Conclusion - Schémas volumes finis pour des problèmes multiphasiques

I.7.3 Décomposition spinodale

Ce test est réalisé sur le carré unité avec les paramètres suivants : une épaisseur d’interfaceε = 0.05, une mobilité Γb= 0.08et une tension de surfaceσb= 0.004. Le pas de temps est∆t= 10⁻³et le pas d’espace estsize(M)∼0.04.

La donnée initiale est une concentration aléatoire comprise entre0.49et0.51.

(a) Solution au tempst= 0.1 (b) Solution au tempst= 0.15 (c) Solution au tempst= 0.5 (d) Solution au tempst= 100

Figure I.5: Dynamique de séparation de phases

La FigureI.5montre l’évolution du mélange : la concentration initiale est homogène avec une très faible perturbation aléatoire, puis dans un premier temps une séparation de phases s’effectue rapidement et les phases pures vont finalement se regrouper entre elles pour former des motifs plus gros. Notons qu’au tempst= 100la solution stationnaire n’est pas encore atteinte. Une fois celle-ci atteinte il ne restera que deux zones : l’une composée de la phase purec= 0et l’autre composée de la phase purec = 1. Les résultats que nous obtenons ici sont bien en accord avec ceux observés dans la littérature lors du phénomène de séparation de phase (cf par exemple [EF87,Ell89,Fur01b,WKG06,SCM08]).

I.8 Conclusion

Dans ce chapitre nous avons présenté un nouveau schéma pour la discrétisation du modèle de Cahn-Hilliard avec des conditions aux limites de Neumann.

L’étude de ce schéma nous a permis d’obtenir des résultats d’existence et de convergence des solutions approchées et nous avons établi une estimation d’erreur d’ordre 1 pour le schéma complètement discrétisé.

Numériquement, nous avons pu observer différents comportements connus du système de Cahn-Hilliard et ainsi valider le schéma proposé.

Ce chapitre nous a donc permis de valider le schéma volumes finis VF4 pour l’équation de Cahn-Hilliard avec des con-ditions aux limites de Neumann et représente la première étape vers l’étude de problèmes et de schémas plus complexes.

Chapitre II

Discrétisation de l’opérateur de Laplace-Beltrami

Dans le ChapitreIII, nous étudierons le modèle de Cahn-Hilliard associé à des conditions aux limites dites dynamiques dans lesquelles la géométrie du domaine ainsi que l’opérateur de Laplace-Beltrami posé sur∂Ωinterviennent. Le but de ce chapitre est dans un premier temps d’introduire l’opérateur de Laplace-Beltrami et le problème de Laplace avec des conditions aux limites de Ventcel ainsi que leurs discrétisations par une méthode volumes finis. D’autre part, nous étudions le comportement du schéma VF4 introduit dans le chapitre précédent lorsque le domaine n’est plus polygonal mais un domaine suffisamment régulier quelconque.

Notons cependant que les résultats de ce chapitre pourraient également être utilisés à d’autres fins, comme par exemple pour des méthodes de décomposition de domaine de type Schwarz. En effet, dans [Jap98] l’auteur introduit un algorithme de Ventcel-Schwarz dans lequel la condition de raccord entre les différents sous-domaines fait intervenir une condition de Ventcel ce qui permet d’améliorer la vitesse de convergence de l’algorithme de Schwarz. De plus, dans [HH14] les auteurs s’intéressent à cet algorithme de Ventcel-Schwarz en utilisant une discrétisation de type volumes finis. L’étude de la discrétisation volumes finis d’une équation ayant des conditions aux limites de Ventcel sur un domaine courbe (et non plus polygonal) peut donc être intéressante pour des applications en décomposition de domaines.

Nous commençons notre étude par le problème de Laplace-Beltrami sur une courbe fermée (SectionII.1) puis nous l’élargissons au cas du problème de Laplace avec des conditions aux limites de Ventcel (SectionII.2). Nous établissons des relations entre les approximations des quantités géométriques (dues à la présence d’un domaine courbe) que nous utilisons et leur valeur exacte qui nous permettent de démontrer des résultats d’estimations d’erreur (ThéorèmesII.11 etII.19). Dans la SectionII.3nous complétons la description de l’implémentation effectuée durant cette thèse et nous présentons dans la SectionII.4des estimations d’erreur numériques qui d’une part, illustre le résultat démontré dans le ThéorèmeII.19et d’autre part, permettent de montrer l’intérêt des schémas de type volumes finis pour des domaines non polygonaux.

