Estimations d’erreur pour le schéma VF4

limite dans le théorème de convergence et d’autre part de passer à la limite dans le terme non-linéairefb^′(c).

Notation :Pour toute fonction constante par morceauxu^∆tMdéfinie sur(0, T)×R^M, nous notonsgu^∆tMson prolongement par0surR×R².

Le Lemme I.13est un résultat général valable pour toute fonctionu^M ∈ R^Mqui permet d’obtenir une estimation de translation en espace faisant intervenir la normeL²(0, T, H¹)-discrète du paramètre d’ordre. Ainsi, en appliquant la PropositionI.12qui nous donne une estimationL^∞(0, T, H¹)-discrète du paramètre d’ordre, nous obtenons une estima-tion de translaestima-tion en espace d’ordre 1 avec une constante ne dépendant que de la régularité du maillagereg(M)(que nous supposons bornée lorsque nous raffinons le maillage).

Lemme I.13 ([EGH00, Lemme 4.3 et Remarque 4.13])

Soitη∈R², alors il existeC2>0indépendante desize(M),∆tetηtelle que pour toute fonctionu^∆tM, kgu^∆tM(·,·+η)−gu^∆tMk²L²(R×R²)≤C2|η| ku^∆tMk²L²(0,T;k.k1,M).

Au contraire, l’estimation de translation en tempsI.14est spécifique au problème que nous étudions. En effet, pour la démontrer (cf preuve du ThéorèmeIII.39) nous utilisons que le couple(c^∆tM, µ^∆tM)est solution du Problème discret (I.1).

Cette estimation est donc seulement valable pour les solutions du Problème (I.1).

En utilisant la borneL^∞(0, T;H¹)-discrète du paramètre d’ordre ainsi que la borneL²(0, T;H¹)-discrète sur le potentiel chimique obtenues dans la PropositionI.12nous obtenons une estimation de translation en temps d’ordre 1 avec une constante indépendante desize(M),∆tetτ.

Théorème I.14 (Estimation de translations en temps)

Supposons les hypothèses du Théorème I.8 satisfaites de manière à ce qu’une solution (c^∆tM, µ^∆tM) au Problème discret(I.1)existe pour toutN ∈Net pour tout maillage admissibleM.

Soitτ >0, alors il existe une constanteC3>0indépendante desize(M),∆tetτtelle que : ›c^∆tM(.+τ, .)−›c^∆tM²_L2(R×R²)≤C3τÄ

kc^∆tMk²L^∞(0,T;L²(Ω))+kc^∆tMkL^∞(0,T;|.|1,M)kµ^∆tMkL²(0,T;|.|1,M)

ä.

Remarque I.15

Les constantesC3(cf ThéorèmeI.14) etC2(cf LemmeI.13) dépendent de la régularité du maillagereg(M)que nous supposons bornée lorsque le pas du maillage tend vers0.

I.5 Estimations d’erreur pour le schéma VF4

Le but de cette section est de démontrer le théorème d’estimation d’erreur suivant pour le Problème complètement dis-crétiséI.1.

Pour démontrer ce théorème nous nous inspirons des techniques analogues à celles présentées dans [EFM89,KSW08]

(pour des schémas éléments finis) que nous adaptons au cadre volumes finis qui nous intéresse. Notons cependant que lorsque nous utilisons des méthodes de type volumes finis, nous travaillons sur des espaces discrets en espace contraire-ment au cadre élécontraire-ments finis conformes où ces espaces sont continus. La principale difficulté de cette preuve réside dans la prise en compte du terme non-linéaire et le fait d’utiliser une normeH¹-discrète surΩrajoute une difficulté supplé-mentaire lors du traitement de ce terme (voir LemmeI.32). De plus, le fait d’utiliser une discrétisation semi-implicite (voir (I.14)) pour la discrétisation du terme non-linéairefb^′complique également la démonstration.

