaire Uniforme (AVLU). Par exemple, Friedlander [27] (voir section 2.4.1) propose une interpolation par secteur pour former l’AVLU et ensuite Root-MUSIC est appliqu´ee pour l’estimation des DDA. Un autre type d’interpolation est bas´e sur le mod`ele du signal, comme la m´ethode EM-IQML propos´ee par Weiss [80] (voir section 2.4.2). Cette m´ethode est limit´ee aux r´eseaux non uniformes lacunaires. Dans une autre approche [13] (voir section 2.6), apr`es avoir fait un calcul des statistiques d’ordre 4, il est possible d’appliquer Root-MUSIC `a la matrice des cumulants. Parmi les m´ethodes propos´ees pour les cas des antennes al´eatoires, [62] (voir section 2.7.1) exploite la p´eriodicit´e du crit`ere de Spectral MUSIC et fait un d´eveloppement tronqu´e de Fourier de cette fonction et transforme ainsi le probl`eme en une recherche de racines d’un polynˆome. Une autre approche [6] (voir section 2.7.2) consiste `a transformer la matrice direction de l’ALNU en un produit de deux matrices : la premi`ere d´epend seulement des param`etres du r´eseau et la seconde d´epend seulement des angles. Cette structure Vandermonde permet de cr´eer un polynˆome dont les racines fournissent les DDA.
L’ensemble des approches pr´ec´edentes effectue donc un pr´etraitement afin de pouvoir em-ployer Root-MUSIC. Dans ce chapitre, nous d´emontrons que contrairement `a ce qu’on peut parfois lire dans la litt´erature, Root-MUSIC est non seulement applicable au cas des ALU mais aussi dans le cas des ALNU lacunaires. Le type de ce r´eseau n’est pas limit´e aux r´eseaux `a minimum de redondance. De plus, une ´etude analytique nous permet d’´etablir la variance de cet estimateur. Enfin, des simulations sont men´ees pour ´evaluer num´eriquement les performances de Root-MUSIC. De mˆeme, nous montrons dans la partie simulations comment Root-MUSIC surmonte le probl`eme des lobes secondaires par rapport `a l’algorithme FV.