Dans ce qui suit, nous nous plaçons sur un domaineΩouvert, borné, connexe et régulier deR²de frontière régulière Γ =∂Ωet nous choisissons une orientation deΓ(nous renvoyons à l’Annexe pour plus de précisions surΓ).

II.1 Le problème de Laplace-Beltrami sur un domaine courbe 1D

Dans cette section, nous considérons le problème suivant posé sur la courbe régulièreΓ.

Trouveru: Γ→Rsatisfaisant :

−∆Γu+u=gsurΓ, (II.1)

avecg∈L²(Γ).

II.1.1 Construction d’un maillage associé à Γ

Notations : Pour construire un maillage∂M(cf Fig. II.1) associé àΓ, nous décomposonsΓen arcs de courbe notés L ∈ ∂Met appelés mailles ou volumes de contrôle tels queΓ =∪^L∈∂^ML. Nous notonsVl’ensemble des sommets du maillage∂M.

Pour tout volume de contrôleL ∈∂M, nous définissons :

• mLsa longueur;

• un pointxL∈^Lque nous appelons le centre de la mailleL;

• e(oue_L) la corde associée àLetmesa longueur;

• yLle point d’intersection entre la cordeeet la perpendiculaireepassant parxL;

• V^Ll’ensemble des sommets de la mailleL.

Pour tout sommetv=L|^L^′séparant les maillesLetL′, nous notons :

• dL,vla distance entre le sommetvet le centreyL: c’est une approximation de la mesuremγ_Lv de l’arcγLv ⊂^L dont les extrémités sont le centrexLet le sommetv;

• dL,L′ =dL,v+dL′,v: c’est une approximation de la mesuremγ_LL′ de l’arcγLL′ ⊂Γpassant par le sommetvet dont les extrémités sont les centresxLetxL′;

• nvL =±1tel quenvL =−nvL′, doncnvL donne une orientation de la courbeγLL′ en fonction de l’orientation donnée à la courbeΓ:nvL= 1si l’orientation deΓva deLversL′.

Le pas du maillage est défini parsize(∂M) = sup{mL,L ∈∂M}.

v=L|^L^′ xL

dL,v

xL′

yL′

d_{L ′}

Figure II.1: Notations du maillage∂M

Inconnues discrètes : L’approximation TPFA de (II.1) associe à chaque mailleL ∈ ∂M, une inconnue scalaireuL. Nous définissons alors la fonction constante par morceauxu∂M∈R^∂^Mde la manière suivante :

u∂M= P

L∈∂M

uL1L∈L^∞(Γ), où1Ldésigne la fonction indicatrice de la mailleL.

Définitions des projection discrètes : Nous définissons deux projections sur le maillage∂M: la projection moyenne P^m

∂Met la projection centréeP^c

∂M.

Définition II.1 (Projection moyenne sur le maillage∂M)

Nous définissons la projection moyenne sur le maillage∂Mde la manière suivante. Pour toute fonctionuintégrable surΓ,

P^m

∂Mu= (P^m

Lu)_L∈∂M avec P^m

Lu= 1 mL

u(x)dσ(x), ∀L ∈∂M.

II.1. Le problème de Laplace-Beltrami sur un domaine courbe 1D 33 Définition II.2 (Projection centrée sur le maillage∂M)

La projection centrée sur le maillage∂Mest définie de la manière suivante. Pour toute fonctionucontinue surΓ, P^c

∂Mu= (P^c

Lu)_L∈∂M avec P^c

Lu=u(xL), ∀L ∈∂M. Le résultat suivant est alors immédiat.

Lemme II.3

Soitu∈H¹(Γ), alors il existe une constanteC15>0indépendante desize(∂M)telle que : ku−P^c_∂MukL2 (Γ)≤C15size(∂M)kukH1 (Γ).

II.1.2 Définitions et propriétés sur le maillage ∂ M

Proposition II.4

Pour toute mailleL ∈∂M, la relation suivante est vérifiée : meL−mL =O m³_L

En particulier, il existeCΓ>0indépendant desize(∂M)tel quemeL ≤mL≤CΓmeL.