Théorème I.16 (Estimation d’erreur)

Pour tout couple(c, µ) ∈ C³([0, T]×Ω)× C²([0, T]×Ω)solution de l’équation de Cahn-Hilliard(I.1)avec les conditions aux limites(I.4). SoitM >0tel quekckL^∞(0,T;L^∞(Ω))≤M. Alors, pour toute solutionc^∆tMdu Problème discretI.1telle que :

c⁰M=P^c_Mc⁰ et sup

K∈M

|cⁿ_K| ≤M^′, ∀n∈J0, NK, (I.20) alors il existe une constante positiveC4>0(dépendant deMetM^′) telle que l’estimation suivante est vérifiée (avec

∆t≤∆t^e),

sup

n∈J0,NK|P^c_Mc(tⁿ)−cⁿM|1,^M≤C4(∆t+ size(M)).

Nous avons notéP^c_Mcla projection centrée (voir définitionI.18) de la solution exactecsur le maillageM. Remarque I.17

La solution exactecdu problème continu(I.2)est supposée appartenir àC³([0, T]×Ω)donc il existeM >0tel que kckL^∞(0,T;L^∞(Ω))≤M.

Choisissons maintenant un potentiel tronqué‹fbdefbvérifiant‹fb =fbsur[−M^′, M^′]et tel que‹fb(x)soit constant à l’infini. La fonctionf‹b ainsi construite (ainsi que toutes ses dérivées) est Lipschitzienne. De plus, notons que la définition(I.14)de la discrétisation semi-implicite du terme non-linéairefb^′implique,

d^fb(x, y) = Z 1

0

f_b^′(x+s(y−x))ds

donc de la même manière la discrétisationd^fe^bde la fonctionf‹bcoïncide avecd^fbsur[−M^′, M^′]²est Lipschitzienne.

Nous pouvons alors remarquer plusieurs choses:

• Si nous prenons‹fbà la place defbdans l’équation de Cahn-Hilliard, l’hypothèse(I.20)est toujours vérifiée et donc le ThéorèmeI.16est toujours satisfait.

• Cas d’une famille de maillages quasi-uniforme :

Si nous démontrons le Théorème d’estimation d’erreurI.16en utilisant le potentiel tronqué‹fb defben con-sidérant une solutionc^∆tM du Problème discretI.1avec le potentielf‹bà la place du potentielfb, alors il existe C(regunif(M)) > 0ne dépendant que de la régularité uniforme du maillage (voir la DéfinitionA.9) tel que pour toutqet pour toutn∈J0, NKnous avons :

kP^c_Mc(tⁿ)−cⁿMkL∞(Ω)≤ C(regunif(M))

size(M)^2/q kP^c_Mc(tⁿ)−cⁿMkLq(Ω)

et pour tout1≤q <+∞, le LemmeI.25et le ThéorèmeI.16impliquent, kP^c_Mc(tⁿ)−cⁿMkL∞(Ω)≤C9C4C(regunif(M))

Å ∆t

size(M)^2/q + size(M)^1−2/q ã

.

Ainsi, si∆tetsize(M)tendent vers0tout en étant liés par une relation du type∆t ≤ Csize(M)^α pour un certainα >0, alors cette estimation permet d’affirmer que pour toutn∈J0, NK,kcⁿMkL∞(Ω)≤M^′.

Vu que les fonctions fb etf‹b coïncident sur [−M^′, M^′], sic^∆tM est solution du Problème discret I.1 avec le potentiel de Cahn-Hilliard‹fb, elle l’est aussi avec le potentielfb(et réciproquement).

En conclusion, pour une famille de maillages quasi-uniforme (au sens de la DéfinitionA.9), si∆tetsize(M) sont reliés par la relation ∆t ≤ size(M)^α (pour une valeur arbitraire α > 0) alors l’hypothèse(I.20)est toujours vérifiée pour∆tetsize(M)assez petits et il existe donc des solutionsc^∆tM au Problème discretI.1qui la vérifie.

• Nous pouvons également vérifier numériquement que l’hypothèse(I.20)est bien satisfaite lorsque nous utilisons le potentielfb.

