Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons pr´esent´e la m´ethode Root-MUSIC dans les cas des ALNU la-cunaires. Cette m´ethode est plus simple que les autres algorithmes qui n´ecessitent une ´etape d’interpolation ou un autre traitement. Root-MUSIC pr´esente de bonnes performances en terme d’EQM, qui sont proches de l’estimateur MV et la BCR. Sa principale limitation est que l’ALNU doit ˆetre lacunaire. De plus, nous avons effectu´e un calcul th´eorique pour exprimer la variance de la m´ethode dans le cas g´en´eral et dans le cas particulier d’une seule source et une seule observation. Nous obtenons une expression simplifi´ee qui permet de mettre en ´evidence la d´ependance des performances vis `a vis de la position des capteurs. Les r´esultats des simula-tions nous montrent les bonnes performances de Root-MUSIC. Enfin les simulasimula-tions illustrent la tr`es faible sensibilit´e de Root-MUSIC aux probl`emes de lobes secondaires, ce qui constitue un r´esultat particuli`erement int´eressant pour les antennes lacunaires.

3.5. Conclusion 49 10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 10⁰ Nombre d’échantillons (L) EQM DDA −5° DDA 10° BCR

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Chapitre 4

G´eom´etrie lacunaire et r´eduction du

nombre de capteurs

4.1 Introduction

Dans ce chapitre, nous nous concentrons sur l’´etude des avantages des ALNU lacunaires sur les ALU [20]. Nous allons appliquer Root-MUSIC sur les deux g´eom´etries et faire la comparaison des performances. Dans la litt´erature, on trouve un certain nombre de m´ethodes pour optimiser la configuration des antennes. Par optimisation, la plupart des crit`eres conduisent `a une g´eom´etrie d’antenne non uniforme. Notre but est d’´etudier les performances de toutes les ALNU lacunaires au-del`a des configurations optimales. La d´efinition du crit`ere d’optimalit´e d’une g´eom´etrie n’est pas unique. Le crit`ere `a optimiser peut ˆetre d´efini pour une m´ethode donn´ee, ou bien `a partir de la valeur de la BCR. L’optimisation par rapport `a la BCR requiert g´en´eralement de se restreindre `a une source ou un secteur. Dans ce chapitre, l’objectif principal est de comparer une ALU donn´ee avec des ALNU construites en enlevant des capteurs `a l’ALU. Nous montrons que l’on peut ´eliminer des capteurs `a l’ALU et conserver des performances sensiblement identiques `a celle de l’ALU. Cette propri´et´e pr´esente un grand int´erˆet dans un certain nombre d’applications : construire une antenne avec moins de capteurs et conservant les mˆemes performances diminue le coˆut de production. Une autre application est la possibilit´e d’´etudier les performances d’un r´eseau si certains de ses capteurs tombent en panne.

Dans la litt´erature, plusieurs articles ont ´etudi´e la configuration optimale des r´eseaux par rapport `a plusieurs crit`eres. Dans [33], les auteurs cherchent la configuration optimale pour avoir la meilleure variance asymptotique. Leur approche consiste `a optimiser num´eriquement les ex-pressions de la BCR et de la variance de MUSIC. La position optimale des capteurs obtenue apr`es optimisation tend `a former (N + 1) ”clusters”, o`u N est le nombre de sources. Deux clusters sont toujours localis´es aux extr´emit´es et les (N − 1) restants sont localis´es `a peu pr`es sym´etriquement tout au long de l’ouverture du r´eseau. De plus, les auteurs appliquent l’inter-polation de Friedlander sur cette configuration optimale des capteurs de l’ALNU et utilisent Root-MUSIC sur le r´eseau virtuel form´e ayant la mˆeme ouverture que l’ALNU. Ceci donne de meilleures performances asymptotiques par rapport `a Root-MUSIC conventionnelle appliqu´ee `a l’ALU ayant la mˆeme ouverture.

Une autre ´etude [12] est propos´ee dans le cadre d’une probl´ematique voisine : estimation passive de positions (angle et distance) de sources acoustiques. Pour l’estimation de l’angle, la configuration optimale consiste `a placer la moiti´e des capteurs `a chaque extr´emit´e de l’ALNU.

Pour une estimation de la distance, un quart des capteurs doit ˆetre plac´e `a chaque extr´emit´e du r´eseau et la moiti´e restante au milieu. Pour estimer simultan´ement les deux param`etres angle et distance (c’est-`a-dire la position dans le plan), les capteurs doivent ˆetre localis´es dans trois sous-r´eseaux, chacun contenant 1/3 du nombre total de capteurs. Il faut noter que pour les trois configurations cit´ees pr´ec´edemment, dans chaque sous-r´eseau l’espacement inter-capteurs doit ˆetre ´egal `a la moiti´e de la longueur d’onde. Fig.(4.1) montre les trois configurations optimales pour une ALNU de M capteurs. Ce travail de configuration optimale par rapport `a la position

M/3 Bearing Gamme Position M/2 M/2 M/4 M/2 M/4 M/3 M/3

Figure 4.1: Les trois configurations optimales d’une ALNU de M capteurs.

est repris dans [80]. Ils affirment que la position optimale des capteurs n’est pas uniforme. On retiendra cependant que la probl´ematique est diff´erente de celle qui nous int´eresse ici.

Dans ce chapitre, nous allons ´etudier les performances d’une ALNU quelconque et les com-parer `a l’ALU ´equivalente. Les ALNU consid´er´ees dans ce chapitre sont toutes lacunaires par construction. Nous utilisons donc l’algorithme Root-MUSIC pour faire la comparaison. L’int´erˆet de Root-MUSIC est qu’elle pr´esente de bonnes performances et qu’elle peut ˆetre appliqu´ee directement aux deux g´eom´etries comme nous l’avons vu au chapitre pr´ec´edent. L’´etude des performances est faite en comparant les expressions des BCR respectives des ALNU et ALU. La BCR est le crit`ere utilis´e pour ´etudier le comportement asymptotique du r´eseau. Root-MUSIC ´etant efficace dans le cas des sources non corr´el´ees, ses performances asymptotiques approchent la BCR. Pour cela, nous commen¸cons par ´etablir les expressions de la BCR pour les deux types de g´eom´etrie. Ensuite, nous comparons les expressions respectives des BCR analytiquement. Nous allons voir qu’une ALNU ayant la mˆeme ouverture qu’une ALU mais avec un nombre bien r´eduit de capteurs est capable de maintenir de bonnes performances. De plus, nous mon-trons qu’une ALNU pr´esente de meilleures performances qu’une ALU ayant le mˆeme nombre de capteurs. Plusieurs simulations sont effectu´ees pour ´etudier le comportement de l’ALNU dans diff´erentes conditions. De plus, nous ´etudions de nouveau l’effet des lobes secondaires sur l’ALNU en jouant sur le nombre de capteurs omis du r´eseau. Cet effet reste n´egligeable avec Root-MUSIC par rapport `a l’algorithme de FV mˆeme pour un grand nombre de capteurs manquants.