Estimation des param`etres d’inertie

De nombreuses applications tant pour l’assemblage robotis´e que pour la robotique de ser- vice peuvent tirer b´en´efice de l’estimation des param`etres d’inertie qui regroupent la masse, la position du centre de masse et les ´el´ements de la matrice d’inertie. De plus, les out- ils complexes ne sont pas toujours fournis avec leur mod`ele dynamique et l’estimation exp´erimentale de ces param`etres peut ˆetre utile et plus pr´ecise. En utilisant le mod`ele iner- tiel de l’outil ou de l’objet manipul´e, les forces externes exerc´ees sur l’organe terminal ou sur l’objet manipul´e sont accessibles pour am´eliorer le contrˆole de la tˆache.

Les techniques pr´esent´ees dans ce chapitre sont aussi utilis´ees dans la suite du manuscrit pour d´eterminer les forces et couples externes exerc´es sur l’objet que nous avons r´ealis´e pour l’apprentissage de l’´echange d’objet.

Dans ce paragraphe, nous proposons un mod`ele des relations entre la dynamique de

l’objet manipul´e et les forces et couples au niveau du poignet du robot. La figure E.7

Fs

Fc ro_c

Figure E.7: Les rep`eres utilis´es pour la mesure des forces et couples

et ´eventuellement l’acc´el´erom`etre sont tous mont´es `a l’extr´emit´e du bras du robot. Tout d’abord, nous choisissons la base du robot comme rep`ere inertiel de ce syst`eme. Cette hypoth`ese est valide si on suppose que le robot ne manipule pas des objets en faisant des d´eplacements rapides de sa base. Les matrices de transformation entre les capteurs et la main sont fixes et mesur´ees exp´erimentalement. Celle entre la main et la base du bras est calcul´ee `a l’aide du mod`ele g´eom´etrique direct du bras.

Une fois la position de l’objet manipul´e estim´ee dans le rep`ere du capteur de force et couple, la position dans la main peut ˆetre calcul´ee. Pour la clart´e du document, nous ne d´etaillons pas les termes des matrices. Afin de simplifier le mod`ele dynamique, nous consid´erons que les rep`eres de l’objet et de la main sont parall`eles. Cette hypoth`ese n’est pas restrictive car, dans la suite, nous ne cherchons pas `a associer les matrices d’inertie, mais leurs caract´eristiques essentielles. Les caract´eristiques de masse, de position du centre de masse et les valeurs propres de la matrice d’inertie ne sont pas modifi´ees par ces rotations. Un choix plus sp´ecifique des rep`eres peut ˆetre effectu´e apr`es une premi`ere estimation des param`etres. Le capteur de force et couple mesure les forces entre le bras du robot et l’organe terminal, une pince ou une main dans notre cas.

Notations:

fms: Forces mesur´ees par le capteur de force et couple dans le rep`ere du capteur. τs

m: Couples mesur´es par le capteur de force et couple dans le rep`ere du capteur. fs: Forces r´eelles exerc´ees par l’objet sur le capteur.

τs: Couples r´eel entre le capteur et l’objet. fc

ext: Force de contact sur l’objet exprim´ees dans le rep`ere de l’objet.

τextc : Couples de contact exerc´es sur l’objet exprim´ees dans le rep`ere de l’objet. fs

o f f : Offsets de force du capteur.

τ_{o f f}s : Offsets de couple du capteur.

fc: Force totale exerc´ee au centre de masse. τc_{: Couple total exerc´e au centre de masse.}

Nous obtenons fs

m, τms, les forces et couples mesur´es dans le rep`ere du capteur par :

fs = f_ms− f_{o f f}s (E.1)

τs = τ_ms− τ_{o f f}s (E.2)

L’´equation de l’´equilibre statique de l’objet donne :

fc = Rc_sfs+ f_extc (E.3)

τc = Rc_sτs+ r_sc× (Rc_sfs) + τ_extc (E.4)

o`u Rcs est la matrice de rotation 3 × 3 du rep`ere du capteurS au rep`ere de l’objet C and × est le produit vectoriel. Lorsque les rep`eres du capteurs et de l’objet sont parall`eles, Rc s devient la matrice identit´e. rcsest le vecteur de positionS `a C :

rcs= (cxcycz)T (E.5)

Nous consid´erons un processus de calcul en deux ´etapes :

1. D´eplacer le bras dans l’espace libre pour estimer l’ensemble des param`etres d’inertie.

2. `A l’aide des param`etres d’inertie, la dynamique de l’objet est simul´ee pour ´eliminer les forces internes du signal de force et couple pendant les manipulations.

Lorsque le robot bouge dans l’espace libre, les forces de contact sont nulles et les forces et couples mesur´es se r´eduisent aux forces et couples inertiels.

fc = Rc_sfs (E.6)

τc = Rc_sτs+ rc_s× (Rc_sfs) (E.7)

Dans un rep`ere plac´e au centre de masse, les ´equations de Newton-Euler s’´ecrivent :

mao = Ro_cfc+ mgo (E.8)

o`u la matrice d’inertie: I =    Ixx Ixy Ixz Ixy Iyy Iyz Ixz Iyz Izz    (E.10)

L’´equationE.8est ´ecrite dans le rep`ere de base du robotO. Dans ce rep`ere : Ro

c: est la matrice de passage du rep`ere de l’objetC au rep`ere O

ao: est l’acc´el´eration lin´eaire du centre de masse par rapport au rep`ereO.

