Estimation des param` etres

Il reste ´egalement de nombreux travaux `a accomplir concernant l’estimation des para-m`etres du mod`ele de d´eveloppement stochastiqueS et du m´etamod`eleM. Par exemple, pour chacun des deux mod`eles, nous avons suppos´e connaˆıtre l’ˆage des organes compo-sant la plante au moment o`u elle est observ´ee (pour le d´eveloppement, il s’agit du cas o`u le nombre de plantes disponibles est faible). Cette hypoth`ese est assez restrictive. Dans le cas d’une organogen`ese stochastique avec possibilit´e de pause dans le d´eveloppement des bourgeons, il est en g´en´eral impossible de donner l’ˆage des organes avec exactitude ce qui peut fausser compl`etement les proc´edures d’estimation. Il faudrait donc r´efl´echir `a de nouvelles observations ne faisant pas intervenir l’ˆage des organes. Concernant l’es-timation des param`etres li´es au d´eveloppement, une solution serait de consid´erer des distributions de motifs dans des structures de plante qui ne sont pas caract´eris´ees par leur ˆage mais par leur position dans la plante. Une telle d´emarche peut ˆetre envisageable avec la m´ethode symbolique du chapitre 4.

Concernant le mod`ele S, il faudrait mettre en place une m´ethode d´ecouplant l’es-timation des param`etres li´es `a la diff´erenciation de ceux associ´es `a l’organogen`ese. En effet, les param`etres de la diff´erenciation sont riches d’interpr´etation botanique. Par exemple, les temps de s´ejour moyens dans une classe physiologique i donn´ee sont re-pr´esent´es par les param`etres λi. En observant ces temps de s´ejour sur une population de plantes, il serait possible d’estimer λi, i ∈ {1, . . . , CPm}. Le fait de d´ecoupler les proc´edures d’estimation donnerait aux param`etres estim´es un sens botanique plus fort. Il faudrait ´egalement optimiser les algorithmes d’estimation des param`etres li´es au fonctionnement. Les temps d’ex´ecution de ces algortihmes sont trop ´elev´es (estimation de cinq param`etres pour la betterave = 2 jours sur un ordinateur standard !). C’est en particulier le cas si la plante ´etudi´ee est tr`es ramifi´ee, poss`ede des temps d’expansion et d’activit´e ´elev´es ou si le nombre de param`etres `a estimer est important. En effet, les algorithmes mettent plus de temps pour se stabiliser. Dans le cas des m´ethodes par-ticulaires, il se peut mˆeme que la convergence n’ait pas lieu `a cause du nombre trop important de particules `a employer. Plus sp´ecifiquement, un probl`eme se pose au niveau de l’initialisation des algorithmes (voir la section 7.3.5). Lorsque les temps d’expansion sont ´elev´es, il est en effet n´ecessaire de simuler des trajectoires sur un nombre important de cycles avant de pouvoir utiliser la premi`ere observation du syst`eme. Les particules

«voyagent» donc dans l’espace des ´etats sans guidage pendant plusieurs ´etapes de suite ce qui entraˆıne une mauvaise exploration de l’espace en question. L’algorithme s’initia-lise donc tr`es mal et cela peut aboutir `a sa divergence. Une solution serait d’employer une approche «backward»(cf Trevezas and Courn`ede (2011)). Au lieu d’estimer suc-cessivement les quantit´es de biomasse Q1 `a QT_obs, nous faisons l’inverse, c’est-`a-dire de

QT_obs `aQ1. Dans le cas «forward»(celui de la th`ese), l’initialisation n´ecessite d’estimer les biomassesQ1 `aQTm

exp. Il faut donc attendre Tm

exp ´etapes avant d’utiliser les premi`eres donn´ees botaniques. Dans le cas «backward», nous pouvons utiliser les donn´ees d`es l’estimation de QT_obs (en prenant les masses des organes apparus au cycle Tobs). Les particules sont donc guid´ees d`es le d´epart ce qui am´eliore les chances de convergence.

mod´elisation est encore loin d’ˆetre satisfaisante. Les m´ethodes mentionn´ees dans la th`ese reposent sur l’estimation des ´etats cach´es. Tout biais sur cette estimation en entraˆıne un sur celle des bruits. Ceci engendre donc des probl`emes de pr´ecision quant `a l’estimation de la distributiona posteriori du vecteur de param`etres Θf onc et en cons´equence les in-tervalles de confiance sont erron´es. Il faudrait donc mettre en place des estimateurs plus efficaces. Dans le cas des m´ethodes particulaires, il est possible de propager les particules selon une distribution de Wishart inverse (voir O’Hagan and Forster (2004) et Caron (2006)). Cette distribution est particuli`erement adapt´ee pour l’estimation des matrices de covariance de lois normales. Il s’agirait donc d’une voie possible pour l’estimation des bruits. Cette m´ethode pourrait ´egalement ˆetre employ´ee directement pour l’estimation de la distribution a posteriori des param`etres de M en consid´erant un mod`ele d’´evo-lution gaussien pour le vecteur al´eatoire Θf onc. Un autre axe de d´eveloppement serait l’am´elioration du mod`ele statistique associ´e `aM. En effet, nous avons choisi un bruit de mod´elisation multiplicatif et un bruit de mesure additif. Ce mod`ele est assez simple et pourrait ˆetre modifi´e pour mieux correspondre `a la r´ealit´e botanique. Nous pouvons par exemple introduire du bruit dans le mod`ele d’allocation donn´e par la fonctionAl (voir la section 2.2.2) ou encore am´eliorer le bruit de mesure en proposant des matrices de covariance traduisant des d´ependances entre les mesures des diff´erents organes (lorsque l’on coupe une feuille et que l’on s´epare le p´etiole du limbe, il est facile de constater que le choix de la zone de s´eparation influence `a la fois le poids du p´etiole et celui du limbe). Des techniques de s´election de mod`eles pourraient ˆetre envisag´ees pour choisir celui qui reproduit au mieux le comportement biologique de la plante.

