Estimation param´etrique de la dispersion

La fonction de dispersion dans le milieu est continue. En temps discret, il est possible

de r´ealiser l’estimation `a chaque fr´equence. Le vecteur θ_c est alors compos´e des vitesses de

phase `a toutes les fr´equences {c(ν)}. En pr´esence de bruit, la fonction de dispersion ainsi

estim´ee sera irr´eguli`ere, avec une variance plus ou moins importante, suivant le niveau du

bruit. On peut r´egulariser la dispersion en utilisant une famille de fonctions de dispersion

continues et lisses, plus repr´esentatives des fonctions de dispersion r´eelles.

La vitesse de propagation est li´ee aux param`etres g´eoacoustiques du milieu, sur tout

le spectre. Nous ne faisons pas ici de mod´elisation physique mais d´efinissons simplement

une base de fonctions qui s’adaptera aux donn´ees. Lorsque les signaux mesur´es sont `a

bande ´etroite, il parait naturel de choisir une approximation polynomiale autour de la

fr´equence ν₀ o`u le spectre des signaux est maximal. L’ordre de cette approximation peut

ˆetre limit´e `a deux, d´efinissant alors c(ν0), la pente et la courbure en ν0; un ordre plus

´elev´e compliquerait l’estimation sans la rendre plus pertinente en pr´esence de bruit. En

pratique, pour des signaux large bande et des signaux r´ealistes, ce mod`ele s’av`ere inefficace

aux fr´equences extrˆemes ; les vitesses estim´ees peuvent ˆetre biais´ees et mˆeme irr´ealistes.

Nous avons donc d´efini pour des signaux large bande une famille de fonctions de

dis-persion, param´etr´ees par les vitesses de phase `a certaines fr´equences de contrˆole {νn}. On

pourrait utiliser diff´erents types de fonctions lisses et interpolantes. Dans cette th`ese nous

d´efinissons le vecteur d’onde k(ν) comme une fonction spline cubique de la fr´equence. La

vitesse de phase correspondante est c(ν) = ν/k(ν) et les param`etres θ<sub>c</sub> `a estimer sont

indiff´eremment les vecteurs d’ondes {k(νn)} ou les vitesses de phase {c(νn)}.

5.3.1 Initialisation de l’estimation

Pour une famille de fonctions donn´ee, l’estimation se fait en d´eterminant le meilleur

θ_c. La premi`ere ´etape de l’estimation est le choix des fr´equences de contrˆole. Elles doivent

couvrir la bande de fr´equence sur laquelle on veut r´ealiser l’estimation. Le nombre de

fr´equences est choisi en fonction de divers crit`eres qui sont :

– le temps de calcul, li´e au nombre de points.

– la pr´ecision (avec trop peu de points, une fonction «compliqu´ee»ne pourra pas ˆetre

mod´elis´ee).

– le niveau de bruit (avec un trop grand nombre de points, l’estimation “suivra” le

bruit).

La maximisation elle-mˆeme pose plusieurs probl`emes :

– les param`etres composant θ_c sont coupl´es (voir [Van68]), ce qui rend impossible leur

estimation s´epar´ee. La maximisation doit ˆetre conjointe.

– Le nombre de param`etres est relativement important (On peut d´efinir jusqu’`a dix

fr´equences de contrˆole ou plus pour garantir une grande pr´ecision).

5.3 Estimation param´etrique de la dispersion 73

l’usage des m´ethodes de descente classiques.

Tous ces aspects rendent la convergence difficile. Le choix des param`etres initiaux est donc

d´eterminant. Nous proposons de d´efinir la valeur deθ_c initiale `a partir de la repr´esentation

k−ν des signaux. Nous r´ealisons donc les op´erations successives suivantes, illustr´ees sur

la figure 5.2 :

– La repr´esentation k−ν est calcul´ee, apr`es une ´eventuelle correction de vitesse pour

r´eduire le repliement.

– La ligne correspondant `a l’onde `a estimer est isol´ee par seuillage dans la

repr´esenta-tion, ce qui d´efinit les limites de la bande fr´equentielle de l’estimation initiale.

– Les fr´equences de contrˆole sont dispos´ees r´eguli`erement le long de cette bande et deux

fr´equences extrˆemes sont introduites.

– L’estimation initiale est donn´ee par le maximum de la repr´esentation `a chaque

fr´e-quence.