Ainsi, nous pouvons effectuer toute la démonstration du ThéorèmeI.16avec la fonction‹fbqui vérifie bien toutes les hypothèses de régularité dont nous avons besoin. Par souci de simplicité nous noterons dans la suitefbà la place def‹b.

I.5. Estimations d’erreur pour le schéma VF4 13

I.5.1 Définitions et propriétés des projections discrètes

Dans cette section nous commençons par définir deux projections : la projection elliptique et la projection centrée.

Définition I.18 (Projection centrée)

La projection centréeP^c_M:C⁰(Ω)→R^Mest définie de la manière suivante. Soitu∈ C⁰(Ω), nous posons P^c

Mu= (P^c

Ku)_K∈M avec P^c

Ku=u(xK).

Définition I.19 (Projection elliptique)

NotonsH_N²(Ω) ={u∈H²(Ω) :∇u·~n= 0 sur∂Ω}, alors la projection elliptiqueP^ell_M :H_N²(Ω)→R^Mest définie de la manière suivante. Soitu∈ H_N²(Ω), la projection elliptiqueP^ell_Mu= P^ell

K u

K∈M est la solution du problème discret suivant :

Trouverv^M∈R^Mtel que P

K∈M

mKvK= Z

Ω

uet : P

σ∈E^int_K

mσ

vK−vL

dK,L

=− Z

K

∆u, ∀K ∈M.

Remarque I.20

La projection elliptique est en fait la solution de l’approximation VF4 du problème continu :

® −∆v=f dansΩ,

∇v·~n= 0 sur∂Ω. (I.21)

avecf =−∆u.

Lorsqueuest une fonction dépendant également du temps, pourt ∈ Rfixé, nous noteronsP^ell_M(u(t))la projection elliptique de la fonctionv=u(t, .).

Nous donnons maintenant les propriétés de ces projections qui nous seront utiles dans la section suivante pour la démonstration du ThéorèmeI.16.

Lemme I.21

Soitu∈H²(Ω), alors il existe une constanteC5>0ne dépendant que deΩetreg(M)telle que : ku−P^c_MukL2 (Ω)≤C5size(M)kukH²(Ω).

Démonstration : Soitu∈H²(Ω), alors en utilisant les formules de Taylor avec reste intégral, nous avons : u(xK)−u(x) =∇u(x)·(xK−x) +

Z 1 0

(1−s) D²u((1−s)x+sxK)(xK−x)

·(xK−x)ds et l’inégalité de Jensen implique :

ku−P^c_Muk^qLq(Ω)= P

K∈M

Z

K|u(xK)−u(x)|^qdx

≤2^q−1 P

K∈M

Z

K|∇u(x)·(xK−x)|^qdx + 2^q−1 P

K∈M

Z

K

Z 1 0

(1−s)hD²u((1−s)x+sxK)(xK−x),(xK−x)i^qdsdx.

Le changement de variabley= (1−s)x+sxKimplique :

ku−P^c_Muk^qLq(Ω) ≤2^q−1(size(M))^qk∇uk^qLq(Ω)+ 2^q−1 P

K∈M

(size(M))^2q Z

K

D²u(y)^qdy,

ce qui conclut la preuve.

Lemme I.22

Soitu∈H_N²(Ω), alors il existe une constanteC6>0ne dépendant que deΩetreg(M)telle que : P^ell_Mu−P^c_Mu

_{L2 (Ω)}≤C6size(M)kukH²(Ω) et

P^ell_Mu−P^c_Mu

_1,M≤C6size(M)kukH²(Ω).

Démonstration : Par définition, la projection elliptiqueP^ell_Muest solution du problème discret (I.21) donc la dif-férenceP^ell

Mu−P^c

Mureprésente l’erreur associée au problème (I.21). Or, nous savons (cf [EGH00, Section 3.2.3] par exemple) que l’estimation d’erreur du schéma VF4 pour le problème de Laplace satisfait bien les estimations annoncées.

Corollaire I.23

Soitu∈H_N²(Ω), alors il existe une constanteC7>0ne dépendant que deΩetreg(M)telle que : P^ell_Mu−u

_{L2 (Ω)}≤C7size(M)kukH²(Ω).