Les variables de l’´equation (E.9) sont toutes ´ecrites dans le rep`ereC . il en r´esulte : ω est la vitesse angulaire de l’objet par rapport au rep`ere local de l’objetC

Remplac¸ant fc_{et τ}c_{dans les ´equations (E.8),(E.9) par (E.6),(E.7), et comme nous avons} fait l’hypoth`ese que les rep`eresC er S sont parall`eles, Rcsest la matrice identit´e, aussi Roc et Rossont ´egales, on obtient le syst`eme complet pour les mouvements dans l’espace libre :

mao = Ro_s(f_ms− fs

o f f) + mgo (E.11)

Iα + ω × Iω = τ_ms− τs

o f f+ rsc× (fms− fo f fs ) (E.12)

Dans ces ´equations, l’acc´el´eration lin´eaire ao _{, la vitesse angulaire ω et l’acc´el´eration} angulaire α peuvent ˆetre mesur´e par une centrale inertielle mont´ee sur la main ou la pince du robot. Comme propos´e par Kroger dans [Kubus 08b], ces param`etres peuvent aussi ˆetre obtenus `a partir des capteurs de position des bras du robot. Rospeut ˆetre calcul´e en inversant Rs

oqui est d´efinie par le mod`ele g´eom´etrique. fmset τmssont mesur´es avec le capteur de force et couple. Les param`etres `a estimer sont :

ϕ = (m c_x cy cz Ixx Ixy Ixz Iyy Iyz Izz fo f f x fo f f y fo f f z τo f f x τo f f y τo f f z)T (E.13)

O`u fo f f xest un l’offset du capteur de force dans la direction x.

Pour repr´esenter la dynamique du syst`eme sous la forme d’espace d’´etat, nous choisis- sons ϕ comme vecteur d’´etat. De mˆeme le vecteur d’observation est:

y = ( f_xs f_ys f_zs τ_xs τ_ys τ_zs)T (E.14)

Les ´equations (E.11) et (E.12) correspondent au mod`ele de l’observation que nous no- tons h. Le syst`eme s’´ecrit alors :

ϕk+1 = ϕk+ vk (E.15)

yk = h(ϕk, Ros, α, ω, ao, go) + nk (E.16)

o`u vk et nk sont les bruits de processus et de mesure respectivement. La formulation des filtres de Kalman est pr´esent´ee en annexe.

Il est ´evident que le syst`eme est non-lin´eaire. Les param`etres du mod`ele Ros, α, ω et

ao _{sont issus des capteurs et du mod`ele g´eom´etrique du robot. Ainsi la dynamique de}

l’objet est mod´elis´ee par un syst`eme dynamique o`u les param`etres inertiels doivent ˆetre estim´e. Le filtrage de Kalman est adapt´e pour ce type de probl`eme. Ici la difficult´e provient de la nature de h qui varie non-lin´eairement avec le temps. Parmi la grande vari´et´e de filtres non-lin´eaires, nous avons choisi un filtre de Kalman inodore (Unscented Kalman Filter UKF). Comme nous utilisons les mˆemes techniques de filtrage pour le probl`eme de fusion de donn´ees multi-capteurs, nous pr´esenterons les UKF apr`es le paragraphe sur la mod´elisation du probl`eme de suivi.

E.2.1.1 Reconnaissance d’objet en ligne

La reconnaissance d’objet utilise g´en´eralement des cam´eras ou de plus en plus souvent des capteurs de profondeur. Apr`es leur estimation, les param`etres d’inertie d’un objet peuvent aussi ˆetre utilis´e comme ´el´ements caract´eristiques. De nombreuses raisons motivent cette utilisation pour la reconnaissance des objets. Tout d’abord, la vision n’est pas toujours tr`es fiable, c’est notamment le cas pour la robotique de service. L’objet peut, par exemple, ˆetre partiellement cach´e par la main du robot. D’autre part, les param`etres d’inertie contien- nent des informations inaccessibles `a d’autres capteurs comme, par exemple, la quantit´e de liquide `a l’int´erieur d’un bidon.

Un des avantages du mod`ele propos´e dans les paragraphes pr´ec´edents est que les param`etres estim´es sont directement exprim´es dans le rep`ere de l’objet. Les valeurs de la matrice d’inertie varient avec l’orientation et la position de l’origine du rep`ere o`u la matrice est exprim´ee, mais ses valeurs propres sont invariantes et peuvent ˆetre utilis´ees pour la re- connaissance d’objet. Si on note I1, I2 et I3 les moments principaux d’inertie correspon- dant aux valeurs propres de la matrice d’inertie, l’ensemble des param`etres utilisables pour l’identification sont d´efini par :

F= [m, I1, I2, I3] (E.17)

o`u m est la masse de l’objet.

E.2.1.2 Calcul des forces et couples de contact

Apr`es l’estimation de l’ensemble des param`etres d’inertie, la dynamique de l’objet peut ˆetre simul´ee. Les forces et couples de contact sont alors calcul´e par :

f_contact = f_sensor− finertia (E.18)

La structure de ces calcul se r´esume `a : Estimation des param`etres Simulation Codeur ou IMU Capteur force et couple − ₊ g, ω, a fs, τs fcontact, τcontact m, I, c fsimu, τsimu

Figure E.8: Calcul des force et couples de contact. Les vecteurs de gravit´e g, d’acc´el´eration a et de vitesse angulaire ω sont calcul´es `a partir de la position des articulations et de la cin´ematique du robot ou `a partir des donn´ees d’une centrale inertielle (inertial measurement unit IMU). fset τsrepr´esentent le vecteur des mesures de force et de couple.

Ici, le principal d´efi est de d´etecter si l’estimation converge r´eellement. Une approche consiste `a supposer que les trajectoires d’excitation sont pr´ed´efinies pour garantir la con- vergence. Pour d´etecter la convergence, il est aussi naturel de consid´erer que le syst`eme converge lorsque les param`etres sont stabilis´es. Mais ici les param`etres r´eels sont inconnus.