Estimation des contraintes

Ce système est comparable à un système masse-ressort qui oscille en vibration libre. L’ensemble du système est ainsi dimensionné pour que le mode de vibration longitudinal soit de l’ordre de 20kHz [Bathias et Pineau, 2008].

La sollicitation de l’échantillon est uniaxiale. On considère par conséquent que l’on peut se ramener à un problème unidimensionnel. Il nous semble important de dire que cette approche unidimensionnelle revient à ne pas prendre en compte la réflexion des ondes sur les bords latéraux de l’échantillon, seule la réflexion en pied d’éprouvette est considérée.

On écrit tout d’abord l’équation d’équilibre en dynamique d’un élément dx

σ(x + dx, t)S(x + dx) − σ(x, t)S(x) = ρS(x) dx^{∂2u(x, t)}

∂t2 (3.22)

où u(x, t) et σ(x, t) désignent le déplacement et la contrainte longitudinale et S(x) la section droite de l’échantillon d’où

∂σ(x, t)S(x) ∂x = ρ^{∂2u(x, t)} ∂t2 (3.23) et S(x)^{∂σ(x, t)} ∂x + σ(x, t)S0 (x) = ρ^{∂2u(x, t)} ∂t2 (3.24)

En faisant l’hypothèse d’un comportement élastique linéaire en petites perturba-tions

σ = Edε = Ed

∂u(x, t)

∂x (3.25)

on peut écrire l’équation des ondes dans le cas des échantillons à section variable : ∂2u(x, t) ∂t2 − c2 ∂2u(x, t) ∂x2 +^{∂u(x, t)} ∂x S⁰(x) S(x) ! = 0 (3.26)

La variable c désigne une vitesse caractéristique du matériau qui dépend de la masse volumique ρ du matériau et de son module de Young dynamique Ed. Ce mo-dule Ed est un module d’élasticité qui prend en compte d’éventuelles effets de la thermoélasticité sur le matériau et qui est, selon [Huang et al., 2011], proportionnel à la fréquence de sollicitation.

c=

s

E_d

ρ (3.27)

Des hypothèses supplémentaires sont faites par la suite pour déterminer les dimen-sions du système. Tout d’abord, on suppose que l’on est en mesure de dimensionner le système pour qu’il vibre uniquement selon le premier mode de vibration longitudinal.

u(x, t) = X^∞

n=0

un(x, t) = u0(x, t) = U(x) sin(w0t) (3.28) avec U(x) l’amplitude du déplacement et w0 = 2πf0 la pulsation du premier mode de vibration.

Ensuite l’extrémité basse est libre, elle ne se déforme pas. On peut d’ailleurs ajouter que l’hypothèse d’un système en vibration libre implique une déformation nulle à chaque extrémité de l’échantillon.

∂u(x, t)

∂x = 0 à chaque extrémité de l’échantillon (3.29)

Les dimensions sont alors déterminées à partir de l’équation des ondes et des hypothèses détaillées précédemment. La résolution est faite numériquement et peut dans certains cas être réalisée analytiquement [Bathias et Paris, 2004].

Il est ensuite possible de calculer la distribution de contrainte le long de l’échan-tillon.

σ(x, t) = Edε(x, t) = Ed

∂u(x, t)

∂x (3.30)

La distribution de contrainte montre alors que le choix des dimensions permet d’avoir une contrainte maximum au centre de l’échantillon, là où la section est la plus faible (voir la figure 3.14).

Il nous semble important de rappeler que le système piézoélectrique est un système en vibration libre, ce qui signifie qu’il n’y a ni force ni déplacement imposés. Ce n’est pas un système asservi contrairement à une machine de fatigue conventionnelle où l’on peut contrôler le déplacement ou la force.

On peut également ajouter que l’hypothèse d’élasticité a un rôle important lorsque l’on souhaite comparer des essais réalisés à partir d’une machine conventionnelle à une machine ultrasonique.

Par exemple dans le cas de la machine ultrasonique, la réalisation d’un essai à am-plitude de contrainte constante ou amam-plitude de déplacement constant est totalement équivalente, la linéarité de la loi de comportement fait que ces deux types d’essais sont identiques. Par contre dans le cas de la fatigue conventionnelle, ces deux types de chargement ne sont pas équivalents et d’ailleurs donnent des résultats différents du

Dispositif expérimental en VHCF

Figure 3.14 – Forme de l’échantillon et distribution de contrainte

point de vue expérimental, la force ou le déplacement peuvent être asservis, il n’est pas nécessaire de faire une hypothèse sur la loi de comportement en fatigue. Il semble d’ailleurs improbable qu’une loi élastique soit suffisante pour décrire une relation entre un essai de fatigue à amplitude de déplacement constant et un essai à amplitude de force constante.

Ce qu’il faut retenir de ces dernières remarques est qu’il faut être très prudent lorsque l’on compare des essais réalisés sur une machine ultrasonique à une machine de fatigue conventionnelle.

Il faut de plus prendre en compte que ces comparaisons sont réalisées à des contraintes où la rupture intervient dans un temps raisonnable avec une machine de fatigue conventionnelle, l’hypothèse d’élasticité de la machine ultrasonique n’est pas vérifiée dans ce cas, même d’un point de vue macroscopique.

Bien que la loi de comportement élastique linéaire utilisée pour le dimensionnement des échantillons semble satisfaisante pour nos besoins, on peut s’interroger sur sa pertinence.

D’une part, un comportement élastique indique qu’il n’y a pas de dissipation in-trinsèque. Si l’on néglige la dissipation thermique, on remarque que ce système fonc-tionne sans apport d’énergie extérieure, ce qui est en accord avec la modélisation de ce système sous la forme d’un oscillateur en vibration libre. Cependant, on remarque expérimentalement qu’un générateur de puissance est nécessaire au fonctionnement du système.

Si l’on fait l’hypothèse que le système est un oscillateur en vibration forcée et que l’on garde l’hypothèse d’élasticité et de fréquence de sollicitation égale à la fréquence de résonance, on peut se demander si le système est conservatif ou dissipatif. Avec ces hypothèses, si le système est conservatif et sollicité selon une de ces fréquences propres, l’amplitude du déplacement doit être infinie (voir figure 3.15(a)). Bien entendu, les déplacements en jeu lors des essais VHCF sont bien finis, le système est dissipatif et il est nécessaire d’explorer d’autres lois de comportement du matériau si l’on souhaite une modélisation plus fine des processus.

D’autre part, la dépendance du module de Young dynamique Ed à la fréquence 55

(a) (b)

Figure 3.15 – (a) Réponse d’un système conservatif (b) Réponse d’un système dis-sipatif

de sollicitation nous interroge et pourrait s’expliquer par un comportement viscoélas-tique. Des travaux ont d’ailleurs été fait en ce sens [Kazymyrovych et al., 2010,Dent-soras et Kouvaritakis, 1995]. Un choix de comportement élastoplastique (indépendant de la fréquence) serait séduisant. Cela justifierai l’utilisation d’une telle technique pour réaliser des essais de fatigue à très grand nombre de cycles en un temps très court.