Nous énonçons maintenant les inégalités de Poincaré et de Poincaré-Sobolev suivantes.

Lemme I.24 (Inégalité de Poincaré moyenne discrète [EGH00, Lemme 3.7])

Il existeC8>0dépendant seulement deΩtel que pour tout maillage admissibleMet pour toutuM∈R^M, ku^M−m^M(u^M)kL2 (Ω)≤C8|u^M|1,^M avecm^M(u^M) = 1

|Ω| P

K∈M

mKuK

et donc, nous avons également :

ku^Mk²L2 (Ω)≤2C₈²|u^M|²1,^M+ 2|Ω|m^M(u^M)².

Lemme I.25 (Inégalité de Poincaré-Sobolev,[BCCHF, Théorème 3])

Soit1≤q <+∞, alors il existe une constanteC9>0dépendant seulement deq,Ωetreg(M)telle que :

kuMkLq(Ω) ≤C9kuMk1,^M , ∀uM∈R^M. (I.22)

I.5.2 Démonstration du Théorème I.16

Définition I.26 (Erreur)

Pour toute fonctionu: (0, T)×Ω→RetuⁿMune approximation deuau tempstⁿ, nous notonse^u,nM ∈R^Ml’erreur associée àuau tempst=tⁿet nous la définissons de la manière suivante :

e^u,nM = ¨e^u,nM + ˙e^u,nM avec e¨^u,nM =P^c_Mu(tⁿ)−P^ell_Mu(tⁿ) et e˙^u,nM =P^ell_Mu(tⁿ)−uⁿM. Nous notons égalemente¯^u,nM =u(tⁿ,·)−P^ell_Mu(tⁿ).

Proposition I.27

Considérons un couple(c, µ)solution de l’équation de Cahn-Hilliard(I.2)avec les conditions aux limites(I.4)et un

I.5. Estimations d’erreur pour le schéma VF4 15

couple(cⁿ⁺¹M , µⁿ⁺¹M )solution du Problème discretI.1. Alors, l’estimation suivante est vérifiée : Γb∆te˙^µ,n+1M ² Démonstration : Appliquons la DéfinitionI.19de la projection elliptique au couple(c, µ)solution de l’équation de Cahn-Hilliard (I.2) associée aux conditions aux limites (I.4). Ainsi, pour toutK ∈M, nous avons :

Z Soustrayons l’équation (I.9a) du Problème discret à l’équation (I.25), nous obtenons :

Γb

La définition (I.24) deRⁿ⁺¹_c entraîne : Γb P

Soustrayons maintenant l’équation (I.9b) du Problème discret à l’équation (I.26), A^∆ P Multiplions maintenant l’équation (I.27) parvKet sommons surK ∈M, ainsi :

ΓbJe˙^µ,n+1M , vMK1,^M+

puis multiplions l’équation (I.28) paruKet sommons surK ∈M, A^∆Je˙^c,n+1M , uMK1,^M− e˙^µ,n+1M , uM les deux équations nous obtenons l’identité souhaitée.

Proposition I.28

Considérons un couple(c, µ)solution de l’équation de Cahn-Hilliard(I.2)avec les conditions aux limites(I.4)et le couple(cⁿ⁺¹M , µⁿ⁺¹M )solution du problème discretI.1. Alors, pour toutn0∈J0, NKl’estimation suivante est vérifiée :

Γb Démonstration : Commençons par sommer l’identité (I.23) pournallant de0àn0, nous obtenons :

Γb

En utilisant la définition (I.32) de la fonctiong^Mnous pouvons alors réécrire cette somme de la manière suivante : Γb

Pour obtenir l’estimation (I.31), il faut maintenant appliquer l’inégalité de Young aux différents termes du membre de droite de cette égalité.

