5.2 Principe de la détermination des limites de
résistance
5.2.1 Généralités
Le calcul de véri cation à la résistance suppose d'abord la détermination des sections dangereuses, que l'on suppose indépendantes quant à la résistance. Ceci n'est vrai que si elles sont su samment éloignées. Avec un peu d'expérience, on les repère aisément : ce sont presque toujours des sections où apparaissent des discontinuités ou des accidents de forme.
Pour chacune de ces sections, on détermine les contraintes nominales ;
les contraintes nominales limites ;
la sécurité s, rapport entre les précédentes.
L'étape la plus di cile dans ce calcul est la détermination des contraintes no- minales limites, car elles dépendent de nombreux facteurs, au rang desquels il faut citer
La forme eective de la section et de son voisinage. C'est ce que l'on appelle l'eet d'entaille.
La dimension de la pièce. La résistance de pièces semblables de taille dif- férente n'est pas la même. C'est ce que l'on appelle l'eet d'échelle. L'état de surface. La rugosité peut être préjudiciable à la tenue de la pièce.
C'est ce que l'on appelle l'eet d'élaboration.
Dans certains cas, il faut tenir compte de l'environnement : températures élevées, corrosion, etc. Nous ne traiterons pas ces eets qui relèvent de cours spécialisés.
5.2.2 Indices d'eet
L'approche traditionnelle consiste à tenir compte des eets cités ci-dessus en divisant la contrainte limite obtenue sur une éprouvette de laboratoire par des indices d'eet qui sont
a) l'indice d'eet d'échelle βg(g pour Gröÿe, grandeur en allemand) ;
b) l'indice d'eet d'entaille βk (k pour Kerbwirkung, eet d'entaille en alle-
mand) ;
c) l'indice d'eet d'élaboration βb (b pour Bearbeitung, élaboration en alle-
mand).
Ces indices ne sont malheureusement pas indépendants et, en conséquence, ils dépendent de l'ordre dans lesquels on les considère. Une première manière de faire est celle de Leroy et Viseur [52], qui est représentée en gure 5.22.
1. L'éprouvette de laboratoire a une dimension de référence d∗ (souvent
10mm), est sans entaille et présente une rugosité très faible R∗
t ≈ 0. Sa
contrainte limite est
(σlim)réf = σlim(d∗,sans entaille, R∗t) (5.6)
2. Dans ce qui suit, nous noterons σ une contrainte quelconque, d'extension, de exion ou de torsion. Il faut noter que la valeur des indices d'eet dière d'une sollicitation à l'autre.
66 CHAPITRE 5. DÉTERMINATION DES LIMITES DE RÉSISTANCE
Figure 5.2 Les indices d'eet, selon Leroy et Viseur.
2. On relie cette éprouvette de laboratoire à une éprouvette géométriquement semblable de dimension d par l'indice d'eet d'échelle
βg(matériau, d) =
σlim(d∗,sans entaille, R∗t)
σlim(d,sans entaille, R∗t)
(5.7) 3. À échelle constante, on tient compte de la forme par l'indice d'eet d'en-
taille
βk(matériau, d, entaille) =
σlim(d,sans entaille, R∗t)
σlim(d,entaille, Rt∗)
(5.8) 4. L'échelle et la forme étant maintenues identiques, on tient compte de l'état
de surface par l'indice d'eet d'élaboration βk(matériau, d, entaille, Rt) =
σlim(d,entaille, R∗t)
σlim(d,entaille, Rt) (5.9)
Sous cette forme, l'indice d'eet d'échelle est indépendant de l'entaille, mais l'indice d'eet d'entaille dépend de l'échelle et, malheureusement, on ne dis- pose pratiquement pas dans la littérature de données relatives à l'eet d'en- taille pour plusieurs tailles diérentes d'éprouvettes. Aussi, de nombreux auteurs procèdent-ils autrement :
2'. Ils commencent par l'eet d'entaille à la dimension de référence : ¯
βk(matériau, entaille) =
σlim(d∗,sans entaille, R∗t)
σlim(d∗,entaille, R∗t)
(5.10) 3'. Ils font alors intervenir un indice d'eet d'échelle dépendant de l'entaille selon des abaques où intervient le coe cient de contrainte et, à vrai dire, sujets à caution : ¯ βg(matériau, entaille, d) = σlim(d∗, entaille, R∗t) σlim(d,entaille, Rt∗) (5.11)
5.3. RUPTURE STATIQUE 67 4'. En n, leur indice d'élaboration est identique à celui de Leroy et Viseur,
¯
βb= βb (5.12)
car il traduit le même rapport.