Les m´ethodes bay´esiennes permettent l’estimation des param`etres associ´es au mod`ele de Markov cach´e. Il existe cependant d’autres familles de m´ethodes qui ont ´egalement fait leurs preuves. Trevezas and Courn`ede (2011) propose une approche fr´equentiste en utilisant un estimateur du maximum de vraissemblance calcul´e `a partir d’une variante de l’algorithme Expectation-Maximization. Cette m´ethode a ´et´e appliqu´ee avec succ`es sur un cas particulier du mod`ele de croissance GreenLab 1. Il serait int´eressant de comparer les deux approches sur un mˆeme cas-test et de rep´erer les forces et les faiblesses de chacune d’entre elles.

Enfin, la th`ese manque de mise en œuvre pratique sur donn´ees r´eelles. Concernant l’estimation des param`etres li´es au d´eveloppement, le pin (Wang et al. (2009)) peut ˆetre un beau cas-test. Il faudrait ´egalement compl´eter et am´eliorer l’´etude des para-m`etres associ´es au fonctionnement de la betterave (voir le chapitre 7) avec notamment l’estimation de la distribution a posteriori ou encore la r´eduction des temps de calcul.

8.2.4 Le mot de la fin

Cette th`ese apporte quelques modestes contributions au monde des mod`eles de crois-sance de plantes que ce soit en mod´elisation, en probabilit´e, en combinatoire ou en statistique. Elle s’ouvre ´egalement sur de nombreuses perspectives. Tous ces travaux montrent bien la richesse des probl`emes math´ematiques inh´erente au domaine d’appli-cation en question. Il s’agit d’un domaine passionnant qui a encore beaucoup `a offrir aux math´ematiciens et qui, inversement, a beaucoup `a gagner de l’utilisation des ma-th´ematiques.

Publications

• Publications dans des journaux avec comit´e de lecture :

C. Loi, P.-H. Courn`ede, and J. Fran¸con. A Symbolic Method to Analyse Patterns in Plant Structure whose Organogenesis is Driven by a Multitype Branching Process. Jour-nal of Computer Science and Technology, 2010. A paraˆıtre.

B. Pallas, C. Loi, A. Christophe, P. Courn`ede, and Lecoeur, J. Comparison of three approaches to model grapevine organogenesis in conditions of fluctuating temperature, solar radiation and soil water content. Annals Of Botany, A paraˆıtre, 2010.

• Publications dans les actes de conf´erences avec comit´e de lecture :

C. Loi and P.-H. Courn`ede. Generating Functions of Stochastic L-Systems and Applica-tion to Models of Plant Development. Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science Proceedings, AI :325-338, 2008.

B. Pallas, C. Loi, A. Christophe, P. Courn`ede, and L. J. A stochastic growth model of grapevine with full interaction between environment, trophic competition and plant de-velopment.International symposium of Plant Growth Modeling and Applications, IEEE Computer Society (Los Alamitos, California),pages 95-102, 2009.

C. Loi, P.-H. Courn`ede, and J. Fran¸con. Plants as Combinatorial Structures and Ap-plications. In Plant growth Modeling, simulation, visualization and their Applications (PMA09)., IEEE Computer Society (Los Alamitos, California), pages 319-327, 2009. C. Loi and P.-H. Courn`ede. A Symbolic Method to Compute the Probability Distribu-tion of the Number of Pattern Occurrences in Random Texts Generated by Stochas-tic 0LSystems. Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science Proceedings, AM :461-476, 2010.

C. Loi, P.-H. Courn`ede, and S. Trevezas. Bayesian Estimation in Functionnal-Structural Plant Models with Stochastic Organogenesis. Proceedings of ASMDA, 2011. Accept´e. • Rapports de recherche INRIA :

C. Loi and P.H. Courn`ede. Calcul des moments associ´es aux distributions de probabilit´e pour des processus de branchement. Technical report, INRIA, 2008.

C. Loi and P.H. Courn`ede. A Markovian framework to formalize stochastic L-systems and application to models of plant development. Technical report, INRIA, 2008.

Annexe A