• Commençons par étudier les deux premiers termes du membre de droite de (I.33). Remarquons tout d’abord que si vM∈R^Mest une fonction à moyenne nulle, pour toutuM∈R^M, nous avons :

(uM, vM)_{L2 (Ω)}= (uM−mM(uM), vM)_{L2 (Ω)}≤ kuM−mM(uM)kL2 (Ω)kvMkL2 (Ω)

et donc d’après l’inégalité de Poincaré moyenne du LemmeI.24, nous obtenons :

(uM, vM)_{L2 (Ω)}≤C8|uM|1,^MkvMkL2 (Ω). (I.34) – Le couple (c, µ) est solution de l’équation de Cahn-Hilliard (I.2) avec les conditions au bord (I.4), ce qui

implique :

I.5. Estimations d’erreur pour le schéma VF4 17

et l’estimation (I.34) permet d’obtenir : Rⁿ⁺¹_c ,e˙^µ,n+1M

L2 (Ω)≤C8e˙^µ,n+1M

1,^MR_cⁿ⁺¹_{L2 (Ω)}. En appliquant l’inégalité de Young à cette inégalité nous avons finalement :

∆t Rⁿ⁺¹_c ,e˙^µ,n+1M – Par définition de la projection elliptique, nous avons également pour toutn∈J0, n0K:

mM(¯e^c,nM ) =

= 0et d’après l’estimation (I.34) nous avons :

¯

e^c,n+1M −e¯^c,nM ,e˙^µ,n+1M

L2 (Ω)≤C8e˙^µ,n+1M

1,^Me¯^c,n+1M −¯e^c,nM _{L2 (Ω)} et l’inégalité de Young implique :

¯

• Nous allons maintenant nous intéresser aux troisième et quatrième termes du membre de droite de l’égalité (I.33).

Pour cela, nous allons effectuer une intégration par parties en temps discrète. Commençons par le terme faisant intervenire¯^µ,nM . En utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz et l’inégalité (I.34) (car par définition de la projection elliptique, nous avonsm^M(¯e^µ,nM ) = 0) nous obtenons : En utilisant l’inégalité de Young nous avons finalement,

Pⁿ⁰

Nous effectuons maintenant une intégration par parties en temps discrète sur le terme faisant intervenirg^M(tⁿ⁺¹,·).

Cependant la fonctiongM(t,·)n’étant pas à moyenne nulle par l’inégalité de Cauchy-Schwarz nous obtenons, Pⁿ⁰

En remarquant que la définition de la projection elliptique et la conservation du volume au niveau discret (I.11) impliquent que toutn∈J0, NK,m^M( ˙e^c,nM ) =m^MÄ

˙ e^c,0Mä

, l’inégalité de Poincaré du LemmeI.24et l’inégalité de Young entraînent :

• Il reste à étudier le dernier terme du membre de droite de l’égalité (I.33).

Pour cela, nous choisissonsv^M= ∆t fb^′(P^c En appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwarz et l’inégalité (I.34) (carmM Rⁿ⁺¹_c

=mM Appliquons maintenant l’inégalité de Young à cette inégalité, nous en déduisons que pour toutn∈J0, n0K,

e˙^c,n+1M −e˙^c,nM , fb^′(P^c_M(c(tⁿ⁺¹)))−d^fb(cⁿM, cⁿ⁺¹M )

En regroupant les inégalités (I.38), (I.39), (I.40), (I.41) et (I.42), l’équation (I.33) donne bien l’estimation (I.31).

Pour pouvoir appliquer le lemme de Gronwall discret, il faut maintenant estimer les termes du membre de droite de l’inégalité (I.31) indépendamment den.

Proposition I.29

I.5. Estimations d’erreur pour le schéma VF4 19

Démonstration : En appliquant la formule de Taylor avec reste intégral au terme Rⁿ⁺¹_c défini par (I.24), nous obtenons :

R_cⁿ⁺¹(x) = 1

∆t Z tⁿ⁺¹

tⁿ

(tⁿ−s)∂ttc(s, x)ds.

Nous avons alors,

R_cⁿ⁺¹²_{L2 (Ω)}≤ 1

∆t²

Z tⁿ⁺¹ tⁿ

(tⁿ−s)²ds

! Z tⁿ⁺¹

tⁿ k∂ttc(s,·)k²L2 (Ω)ds

!