Démonstration : Soitvetwles deux sommets de la mailleL, alors les formules de Taylor nous donnent : w=v+mL~τv,^w(v) +m²_L

2 ~τ^′_v_,_w(v) +O m³_L , où~τv,west le vecteur tangent àLallant devversw.

Nous avons alors,

m²_e_L =|v−w|²

≠

mL~τv,^w(v) +m²_L

2 ~τ^′_v_,_w(v) +O m³_L

, mL~τv,^w(v) +m²_L

2 ~τ^′_v_,_w(v) +O m³_L∑

=m²_L+m³_L

~τv,w(v),~τ^′_v_,_w(v)

+O m⁴_L . En remarquant que pour toutx∈^L,

τv,w(x),~τ^′_v_,_w(x)= 0, nous obtenons :

m²_e_L =m²_L+O m⁴_L (II.2)

et donc :

me_L=mL

»1 +O(m²_L) =mL 1 +O m²_L , ce qui conclut la preuve.

~ τv,w(v)

~ τ^′_v_,_w(v) v

e_L xL

Figure II.2: Notations utilisées dans la démonstration de la PropositionII.4

Définition II.5 (Définition formelle deyL)

Considérons une mailleL ∈∂Met un sommetvdeL, alors la relation suivante est vérifiée : mγLv−dL,v=O(mLmγLv).

Démonstration : Notonswle second sommet de la mailleL, alors les formules de Taylor impliquent : v=xL−mγ_Lv~τv,^w(xL) +O m²_γ_Lv

La DéfinitionII.5et les égalités (II.3) et (II.5) permettent d’écrire : yL−v= L’équation (II.2) et la PropositionII.4permettent alors de conclure.

~τv,w(xL)

Figure II.3: Notations utilisées dans la démonstration de la PropositionII.6

Produits scalaires sur∂M: Nous allons maintenant définir deux produits scalairesL²-discrets surR^∂^M: un produit scalaire(., .)_{L2 (Γ)}qui utilise les longueurs exactes des arcsLet un produit scalaire(., .)_∂Mqui utilise les valeurs des cordes correspondantes. Pour toutu∂M, v∂M∈R^∂M,

II.1. Le problème de Laplace-Beltrami sur un domaine courbe 1D 35 et nous notonsk.kL2 (Γ)etk.k0,∂Mles normes correspondantes.

De la même manière nous introduisons deux normesL^p-discrètes dansR^∂M, ku∂Mk^pLp(Γ)= P

L∈∂M

mL|uL|^p et ku∂Mk^p0,p,∂M= P

L∈∂M

me_L|uL|^p. ∀u∂M∈R^∂^M.

Nous pouvons alors remarquer que ces normes sont équivalentes et les constantes sont indépendantes de size(T)(cf PropositionII.4).

Nous définissons également un semi-produit scalaireH¹-discret surΓde la manière suivante : Ju∂M, v∂MK1,∂M= P

v=L|L′∈V

dL,L′

ÅuL−uL′

dL,L′

ã ÅvL−vL′

dL,L′

, ∀u∂M, v∂M∈R^∂^M; ainsi que la semi-norme correspondante|.|1,∂M.

Pour finir, nous définissons la normeH¹-discrète surΓpar :

ku∂Mk²1,∂M=ku∂Mk²0,∂M+|u∂M|²1,∂M,∀u∂M∈R^∂^M.

II.1.3 Approximation TPFA de l’opérateur de Laplace-Beltrami

Définitions et propriétés des opérateurs tangentiels

Les définitions et les principales propriétés des opérateurs différentiels mis en jeu sont rappelées dans l’Annexe.

Pour obtenir l’approximation TPFA associée à ce problème, le principe est le même que dans le chapitre précédent.

Nous intégrons l’équation (II.1) sur chaque mailleL ∈∂M, Z

g(x)dσ(x) = Z

L−∆Γu(x)dσ(x) + Z

u(x)dσ(x)

= P

v∈VL−∇^Γu(v)·~τv,^L(v) + Z

u(x)dσ(x);

(II.6)

où~τv,^L=nvL~τ est le vecteur unitaire tangent àΓallant deLversL′. Proposition II.7

Le gradient tangentiel deu: Γ→Rau sommetv=L|^L^′satisfait l’estimation :

u(xL′)−u(xL)

mγ_LL′ − ∇^Γu(v)·~τv,^L(v) ≤

γ_LL′

(u◦ϕ)^′′(ϕ⁻¹(x))dσ(x),

oùϕest la paramétrisation choisie deΓ(voir Annexe).

