Essais de fatigue

αk(a, R) = 1 + 2

a

b = 1 + 2 r a

R (4.36)

Lorsque b s'approche de zéro, il en est de même de R et on a σmax(a, R) ≈ 2σn r a R ce qui entraîne KI = σn √ πa = lim R→0  1 2σmax(a, R) √ πR  = σn lim R→0  1 2αk(a, R) √ πR  (4.37) Ce résultat est dû à Irwin [29, 28].

4.5.2 Propagation des ssures en fatigue

Lorsque le champ de contrainte est variable dans le temps, la propagation des ssures dépend de la variation du facteur d'intensité de contrainte

∆KI = KI,max− KI,min (4.38)

et du rapport

R = KI,min

KI,max (4.39)

de la façon suivante. Le taux d'accroissement da

dnde la demi longueur de la ssure

en fonction du nombre de cycles n suit une loi de la forme da

dn = f (∆KI, R) (4.40)

et on invoque souvent une loi de puissance (loi de Paris [80]), mais il existe un seuil en deçà duquel la ssure ne se propage pas :

da

dn = 0 pou ∆KI ≤ ∆KI,seuil(R) (4.41) Ce seuil est à mettre en rapport avec la limite d'endurance en fatigue dont nous allons parler dans la prochaine section.

4.6 Essais de fatigue

Le comportement en fatigue des matériaux est une donnée de première im- portance pour le mécanicien. L'essai de fatigue le plus courant consiste à sou- mettre une éprouvette en rotation sous un moment de exion connu et xe dans l'espace. Un des dispositifs possibles est illustré en gure 4.154_{. On appelle}

courbe de Wöhler le graphe obtenu en portant en ordonnées les contraintes d'essai et en abscisse, le nombre de cycles avant rupture (g 4.16). Le plus souvent, on porte en fait en abscisse le logarithme du nombre de cycles. La

58 CHAPITRE 4. ESSAIS MÉCANIQUES DES MATÉRIAUX

Figure 4.15  Essai de fatigue en exion rotative.

Figure 4.16  Courbe de Wöhler.

coube de Wöhler a en général une courbure négative pour les faibles nombres de cycles (domaine de la fatigue plastique) et une courbure positive pour les grands nombres de cycles (domaine de la fatigue élastique). Son asymptote ho- rizontale dénit la limite d'endurance asymptotique σas. Pour les aciers, cette

limite asymptotique se situe plus ou moins à la moitié de la limite de rupture statique. Pour les aluminiums, par contre, l'endurance est souvent nulle. Pour éviter de prolonger trop les essais, on s'arrête généralement à 107_{cycles pour les}

aciers et on confond alors la limite d'endurance asymptotique avec la limite à 107

cycles σD , dite limite d'endurance conventionnelle, qui est un peu supérieure à

la vraie.

La première diculté de ces essais est leur durée. Supposons en eet que l'on veuille faire subir à l'éprouvette 107 _{cycles en exion rotative. Pour des raisons}

4.6. ESSAIS DE FATIGUE 59 le plus courant et le moins cher) . Il faudra donc, pour réaliser un essai,

107

1500 = 6667min = 111h

soit quatre jours et demi. Si l'on ajoute à cela le caractère nettement dispersé des essais, on se rend compte que l'établissement d'une seule courbe de Wöhler né- cessite une longue campagne d'essais. Ceci explique que les résultats disponibles en fatigue sont relativement peu nombreux.

Figure 4.17  Les essais de fatigue sont dispersés.

La seconde diculté est la dispersion des résultats, qui est illustrée en - gure 4.17. Si l'on considère, comme le suggère la nature même de l'essai, que la variable indépendante est la contrainte et que le nombre de cycles est la fonc- tion, on peut, pour un même niveau de contrainte, obtenir des résultats aussi diérents que

Essai 1 : 104 _cycles

Essai 2 : 106 _cycles

Essai 3 : pas de rupture après 107_cycles

ce qui est assez déconcertant. En revanche, on sait depuis longtemps que si l'on considère la dispersion des contraintes pour une durée de vie donnée, on obtient une distribution normale d'écart-type à peu près constant dans toute la zone de fatigue élastique et raisonnable (g. 4.18). On peut donc tracer des lignes d'équiprobabilité de rupture à hauteur constante par rapport à la courbe médiane qui sert de référence. On se rend alors aisément compte qu'au voisinage de la limite d'endurance, il est possible aussi bien d'avoir une rupture assez tôt que de ne pas avoir de rupture.