≤∆t

Z tⁿ⁺¹

tⁿ k∂ttc(s,·)k²L2 (Ω)ds

! ,

et en sommant ces inégalités pournallant de0àn0nous obtenons le résultat attendu.

Proposition I.30

Pour toutn0∈J0, NK, les estimations suivantes sont vérifiées :

n0

P

n=0∆t

¯

e^c,n+1M −¯e^c,nM

∆t

2

L2 (Ω)

≤C₇²size(M)²k∂tck²L²(0,T;H²(Ω)),

n0

P

n=0∆t

¯

e^µ,nM −¯e^µ,n+1M

∆t

2

L2 (Ω)

≤C₇²size(M)²k∂tµk²L²(0,T;H²(Ω)),

(I.44)

et pour toutn∈J0, NKnous avons,

µ(tⁿ,·)−P^ell_Mµ(tⁿ)_{L2 (Ω)}≤C7size(M)kµkL^∞(0,T;H²(Ω)). (I.45)

Démonstration :

• Par construction, la projection elliptique est linéaire donc le CorollaireI.23implique :

¯e^c,n+1M −e¯^c,nM _{L2 (Ω)}≤C7size(M)c(tⁿ⁺¹,·)−c(tⁿ,·)_H2(Ω)

≤C7size(M)

Z tⁿ⁺¹ tⁿ

∂tc(t,·)dt _H2(Ω)

. Finalement, nous avons donc :

¯e^c,n+1M −e¯^c,nM ²_{L2 (Ω)}≤C₆²∆tsize(M)² Z tⁿ⁺¹

tⁿ k∂tc(t,·)k²H²(Ω)dt, et l’inégalité (I.44) est démontrée en sommant ces estimations pournallant de0àn0.

• Pour toutn∈J0, NK, en appliquant le CorollaireI.23à la fonctionµ(tⁿ,·)nous obtenons directement : µ(tⁿ,·)−P^ell_Mµ(tⁿ)

_{L2 (Ω)}≤C7size(M)kµ(tⁿ,·)kH²(Ω)≤C7size(M)kµkL^∞(0,T;H²(Ω)).

Proposition I.31

Pour toutt∈[0, T], la fonctiong^Mdéfinie par(I.32)satisfait l’identité suivante : kgM(t,·)k²L2 (Ω)≤2L²_f′

bsize(M)²k∇c(t,·)k²H1 (Ω), (I.46) où nous avons notéLf_b^′ >0la constante de Lipschitz defb^′.

De plus, il existe une constanteC10>0ne dépendant que defb(et de ses dérivées) telle que pour toutn0∈J0, NK,

Démonstration : Soitt∈[0, T], la définition (I.32) de la fonctiong^Met le fait que la fonctionfb^′est Lipschitzienne impliquent :

Alors, en utilisant les formules de Taylor avec reste intégral nous obtenons : kg^M(t,·)k²L2 (Ω)≤L²_f′ et l’inégalité (I.46) est démontrée.

Montrons maintenant l’estimation (I.47). Pour cela, pourn ∈ J0, N−1Knous définissons la fonctionhⁿ telle que pour toutx∈Ω,

hⁿ(x) =fb^′(c(tⁿ⁺¹, x))−fb^′(c(tⁿ, x)), de sorte que pour toutK ∈Met pour toutn∈J0, N−1K,

g^M(tⁿ⁺¹, x)−g^M(tⁿ, x) =hⁿ(xK)−hⁿ(x), ∀x∈ K.

En utilisant le même raisonnement que pour le terme précédent, les formules de Taylor avec reste intégrale impliquent : g^M(tⁿ⁺¹,·)−g^M(tⁿ,·)²_{L2 (Ω)}≤2size(M)²k∇hⁿk²H1 (Ω).

Or, il existeMfbqui ne dépend que des constantes de Lipschitz des dérivées de la fonctionfb(jusqu’à l’ordre 3) tel que : k∇hⁿk²H1 (Ω)≤Mfb∆t Ä En sommant ces relations pournallant de0àn0nous obtenons bien le résultat annoncé.