Démonstration : Considérons les pointstL, tL′, tv ∈Rtels quexL=ϕ(tL),xL′ =ϕ(tL′)etv=ϕ(tv), alors les formules de Taylor à l’ordre 2 nous donnent :

u(xL′)−u(xL) = (u(ϕ(tL′))−u(ϕ(tv)))−(u(ϕ(tL))−u(ϕ(tv)))

=(tL′ −tv)(u◦ϕ)^′(tv) + Z t_L′

(tL′ −s)(u◦ϕ)^′′(s)ds

−(tL−tv)(u◦ϕ)^′(tv)− Z tL

(tL−s)(u◦ϕ)^′′(s)ds.

En remarquant quetL′−tL=mγ_LL′nvL, nous obtenons : u(xL′)−u(xL)

mγ_LL′ − ∇^Γu(v)·~τv,^L(v) = 1 mγ_LL′

Z t_L′

(tL′−s)(u◦ϕ)^′′(s)ds

+ 1

mγ_LL′

Z tv

t_L

(tL−s)(u◦ϕ)^′′(s)ds, ce qui permet de conclure la preuve.

Nous définissons alors le gradient tangentiel discret de la manière suivante.

Définition II.8 (Gradient tangentiel discret)

L’opérateur de gradient tangentiel discret∇^∂MΓ :R^∂M→R^Vest tel que pour toutu∂M∈R^∂M,

∇^∂Γ^Mu∂M= ∇^∂Γ^M,vu∂M

v∈V, avec ∇^∂Γ^M,vu∂M=uL′−uL

dL,L′

nvL, ∀v=L|^L^′∈ V. Rappelons quenvL = 1si la courbeΓest orientée deLversL′etnvL=−1siΓest orientée deL′versL.

Principe du schéma TPFA pour l’opérateur de Laplace-Beltrami L’approximation TPFA de l’équation (II.1) s’écrit alors :

Problème II.9 (Formulation VF du problème de Laplace-Beltrami) Trouveru∂M∈R^∂Mtel que :

v∈VL−∇^∂M^Γ,vu∂MnvL+me_LuL=mLP^m

∂Mg, ∀L ∈∂M. (II.7)

Notons que ce schéma fait simplement intervenir les coordonnées des sommets v du maillage∂M. Toutes les autres quantités géométriques que nous utilisons sont calculées à partir de ces coordonnées. En effet, d’un point de vue numérique, nous ne connaissons pas forcément l’équation de la courbeΓlorsque nous programmons ce schéma. Les seules informations à notre disposition sont les coordonnées des sommets du maillage∂M. C’est la raison pour laquelle nous devons approcher les valeurs réelles des quantités géométriques qui interviennent dans ce schéma.

Proposition II.10

Considérons une solutionu∂M ∈ R^∂^M au ProblèmeII.9, alors il existe une constanteC16 > 0 indépendante de size(∂M)telle que :

|u∂M|²1,∂M+ku∂Mk²0,∂M≤C16kgk²L2 (Γ).

Démonstration : Considérons une solutionu∂M ∈ R^∂^Mau ProblèmeII.9. Pour toutL ∈ ∂M, multiplions alors l’équation (II.7) paruLpuis sommons sur l’ensemble des maillesL ∈∂M, nous obtenons :

|u∂M|²1,∂M+ku∂Mk²0,∂M= (P^m

∂Mg, u∂M)_{L2 (Γ)}.

En utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, puis le fait que les normesk.kL2 (Γ) etk.k0,∂M sont équivalentes et enfin l’inégalité de Young nous pouvons conclure la preuve.

II.1.4 Estimation d’erreur

Nous montrons dans cette section qu’en réalisant une approximation polygonale de la courbeΓ(obtenue en reliant entre eux les sommets du maillage∂Men parcourant la courbe dans le sens horaire) le schéma volumes finis TPFA pour le problème de Laplace-Beltrami surΓest d’ordre1.

L’erreure∂Mdu problème (II.1) est définie de la manière suivante : e∂M=u∂M−P^c

∂Mu.