– Cette estimation est liss´ee et les valeurs initiales sont calcul´ees.

k

ligne

segmentée

0

Bande initiale ^d'estimation

Bande d'estimation finale

estimation

initiale

PSfrag replacements

ν

Fig. 5.2 – Estimation initiale en k−ν. Repr´esentation symbolique de la ligne d’´energie

segment´ee par seuillage, des points de contrˆoles initiaux et des deux extrˆemes.

En pr´esence de plusieurs ondes, on ne pourra estimer qu’une onde dominante ou

suf-fisamment isol´ee des autres. Si l’´echantillonnage spatial de l’antenne est correct, le choix

de la ligne de dispersion ne pose pas de probl`eme. Il peut ˆetre automatique si l’onde est

dominante mais doit ˆetre supervis´e dans le cas contraire. Par contre, si l’´echantillonnage

spatial est incorrect, l’incertitude sur la vitesse de phase due `a la p´eriodisation en nombre

d’onde de la repr´esentation ne peut ˆetre r´esolue : la vitesse de phase doit ˆetre connue `a

une fr´equence particuli`ere. Cependant cette connaissance n’a pas besoin d’ˆetre pr´ecise ; elle

doit juste permettre de choisir la«bonne» ligne. La figure 5.3 montre une repr´esentation

sch´ematique enk−ν sans correction, p´eriodique de p´eriode 1 en k. Si nous cherchons une

vitesse de propagation positive, la ligne de droite peut ˆetre ´elimin´ee du choix (elle coupe

l’axe k = 0, les basses fr´equences ont des vitesses n´egatives). Par contre la p´eriodisation

ne permet pas de d´eterminer a priori laquelle des deux autres lignes donne une vitesse de

74 5. Apprentissage

PSfrag replacements

ν

0

k

-1

-2 1

Fig. 5.3 – Probl`eme de la p´eriodisation en nombre d’onde de la repr´esentation k −ν.

L’´energie de l’onde est repr´esent´ee en trait plein, pour trois p´eriodes.

Pour r´ealiser la segmentation de la ligne voulue en pr´esence de bruit, un seuillage est une

solution simple et robuste. La valeur du seuil peut ˆetre calcul´ee en fonction d’une probabilit´e

de fausse alarme, choisie assez faible pour ´eviter de segmenter le bruit. Pour supprimer une

partie des fausses alarmes, nous r´ealisons un filtrage morphologique d’ouverture sur la zone

segment´ee. Les diff´erentes ´etapes de d´etermination des param`etres initiaux seront illustr´ees

en d´etail en section 5.4, avec une onde de Scholte synth´etique.

D’autres solutions pour l’initialisation sont possibles. On pourra par exemple tester

diff´erentes fonctions de dispersion d’un dictionnaire, construites `a partir d’un ensemble

de configurations de fond marin. Si plusieurs estimations successives sont r´ealis´es `a des

localisations voisines sur le fond, la derni`ere estimation r´ealis´ee pourra servir de fonction

de dispersion initiale.

5.3.2 Maximisation de la fonctionnelle

L’estimation initiale n’´etant r´ealis´ee que sur une bande r´eduite de fr´equences, elle est

tout d’abord ´etendue `a toute la bande d´esir´ee par l’estimation des vitesses aux fr´equences

extrˆemes. Ensuite la maximisation de la fonctionnelle est r´ealis´ee sur l’ensemble des

pa-ram`etres, avec un algorithme de marche al´eatoire. `A chaque it´eration de la maximisation,

un saut vers un nouveau jeu de param`etres θ⁰_c de dispersion est d´efini al´eatoirement, avec

une variance que l’on fait diminuer progressivement, comme dans le cas du recuit simul´e

mais le nouveau jeu de param`etres n’est pris en compte que s’il augmente la fonctionnelle

(Λ(θ⁰_c) > Λ(θ_c)). Un tel algorithme ne garantit pas dans l’absolu la convergence vers le

maximum global. C’est pour cette raison que l’estimation initiale est n´ecessaire. D’autres

approches que nous n’abordons pas dans cette th`ese peuvent ˆetre suivies pour une

optimi-sation efficace dans un espace de param`etres de dimension cons´equente : le recuit simul´e

et l’estimation Bayesienne.

Dans le document Détection d'objets enfouis sur le fond marin par ondes sismo-acoustiques de Scholte (Page 85-88)