Il reste maintenant à estimer les deux derniers termes du membre de droite de l’identité (I.31). Le raisonnement étant similaire pour ces deux termes nous commençons par démontrer le résultat général suivant.

Lemme I.32

Considérons une fonctionφ ∈ C²(R²,R)telle que toutes ses dérivées jusqu’à l’ordre2soient bornées. Alors, il existe une constante positiveC11ne dépendant que deφet de la régularité du maillagereg(M), telle que pour tout a^M, b^M∈R^Ml’estimation suivante est vérifiée :

I.5. Estimations d’erreur pour le schéma VF4 21

Démonstration : Par définition de la semi-normeH¹-discrète, nous avons :

|φ(aM, bM)−φ(bM, bM)|²1,^M= P

σ=K|L∈Eint

mσdK,L

Å[φ(aK, bK)−φ(aL, bL)]−[φ(bK, bK)−φ(bL, bL)]

dK,L

ã2

. Par soucis de simplicité, pour toutσ=K|^L∈ E^intnous posons :

φσ(a^M, b^M) = [φ(aK, bK)−φ(aL, bL)]−[φ(bK, bK)−φ(bL, bL)]. Remarquons maintenant que

φ(aK, bK)−φ(aL, bL) = Z 1

0

Å

(aK−aL)∂1φ(aL+s(aK−aL), bL+s(bK−bL)) + (bK−bL)∂2φ(aL+s(aK−aL), bL+s(bK−bL))

ã ds et

φ(bK, bK)−φ(bL, bL) = Z 1

0

Å

(bK−bL)∂1φ(bL+s(bK−bL), bL+s(bK−bL)) + (bK−bL)∂2φ(bL+s(bK−bL), bL+s(bK−bL))

ã ds.

Alors, pour toutσ∈ E^intle termeφσ(a^M, b^M)s’écrit :

φσ(a^M, b^M) =φ¹_σ(a^M, b^M) +φ²_σ(a^M, b^M) (I.48) avec :

φ¹_σ(aM, bM) = Z 1

0

(bK−bL) Å

∂2φ(aL+s(aK−aL), bL+s(bK−bL))−∂2φ(bL+s(bK−bL), bL+s(bK−bL)) +∂1φ(aL+s(aK−aL), bL+s(bK−bL))−∂1φ(bL+s(bK−bL), bL+s(bK−bL)) ã

ds et

φ²_σ(a^M, b^M) = Z 1

0

Å

(aK−aL)−(bK−bL) ã

∂1φ(aL+s(aK−aL), bL+s(bK−bL))ds.

Intéressons nous tout d’abord au termeφ²_σ(a^M, b^M). En remarquant que la fonction∂1φest bornée nous avons, P

σ=K|L∈Eint

mσdK,L

Åφ²_σ(a^M, b^M) dK,L

ã²

≤ k∂1φk²L∞|a^M−b^M|²1,^M. Etudions le termeφ¹_σ(aM, bM). Pour cela, écrivons le termeφ¹_σ(aM, bM)sous la forme :

φ¹_σ(a^M, b^M) =φ^1,1_σ (a^M, b^M) +φ^1,2_σ (a^M, b^M) avec :

φ^1,1_σ (aM, bM) = Z 1

0

(bK−ebK)−(bL−ebL)Å

∂2φ(aL+s(aK−aL), bL+s(bK−bL))

−∂2φ(bL+s(bK−bL), bL+s(bK−bL)) +∂1φ(aL+s(aK−aL), bL+s(bK−bL))

−∂1φ(bL+s(bK−bL), bL+s(bK−bL)) ã

ds et

φ^1,2_σ (aM, bM) = Z 1

0

(ebK−ebL) Å

∂2φ(aL+s(aK−aL), bL+s(bK−bL))−∂2φ(bL+s(bK−bL), bL+s(bK−bL)) +∂1φ(aL+s(aK−aL), bL+s(bK−bL))−∂1φ(bL+s(bK−bL), bL+s(bK−bL)) ã

ds.