Théorème II.11

Supposons que la solutionudu problème continu (II.1) appartienne àH²(Γ). Considérons la solutionu∂M du Problème discretII.9. Alors, il existe une constanteC17>0indépendante desize(∂M)telle que :

|e∂M|²1,∂M+ke∂Mk²L2 (Γ)≤C17size(∂M)²Ä

kgk²L2 (Γ)+k∇^Γuk²L2 (Γ)+kuk²H²(Γ)

ä.

II.1. Le problème de Laplace-Beltrami sur un domaine courbe 1D 37 Nous décomposons la preuve de ce résultat en deux étapes. Dans un premier temps (cf Proposition II.12) nous majorons l’erreurH¹-discrète par la somme de l’erreur de consistanceRv,Lpour toutv∈ V(due au terme de Laplace-Beltrami) et de l’erreur de consistanceR^u∂Msuruqui contient également l’erreur due à l’approximation polygonale. Il nous restera ensuite à estimer ces deux erreurs de consistance pour démontrer le ThéorèmeII.11

Proposition II.12

Considérons la solutionudu problème(II.1)et la solutionu∂Mdu Problème discretII.9, alors l’estimation suivante est vérifiée :

Démonstration de la Proposition II.12 : Commençons par soustraire l’équation (II.6) du problème continu au Problème discretII.9. Ainsi, pour toutL ∈∂M, nous obtenons :

P Multiplions maintenant cette équation pareLet sommons surL ∈∂M:

|e∂M|²1,∂M+ke∂Mk²L2 (Γ)= P

L’inégalité de Cauchy-Schwarz et l’inégalité de Young nous permettent de conclure la preuve.

Fin de la démonstration du ThéorèmeII.11: Il nous suffit maintenant de majorer les termes du membre de droite de l’estimation (II.8). D’après la PropositionII.6, il existe une constanteCΓ>0indépendante desize(∂M)telle que :

(mγ_LL′ −dL,L′)²

dL,L′mγ_LL′ ≤CΓsize(∂M)² et en utilisant le paramétrage normalϕdeΓ, nous avons :

(u(xL′)−u(xL)) =

ce qui permet d’obtenir :

(u(xL′)−u(xL))²≤mγ_LL′

γ_LL′|∇^Γu(x)|²dσ(x).

En utilisant la PropositionII.7, nous pouvons alors écrire : P

v=L|L′∈V

Rv,L

dL,L′ ≤2CΓsize(∂M)²Ä

k∇^Γuk²L2 (Γ)+kuk²H²(Γ)

ä. (II.9)

• La définition deR^u∂Mdonne : kR^u∂Mk²L2 (Γ)≤2 P

L∈∂M

(mL−me_L)² mL

u²_L+ 2 P

L∈∂M

1 mL

ÅZ

(u(x)−u(xL))dσ(x) ã2

≤2 P

L∈∂M

(mL−me_L)² mL

u²_L+ 2ku−P^c_∂Muk²L2 (Γ). Le LemmeII.3et la PropositionII.4permettent d’obtenir :

kR^u∂Mk²L2 (Γ)≤2Ä

CΓku∂Mk²0,∂M+C15kuk²H1 (Γ)

äsize(∂M)² (II.10) et la PropositionII.10implique

kR^u∂Mk²L2 (Γ)≤2Ä

CΓC16kgk²L2 (Γ)+C15kuk²H1 (Γ)

äsize(∂M)².

II.2 Le problème de Laplace avec des conditions aux limites de Ventcel

Dans cette section, nous couplons le problème de Laplace sur un domaineΩdeR²avec une condition aux limites sur la courbeΓfaisant intervenir l’opérateur de Laplace-Beltrami.

Le problème est le suivant : Trouveru: Ω→Rtel que

®−∆u=f dansΩ;

−∆Γu^pΓ+u^pΓ+∂nu=g surΓ;

(II.11a) (II.11b) avecf ∈L²(Ω),g∈L²(Γ)etupΓla trace deusurΓ.

II.2.1 Maillage VF4 sur un domaine courbe

Pour obtenir un maillageT associé à ce type de problème, nous allons coupler les notations du maillage∂Mde la section précédente avec celles du maillageMdu ChapitreIque nous modifierons un peu pour les adapter à la géométrie courbe du domaine. Les notations de ce maillage sont rassemblées sur la FigureII.4.

