4 Espaces vectoriels
Exemple 42. Le R -espace vectoriel R n
Soitnun entier supérieur ou égal à 1. PosonsK=RetE=Rn. Un élémentu∈Eest donc un n-uplet (x1,x2, . . . ,xn) avecx1,x2, . . . ,xndes éléments deR.
– Définition de la loi interne.Si (x1, . . . ,xn) et (x10, . . . ,x0n) sont deux éléments deRn, alors :
(x1, . . . ,xn)+(x01, . . . ,x0n)=(x1+x01, . . . ,xn+x0n).
– Définition de la loi externe.Siλest un réel et (x1, . . . ,xn) est un élément deRn, alors : λ·(x1, . . . ,xn)=(λx1, . . . ,λxn).
L’élément neutre de la loi interne est le vecteur nul (0, 0, . . . , 0). Le symétrique de (x1, . . . ,xn) est (−x1, . . . ,−xn), que l’on note−(x1, . . . ,xn).
De manière analogue, on peut définir le C-espace vectoriel Cn, et plus généralement le K -espace vectorielKn.
Exemple 43
Tout plan passant par l’origine dansR3 est un espace vectoriel (par rapport aux opérations habituelles sur les vecteurs). SoientK=RetE=P un plan passant par l’origine. Le plan admet une équation de la forme :
ax+b y+cz=0 oùa,betcsont des réels non tous nuls.
0
Un élémentu∈Eest donc un triplet (noté ici comme un vecteur colonne)³xy z
´
Espaces vectoriels 61 cz=0. Soient³xy z ´ et µx0 y0 z0 ¶
deux éléments deP. Autrement dit,
ax+b y+cz = 0, et ax0+b y0+cz0 = 0. Alors µx+x0 y+y0 z+z0 ¶
est aussi dansP car on a bien :
a(x+x0)+b(y+y0)+c(z+z0)=0.
Les autres propriétés sont aussi faciles à vérifier : par exemple l’élément neutre est³00 0 ´ ; et si³xy z ´
appartient àP, alorsax+b y+cz=0, que l’on peut réécrirea(−x)+b(−y)+c(−z)=0 et ainsi−³xy
z
´
appartient àP.
Attention ! Un plan ne contenant pas l’origine n’est pas un espace vectoriel, car justement il ne contient pas le vecteur nul³00
0 ´
.
1.3. Terminologie et notations
Rassemblons les définitions déjà vues.– On appelle les éléments deEdesvecteurs. Au lieu deK-espace vectoriel, on dit aussi espace vectoriel surK.
– Les éléments deKseront appelés desscalaires.
– L’élément neutre0E s’appelle aussi levecteur nul. Il ne doit pas être confondu avec l’élé-ment 0 deK. Lorsqu’il n’y aura pas de risque de confusion, 0E sera aussi noté 0.
– Lesymétrique−ud’un vecteuru∈Es’appelle aussi l’opposé.
– La loi de composition interne surE(notée usuellement+) est appelée couramment l’addition etu+u0est appelée somme des vecteursuetu0.
– La loi de composition externe surEest appelée couramment multiplication par un scalaire. La multiplication du vecteurupar le scalaireλsera souvent notée simplementλu, au lieu deλ·u.
Somme denvecteurs.Il est possible de définir, par récurrence, l’addition denvecteurs,nÊ2. La structure d’espace vectoriel permet de définir l’addition de deux vecteurs (et initialise le processus). Si maintenant la somme de n−1 vecteurs est définie, alors la somme de nvecteursv1,v2, . . . ,vn est définie par
v1+v2+ · · · +vn=(v1+v2+ · · · +vn−1)+vn.
L’associativité de la loi+nous permet de ne pas mettre de parenthèses dans la sommev1+v2+ · · · +vn. On noterav1+v2+ · · · +vn= n X i=1 vi.
1.4. Mini-exercices
1. Vérifier les 8 axiomes qui font deR3 unR-espace vectoriel. 2. Idem pour une droiteDdeR3passant par l’origine définie par
(
ax+b y+cz = 0
a0x+b0y+c0z = 0 . 3. Justifier que les ensembles suivantsne sont pasdes espaces vectoriels :©
(x,y)∈R2|x y=0ª ;© (x,y)∈R2 |x=1ª ;© (x,y)∈R2 |xÊ0 etyÊ0ª ;© (x,y)∈R2 | −1ÉxÉ1 et −1ÉyÉ1ª .