Il reste une troisième diculté liée au fait que l'on s'intéresse à l'asymptote de la courbe de Wöhler et que rien n'est plus dicile à estimer - que ce soit graphiquement ou numériquement - qu'une asymptote. Pour porter remède à

60 CHAPITRE 4. ESSAIS MÉCANIQUES DES MATÉRIAUX

Figure 4.18  Pour N donné, la distribution de contrainte suit une loi normale. cette situation, Belyaev [9] a fait remarquer qu'il est plus ecace d'utiliser comme abscisse non pas n ou log n mais 1/n, car dans cette présentation, la limite d'endurance est l'ordonnée à l'origine de la courbe, ce qui est beaucoup plus facile à déterminer. (g 4.19).

Figure 4.19  Courbe de Wöhler à la Belyaev. La limite d'endurance est ici l'ordonnée à l'origine de la courbe.

Dans cette présentation, on peut procéder graphiquement ou ajuster par les moindres carrés une loi de la forme

σ = f 1 N

4.6. ESSAIS DE FATIGUE 61 par exemple, σ = σas+ A  1 N B

Chapitre 5

Détermination des limites de

résistance

5.1 Contraintes nominales

Figure 5.1  Contraintes dans un barreau à gorge.

Les pièces de machines ont le plus souvent des formes accidentées et, par conséquent, des distributions de contraintes assez complexes. C'est par exemple le cas du barreau à gorge de la gure 5.1, pour lequel est représentée la distribu- tion des contraintes en traction, au droit du fond de la gorge. Cette distribution peut être obtenue par diérents procédés :

 Par voie analytique à partir de la théorie de l'élasticité. Ceci ne vaut que pour quelques entailles simples. De nombreux résultats utiles ont néan- moins été obtenus par Neuber [63].

 Par des essais photoélastiques. Cette méthode expérimentale a fourni un grand nombre de résultats utiles dans le passé.

 Par éléments nis.

De nombreuses solutions sont ainsi connues et répertoriées, notamment dans l'ouvrage de Peterson [73], et il est inutile d'essayer de les retrouver. Par ailleurs,

64 CHAPITRE 5. DÉTERMINATION DES LIMITES DE RÉSISTANCE tant que l'on reste en régime élastique, les contraintes sont proportionnelles à la force appliquée. Ceci justie la procédure suivante, qui est couramment appli- quée en construction des machines : on considère la section nette, de diamètre d sur la gure, et on appelle contrainte nominale la contrainte uniforme donnant la même force sur cette section :

σn=

F

πd2 (5.1)

qui représente en fait la contrainte que l'on aurait dans la section nette s'il n'y avait pas de concentration. En régime élastique, la contrainte maximale σk dans

la section considérée est alors un multiple de la contrainte nominale, et leur rapport

αk=

σk

σn (5.2)

est alors appelé coecient de concentration de contrainte1_.

Nous nous intéresserons spécialement aux arbres, dont les sollicitations es- sentielles sont l'extension, la exion et la torsion. Pour une section nominale circulaire comme ci-dessus, on dénit naturellement les trois contraintes nomi- nales suivantes :

1. La contrainte nominale d'extension σe qui se calcule à partir de l'eort

normal N par

σe=

N

πd2 (5.3)

2. La contrainte nominale de exion σf, liée au moment de exion résultant

Mf par la relation

σf=

32Mf

πd3 (5.4)

3. La contrainte nominale de torsion τt, qui se calcule à partir du moment

de torsion par

τt=

16Mt

πd3 (5.5)

On trouvera dans le Mémento un atlas assez fourni de coecients de concen- tration de contrainte.

Dans le cas que nous venons d'envisager, le choix de la section nette est assez naturel. Il existe d'autres situations où ce choix est moins évident et, par conséquent, plus arbitraire. Ainsi, pour un arbre avec une rainure de clavette, on trouve dans la littérature plusieurs choix de section et de contraintes nominales. Comme, de toute évidence, le coecient de concentration de contrainte dépend de ce choix, il faut se conformer scrupuleusement au calcul de la contrainte nominale indiqué.

1. Il s'agit de la notation allemande. L'indice k signie Kerbe, entaille en allemand. Les anglo-saxons notent ce coecient Kt.