Maillage orthogonal admissibleT : Un maillageT deΩest dit admissible s’il est constitué d’un maillage intérieur Met d’un maillage du bord∂Mtels que :

• Le maillage intérieurMsatisfait les propriétés énoncées dans la SectionI.2.1à ceci près que les maillesK ∈M possédant une arête sur le bord ne sont plus polygonales.

• Le maillage du bord∂Mest celui décrit dans la SectionII.1.1en notant que les volumes de contrôleL ∈∂Msont les arêtes (qui sont en fait des arcs de courbes) des volumes de contrôle de Mincluses dansΓ. Notons que les éléments de∂Msont à la fois des arêtes du maillagesMet des volumes de contrôle du bord. C’est la raison pour laquelle nous utilisons deux notations différentes : lorsque nous les considérons comme des mailles du bord, nous les notonsL ∈ ∂Malors que lorsque nous les considérons comme des arêtes (extérieures) du maillageMnous les notonsσ∈ E^ext. Nous imposons là aussi des conditions d’orthogonalité : pour toute mailleL ∈ ∂Mqui est également une arêteσde la mailleK ∈M, nous imposons que la droite reliant les centresxLetxKsoit orthogonale à la cordee_L.

II.2. Le problème de Laplace avec des conditions aux limites de Ventcel 39 Nous donnons maintenant les notations spécifiques à ce maillage.

Pour une mailleK ∈ Mayant une arête appartenant à∂M,Kn’est plus polygonal et peut même ne pas être convexe.

Nous notons alors :

• Kle polygone formé par les sommets deK, remarquons alors queKpeut ne pas être inclus dansΩ;

• mK(respectivementmK) le mesure deK(respectivementK).

v=L|^L^′ xL

xLi

d_K

,_L

i Kd

dL,v

xL′

yL′

d_{L ′}

~nKLi

~nKL

~n_σK(xL)

Sommet intérieur Sommet du bord Maillage intérieurM Centre intérieur

Maillage du bord∂M L ∈∂M

eLcorde associée àL

Figure II.4: MaillageT associé àΩ

Rappelons queE est l’ensemble des arêtes sur le maillageT,Eîntl’ensemble des arêtes intérieures etEêxtles arêtes extérieures (notons queEêxt =∂M). Les notations concernant les arêtes intérieures ont été décrites dans la sectionI.2.1 et ne changent pas. En ce qui concerne une arête du bordσ=L∈ E^K∩ Eêxt, nous définissons :

• mσsa longueur etmela longueur de la cordeeassociée àσ;

• D = Dσ ={tx+ (1−t)xK, t ∈ [0,1], x ∈ σ}le diamant associé àσ. Nous définissons alorsDde la manière suivante :D=Dsiσ∈ E^intetDest le triangle dont les sommets sont les sommets deσet le centrexKsiσ∈ E^ext;

• mDla mesure deDetmDcelle deD;

• ~nKLla normale unitaire à la cordee_Lsortante àKetdK,Lla distance entre les centresxKetyL;

• ~n_σK(x)la normale unitaire àσau pointx∈σsortante àK.

Par souci de simplicité, nous notonsK=Ksi la mailleK ∈Mn’a aucune arête sur le bord et nous introduisons la transmissivité :

aσ=





 mσ

dK,L

si σ=K|^L∈ E^int meL

dK,L

si σ=L∈ E^ext∩ E^K

Le pas du maillage est défini parsize(T) = sup{diam(K),K ∈M}et la constante de régularité du maillage est celle définie dans la SectionI.2.1:reg(T) = reg(M).

Inconnues discrètes : L’approximation VF4 associe à chaque maille K ∈ Mune inconnue scalaire uK et à chaque maille du bordL ∈∂Mune inconnue scalaireuL. Nous associons alors à la fonction discrèteuT ∈ R^T, un couple de fonctionsuT = (u^M, u∂M)dansL^∞(Ω)×L^∞(Γ).

II.2.2 Définitions et propriétés du maillage T

Proposition II.13 SoitK ∈M, alors :

mK−mK=O diam(K)³ .

a b

mK\K mK\K

Figure II.5: Différences entre la mailleKet son approximationK

Démonstration : SoitK ∈Mtel queE^K∩ E^ext6=∅(siE^K∩ E^ext=∅, alorsK=Ket il n’y a rien à démontrer).