En notant que les fonctions∂1φet∂2φsont bornées nous avons immédiatement :

Pouri= 1,2, en utilisant que la fonction∂1,iφest bornée nous pouvons écrire,

∂iφ(aL+s(aK−aL), bL+s(bK−bL))−∂iφ(bL+s(bK−bL), bL+s(bK−bL)) Donc, il existeC(reg(M))ne dépendant que de la régularité du maillagereg(M)tel que :

P ce qui conclut le lemme.

Proposition I.33

Pour toutn0∈J0, NK, l’identité suivante est vérifiée (avecC11dépendant defb),

n0

Démonstration : Nous allons appliquer deux fois le LemmeI.32en choisissant bien les fonctions intervenant dans ce Lemme. Nous l’appliquons une première fois à la fonctionφdéfinie parφ(x, y) = fb^′(x)pour toutx, y ∈R. Nous

I.5. Estimations d’erreur pour le schéma VF4 23

Nous avons par l’inégalité des accroissements finis, LipM P^c_M(c(tⁿ⁺¹)) La définition de la projection elliptique et la propriété de conservation du volume au niveau discret (I.11) impliquent m^M( ˙e^c,nM ) =m^MÄ

˙ e^c,0Mä

, nous déduisons donc du LemmeI.24,

ke˙^c,nM k²L2 (Ω)≤2C₈²|e˙^c,nM |²1,^M+ 2|Ω|mM e˙^c,0M

² .

Or, d’après la définition (I.20) dec⁰Mprise dans le ThéorèmeI.16et le LemmeI.22, nous avons : mM e˙^c,0M De plus, le LemmeI.22donne directement,

k¨e^c,nM kL2 (Ω)≤C6size(M)kc(tⁿ,·)kH²(Ω) et |¨e^c,nM |1,^M≤C6size(M)kc(tⁿ,·)kH²(Ω). (I.55) Ainsi, en regroupant les inégalités (I.52), (I.54) et (I.55) il existeC12>0tel que pour toutn∈J0, NK,

ke^c,nM k²L2 (Ω)≤C12|e˙^c,nM |²1,^M+C12size(M)²Äc⁰²

H²(Ω)+kck²L^∞(0,T;H²(Ω))

ä. (I.56)

Intéressons nous maintenant aux termes du membre de droite de l’estimation (I.50). Pour commencer nous pouvons écrire, Alors, les projectionsP^ell_M etP^c_Métant linéaires nous pouvons appliquer le LemmeI.22ce qui entraîne :

¨e^c,n+1M −e¨^c,nM ²_1,M≤C₆²∆tsize(M)²

Enfin, en remarquant que la conservation du volume au niveau discret (I.11) impliquem^M cⁿ⁺¹M −cⁿM

= 0, l’inégalité de Poincaré entraîne,

cⁿ⁺¹M −cⁿM_{L2 (Ω)}≤C8cⁿ⁺¹M −cⁿM_1,M (I.58) En sommant les termes (I.49) et (I.50) et en regroupant les estimations (I.51), (I.55), (I.56), (I.57) et (I.58) nous obtenons :

fb^′(P^c_M(c(tⁿ⁺¹)))−fb^′(cⁿ⁺¹M )²

En sommant cette estimation pournallant de0àn0nous obtenons le résultat attendu.

Fin de la démonstration du ThéorèmeI.16:

Les PropositionsI.29,I.30,I.31,I.33et l’estimation (I.53) sur le termem^M c⁰M

permettent d’estimer les termes du membre de droite de l’inégalité (I.31) (cf PropositionI.28). Ainsi, il existeC13>0(dépendant decetµ) indépendant de size(M)et∆ttel que pour toutn0∈J0, N−1K,

Remarquons alors que le LemmeI.22implique : e˙^c,0M² Nous pouvons maintenant appliquer le Lemme de Gronwall discret (cf LemmeA.7) et nous obtenons :

e˙^c,nM ⁰⁺¹² Le ThéorèmeI.16se déduit alors des estimations (I.55) et (I.59).

Dans le document Schémas volumes finis pour des problèmes multiphasiques (Page 36-49)