Espaces vectoriels 62
4. Montrer par récurrence que si lesvisont des éléments d’unK-espace vectorielE, alors pour tousλi∈K :λ1v1+λ2v2+ · · · +λnvn∈E.
2. Espace vectoriel (fin)
2.1. Détail des axiomes de la définition
Revenons en détail sur la définition d’un espace vectoriel. Soit doncEunK-espace vectoriel. Les éléments deEseront appelés desvecteurs. Les éléments deKseront appelés desscalaires.
Loi interne.
La loi de composition interne dansE, c’est une application deE×EdansE :
E×E → E
(u,v) 7→ u+v
C’est-à-dire qu’à partir de deux vecteursuetvdeE, on nous en fournit un troisième, qui sera noté u+v.
La loi de composition interne dansEet la somme dansKseront toutes les deux notées+, mais le contexte permettra de déterminer aisément de quelle loi il s’agit.
Loi externe.
La loi de composition externe, c’est une application deK×EdansE :
K×E → E
(λ,u) 7→ λ·u
C’est-à-dire qu’à partir d’un scalaireλ∈Ket d’un vecteuru∈E, on nous fournit un autre vecteur, qui sera notéλ·u.
Axiomes relatifs à la loi interne.
1. Commutativité.Pour tousu,v∈E,u+v=v+u. On peut donc additionner des vecteurs dans l’ordre que l’on souhaite.
2. Associativité.Pour tous u,v,w∈E, on a u+(v+w)=(u+v)+w. Conséquence : on peut « oublier » les parenthèses et noter sans ambiguïtéu+v+w.
3. Il existe un élément neutre, c’est-à-dire qu’il existe un élément de E, noté 0E, vérifiant : pour tout u∈E, u+0E =u (et on a aussi 0E+u=u par commutativité). Cet élément 0E s’appelle aussi levecteur nul.
4. Tout élémentudeEadmet unsymétrique(ouopposé), c’est-à-dire qu’il existe un élément u0deEtel queu+u0=0E (et on a aussiu0+u=0E par commutativité). Cet élémentu0deE est noté−u.
Proposition 11
– S’il existe un élément neutre 0E vérifiant l’axiome (3) ci-dessus, alors il est unique.
– Soit uun élément deE. S’il existe un élément symétriqueu0 deE vérifiant l’axiome (4), alors il est unique.
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Démonstration
– Soient 0Eet 00Edeux éléments vérifiant la définition de l’élément neutre. On a alors, pour tout élémentudeE :
u+0E=0E+u=u et u+00E=00E+u=u – Alors, la première propriété utilisée avecu=00
Edonne 00
E+0E=0E+00 E=00
E. – La deuxième propriété utilisée avecu=0Edonne 0E+0E0 =00E+0E=0E. – En comparant ces deux résultats, il vient 0E=00
E.
– Supposons qu’il existe deux symétriques deunotésu0etu00. On a :
u+u0=u0+u=0E et u+u00=u00+u=0E.
Calculonsu0+(u+u00) de deux façons différentes, en utilisant l’associativité de la loi+et les relations précédentes.
– u0+(u+u00)=u0+0E=u0
– u0+(u+u00)=(u0+u)+u00=0E+u00=u00 – On en déduitu0=u00.
Remarque
Les étudiants connaissant la théorie des groupes reconnaîtront, dans les quatre premiers axiomes ci-dessus, les axiomes caractérisant un groupe commutatif.
Axiomes relatifs à la loi externe.
5. Soit 1 l’élément neutre de la multiplication deK. Pour tout élémentudeE, on a 1·u=u.
6. Pour tous élémentsλetµdeKet pour tout élémentudeE, on a λ·(µ·u)=(λ×µ)·u.
Axiomes liant les deux lois.
7. Distributivitépar rapport à l’addition des vecteurs. Pour tout élémentλdeKet pour tous élémentsuetvdeE, on a
λ·(u+v)=λ·u+λ·v.
8. Distributivité par rapport à l’addition des scalaires. Pour tous λet µ deK et pour tout élémentudeE, on a :
(λ+µ)·u=λ·u+µ·u.
La loi interne et la loi externe doivent donc satisfaire ces huit axiomes pour que (E,+,·) soit un espace vectoriel surK.
2.2. Exemples
Dans tous les exemples qui suivent, la vérification des axiomes se fait simplement et est laissée au soin des étudiants. Seules seront indiquées, dans chaque cas, les valeurs de l’élément neutre de la loi interne et du symétrique d’un élément.
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