Sans perte de généralité, nous pouvons supposersize(T)assez petit et Γassez régulière, de manière à ce queσ ∈ E^K∩ E^extsoit localement le graphe d’une fonction régulièreφsur[a, b]. Notonsφel’équation affine de la corde associée àσ, alors :

mK−mK= Z b

(φ(x)−φe(x)) dx et il existeξx∈]a, b[tel que :

φ(x)−φe(x) = (x−a)(x−b)φ^′′(ξx) 2 . Nous obtenons finalement,

|mK−mK| ≤ kφ^′′kL∞

12 (b−a)³, oùkφ^′′kL∞ ne dépend que de la courbure maximale deΓ.

En remarquant que|b−a| ≤diam(K), nous pouvons conclure la preuve.

Proposition II.14

Considérons une maille du bordL ∈∂Mtelle queL=σ∈ E^KoùK ∈Mest une maille intérieure, alors : d(xL, yL) =|d(xK, xL)−dK,L|=O(mLmγ_Lv),

oùvest un des deux sommets de la mailleL. Démonstration : La DéfinitionII.5deyLdonne :

xL−yL=xL−v−

≠w−v me_L

,(xL−v)

∑w−v me_L

, et les égalités (II.3) et (II.5) permettent alors d’obtenir :

xL−yL=mγ_Lv~τv,^w(xL) +O m²_γ_Lv

−

≠mL

me_L

τv,^w(xL) +O Åm²_L

me_L

, mγ_Lv~τv,^w(xL) +O m²_γ_Lv∑ ÅmL

me_L

~τv,^w(xL) +O Åm²_L

me_L

ãã

=mγ_Lv~τv,w(xL) +O m²_γ_Lv

−

ÅmLmγ_Lv

me_L

Åmγ_Lvm²_L me_L

ãã ÅmL

me_L

~τv,w(xL) +O Åm²_L

me_L

ãã

=mγ_Lv~τv,w(xL)

Çm²e_L−m²_L m²_e_L

+O(mγ_LvmL).

II.2. Le problème de Laplace avec des conditions aux limites de Ventcel 41 L’égalité (II.2) permet de conclure la preuve.

~τv,w(xL)

γLv e_L w

yL Kd

d(x

K,x

Figure II.6: Notations utilisées dans la démonstration de la PropositionII.14 Proposition II.15

Pour tout pointx∈σ=L∈ E^ext, l’égalité suivante est vérifiée :

~n_σK(x)−~nKL =O(mL).

Démonstration : Notonsv etwles deux sommets deL, alors en utilisant l’identité (II.5) au pointx ∈ σ, nous avons :

w−v meL

= mL

meL

~τv,w(x) +O Åm²_L

meL

ã . Or, par définition la normale~nKLest égale au vecteur^w−v_m

eL tourné de±^π2 et le vecteur~n_σK(x)est égal au vecteur~τv,^w(x) tourné de±^π2. Ainsi, en remarquant que~nKLet~n_σK(x)sont des normales sortantes àΩnous obtenons :

~nKL = mL

me_L

n_σK(x) +O Åm²_L

me_L

ã , et la PropositionII.4conclut la preuve.

~ τv,w(x)

~n_σK(x) x v

w σ=L

e_L

~ nKL

Figure II.7: Notations utilisées dans la démonstration de la PropositionII.15 Les différents produits scalaires et normes discrets surΓont été décrits dans la SectionII.1.1.

En ce qui concerne le produit scalaireL²-discret dansΩ, nous définissons : (uM, vM)M= P

K∈M

mKuKvK, ∀uMvM∈R^M et nous notonsk.k0,^Mla norme associée.

Nous définissons également la normeL^p-discrète dansΩsuivante:

ku^Mk^p0,p,^M= P

K∈M

mK|uK|^p ∀u^M∈R^M.