On le voit, aucune de ces deux approches n'est totalement satisfaisante, du fait du manque de données. Nous n'adopterons donc pas cette démarche telle quelle et nous la remplacerons, en fatigue notamment, par une analyse plus réaliste des faits dans laquelle les eets d'échelle et d'entaille sont imbriqués.
5.3 Rupture statique
La rupture statique est un phénomène relativement facile à cerner, car in- dépendant du temps. Le résultat de l'essai est formel et dé nitif : l'éprouvette résiste ou se rompt. L'essai est simple, bref et peu coûteux et la dispersion n'est pas grande. Il convient cependant d'étudier les eets d'échelle, d'entaille et d'élaboration, trop souvent omis dans les cours de résistance des matériaux. Nous aecterons d'un indice supérieur (0) les grandeurs relatives à la rupture statique.
5.3.1 Extension
Sur les éprouvettes de laboratoire, généralement de diamètre inférieur à 16 mm, on mesure la limite de rupture de référence Rm en extension3. Toujours
pour cette sollicitation, on écrira dans le cas général σ(0)e,lim= Rm β(0)g,eβ (0) k,eβ (0) b,e (5.13) 5.3.1.1 Eet d'échelle
On constate expérimentalement que la limite de rupture des grandes éprou- vettes est inférieure à celle des petites. En se fondant sur l'hypothèse d'une répartition statistique de défauts dans la pièce et sur le postulat du lien le plus faible, ce qui revient à dire qu'une rupture locale entraîne la rupture totale, Weibull [85] a obtenu la relation
β(0)g,e = d d∗
3/m
(5.14) On constate que cette formule prédit très bien l'eet d'échelle des matériaux fragiles [15, 57]. Pour les aciers utilisés en construction mécanique, qui sont ductiles, il faut distinguer les aciers de construction et les aciers d'amélioration. Pour les aciers de construction, l'examen des données des normes DIN relatives à trois aciers courants, à savoir S235 (St37), E295 (St50) et E360 (St70) montre que la limite de rupture ne varie guère plus que de 3% jusqu'à 250 mm de diamètre. On peut donc ecrire sans grande erreur
βg,e(0)≈ 1 (aciers de construction) (5.15)
3. Nous réserverons la notation Rmà la valeur obtenue sur des éprouvettes de taille stan-
68 CHAPITRE 5. DÉTERMINATION DES LIMITES DE RÉSISTANCE Les aciers trempés et revenus présentent un eet d'échelle lié au fait que lors de la trempe, le refroidissement du coeur de la pièce est plus lent que celui de la peau qui est en contact direct avec l'agent trempant. Il en résulte que le durcissement est d'autant plus faible que l'on se situe loin de la peau. Par conséquent, la valeur moyenne de la résistance de la pièce est inférieure à celle de sa peau.
L'examen des données des normes DIN sur l'acier 34CrMo4 conduit à un eet d'échelle de la forme (d/10mm)0,1165. Pour l'acier 51CrV4, on obtient
(d/10mm)0,1030. Il semble donc que la relation souvent citée
βg,e(0)≈
d
10mm 1/8
(aciers d'amélioration courants) (5.16) va dans le sens de la sécurité.
Il faut encore citer le cas des aciers autotrempants pour lesquels la pé- nétration de la trempe est très forte. L'examen des données DIN pour l'acier 36NiCrMo16 conduit à un eet d'échelle approximativement égal à (d/10mm)0,06869, ce qui nous mène à écrire, avec une certaine sécurité,
β(0)g,e ≈ d 10mm 1/14 (aciers autotrempants) (5.17) 5.3.1.2 Eet d'entaille
Pour les matériaux ductiles, comme le sont les aciers de construction méca- nique, la plasticité a pour eet de niveler la courbe des contraintes, si bien qu'à la rupture, les contraintes dans la section aaiblie sont pratiquement uniformes et égales à la contrainte nominale. En outre, si l'on considère, pour xer les idées, la pièce de la gure 5.1, les parties de la pièce non aaiblies ont pour eet de gêner la striction, si bien que la section déformée n'est pas, comme dans une pièce sans entaille, amoindrie. Il en résulte que la limite de rupture est aug- mentée (mais qu'en contrepartie, l'allongement à la rupture est diminué, si bien que la pièce est plus fragile) ( g. 5.5). On peut donc écrire, avec une certaine
Figure 5.3 L'entaille augmente la limite de rupture mais diminue la ductilité. sécurité
5.4. FATIGUE SOUS SOLLICITATION ALTERNÉE 69