Ces définitions sont quelque peu différentes de celles introduites dans la SectionI.2.1car elle font intervenir la valeur approchée de la mesure d’une mailleK ∈ Mayant une arête sur le bord plutôt que sa valeur exacte. Cependant, les

normesL^p-discrètesk.k0,p,^Metk.kLp(Ω)sont équivalentes et les constantes sont indépendantes desize(T)(cf Proposition

Notons que contrairement au produit scalaireH¹-discret dansΩintroduit dans le ChapitreIpar la relation (I.8), ce produit scalaire fait intervenir les arêtes extérieures (σ∈ E^ext) du maillageM(et pas seulement les arêtes intérieures). Ceci est dû au fait que le produit scalaire défini par (I.8) est adapté aux conditions aux limites de Neumann que nous avons imposées à l’équation de Cahn-Hilliard dans le Chapitre I. Dans cette section le problème que nous étudions est associé à des conditions aux limites plus générales, c’est la raison pour laquelle nous utilisons un produit scalaire faisant intervenir toutes les arêtes du maillages. Si nous cherchonsuT ∈R^T l’approximation d’une certaine fonction continueu: Ω→R satisfaisant des conditions aux limites de Neumann homogène, il est naturel d’imposer àuT de satisfaireuL = uK si σ = L ∈ E^ext∩ E^K (puisqued(xK, xL)∇u(x)·~n(x) = (u(xL)−u(xK)) +O size(T)²). Dans ce cas là, ces deux produits scalaires sont bien égaux.

Nous notons |.|1,T la semi-normeH¹-discrète correspondant au produit scalaire (II.12) et nous définissons la norme H¹-discrète dansΩpar :

kuTk²1,T =ku^Mk²0,^M+|uT|²1,T,∀uT ∈R^T.

Nous énonçons maintenant une inégalité de Poincaré faisant intervenir la normeL²-discrète surΓet qui sera utile pour démontrer la PropositionII.18(et donc le Théorème d’estimation d’erreurII.19). Nous ne donnons pas la démonstration de ce Lemme dans ce manuscrit car c’est une adaptation immédiate de l’inégalité de Poincaré discrète pour des conditions aux limites de Dirichlet (voir [EGH00, Lemme 3.1] pour plus de détails).

Lemme II.16 (Inégalité de Poincaré)

Il existe une constanteC18>0indépendante desize(T)telle que pour toutuT ∈R^T, ku^Mk²L2 (Ω)≤C18

Ä|uT|²1,T +ku∂Mk²0,∂M

ä.

II.2.3 Approximation VF4 couplant le domaine et sa frontière

Pour obtenir le schéma VF4 associé aux équations (II.11), nous procédons en deux étapes :

• Nous intégrons l’équation (II.11a) sur toutes les mailles intérieures K ∈ M comme nous l’avons fait dans la SectionI.3.1:

• Nous intégrons la condition aux limites (II.11b) sur chaque mailleL ∈ ∂Mde la même manière que dans la SectionII.1.3: Le couplage entre l’équation dans le domaineΩet celle sur sa frontière s’effectue alors naturellement par le terme de flux R

σ∇u·~nsur les arêtes extérieures.

L’approximation VF4 du problème (II.11) s’écrit alors : Problème II.17

II.2. Le problème de Laplace avec des conditions aux limites de Ventcel 43 Proposition II.18

Considérons une solutionuT ∈ R^T du ProblèmeII.17, alors il existe une constanteC19 >0dépendant seulement dereg(T)(que nous supposons borné lorsque le pas du maillage tend vers 0) telle que l’estimation suivante soit vérifiée :

|uT|²1,T +|u∂M|²1,∂M+ku∂Mk²0,∂M≤C19

Äkfk²L2 (Ω)+kgk²L2 (Γ)

ä.

Démonstration : SiuT ∈R^T est solution du ProblèmeII.17, alors pour toutvT ∈R^T, nous avons : JuT, vTK1,T +Ju∂M, v∂MK1,∂M+ (u∂M, v∂M)_∂M= (P^m_Mf, v^M)_{L2 (Ω)}+ (P^m_∂Mg, v∂M)_{L2 (Γ)}. ChoisissonsvT =uT, alors l’inégalité de Cauchy-Schwarz implique :

|uT|²1,T +|u∂M|²1,∂M+ku∂Mk²0,∂M≤ kP^m_MfkL2 (Ω)ku^MkL2 (Ω)+kP^m

∂MgkL2 (Γ)ku^MkL2 (Γ). Le LemmeII.16et le fait que les normesk.k0,∂Metk.kL2 (Γ)sont équivalentes nous permettent d’obtenir :

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