5 Dimension finie
Théorème 23. Théorème de la dimension
5. Dimension des sous-espaces vectoriels
Tout sous-espace vectorielF d’unK-espace vectorielEétant lui même unK-espace vectoriel, la question est de savoir s’il est de dimension finie ou s’il ne l’est pas.
Prenons l’exemple de l’espace vectorielE=F(R,R) des fonctions deRdansR :
– il contient le sous-espace vectorielF1=Rn[X] des (fonctions) polynômes de degréÉn, qui est de dimension finie ;
– et aussi le sous-espace vectorielF2=R[X] de l’ensemble des (fonctions) polynômes, qui lui est de dimension infinie.
5.1. Dimension d’un sous-espace vectoriel
Nous allons voir par contre que lorsqueEest de dimension finie alorsF aussi.
Théorème 25
SoitEunK-espace vectoriel de dimension finie.
1. Alors tout sous-espace vectorielF deEest de dimension finie ; 2. dimFÉdimE ;
3. F=E ⇐⇒ dimF=dimE.
Démonstration
– SoitEun espace vectoriel de dimensionnet soitFun sous-espace vectoriel deE. SiF={0} il n’y a rien à montrer. On suppose doncF6={0} et soitvun élément non nul deF. La famille {v} est une famille libre deF, doncFcontient des familles libres. Toute famille libre d’éléments de
Fétant une famille libre d’éléments deE(voir la définition des familles libres), alors comme
Eest de dimensionn, toutes les familles libres deFont au plusnéléments.
– On considère l’ensembleKdes entiersktels qu’il existe une famille libre deF ayantk élé-ments :
K= n
k∈N| ∃{v1,v2, . . . ,vk}⊂F et {v1,v2, . . . ,vk}est une famille libre deFo
Cet ensembleK est non vide (car 1∈K) ;Kest un sous-ensemble borné deN(puisque tout élément deK est compris entre 1 etn) doncKadmet un maximum. Notons pce maximum et soit {v1,v2, . . . ,vp}une famille libre deFayantpéléments.
– Montrons que {v1,v2, . . . ,vp}est aussi génératrice deF. Par l’absurde, s’il existewun élément deF qui n’est pas dans Vect(v1, . . . ,vp), alors la famille {v1, . . . ,vp,w}ne peut pas être libre (sinonpne serait pas le maximum deK). La famille {v1, . . . ,vp,w}est donc liée, mais alors la relation de dépendance linéaire implique quew∈Vect(v1, . . . ,vp), ce qui est une contradiction. Conclusion : (v1, . . . ,vp) est une famille libre et génératrice, donc est une base deF.
– On a ainsi démontré simultanément que :
– Fest de dimension finie (puisque (v1,v2, . . . ,vp) est une base deF).
– Ainsi dimF=p, donc dimFÉdimE(puisque toute famille libre deFa au plusnéléments). – De plus, lorsquep=n, le p-uplet (v1,v2, . . . ,vp), qui est une base deF, est aussi une base de
E(car {v1,v2, . . . ,vp}est alors une famille libre deEayant exactementnéléments, donc est une base deE). Tout élément deEs’écrit comme une combinaison linéaire dev1,v2, . . . ,vp, d’oùE=F.
Dimension finie 111
5.2. Exemples
Exemple 92
SiEest unK-espace vectoriel de dimension 2, les sous-espaces vectoriels deEsont :
– soit de dimension 0 : c’est alors le sous-espace {0} ;
– soit de dimension 1 : ce sont les droites vectorielles, c’est-à-dire les sous-espacesKu=
Vect{u}engendrés par les vecteurs non nulsudeE ;
– soit de dimension 2 : c’est alors l’espaceEtout entier.
Vocabulaire. Plus généralement, dans un K-espace vectoriel E de dimension n (n Ê2), tout sous-espace vectoriel deEde dimension 1 est appelédroite vectorielledeEet tout sous-espace vectoriel deEde dimension 2 est appeléplan vectorieldeE. Tout sous-espace vectoriel deEde dimensionn−1 est appeléhyperplandeE. Pourn=3, un hyperplan est un plan vectoriel ; pour n=2, un hyperplan est une droite vectorielle.
Le théorème25précédent permet de déduire le corollaire suivant :
Corollaire 5
SoitE unK-espace vectoriel. SoientF etGdeux sous-espaces vectoriels deE. On suppose queF est de dimension finie et queG⊂F. Alors :
F=G ⇐⇒dimF=dimG
Autrement dit, sachant qu’un sous-espace est inclus dans un autre, alors pour montrer qu’ils sont égaux il suffit de montrer l’égalité des dimensions.
Exemple 93
Deux droites vectoriellesF etGsont soit égales, soit d’intersection réduite au vecteur nul.
Exemple 94
Soient les sous-espaces vectoriels deR3 suivants : F=© (x,y,z)∈R3 |2x−3y+z=0ª et G=Vect(u,v) oùu=³11 1 ´ etv=³ 21 −1 ´ . Est-ce queF=G ?
1. On remarque que les vecteursuetvne sont pas colinéaires, doncGest de dimension 2, et de plus ils appartiennent àF, doncGest contenu dansF.
2. Pour trouver la dimension deF, on pourrait déterminer une base deFet on montrerait alors que la dimension de F est 2. Mais il est plus judicieux ici de remarquer queF est contenu strictement dansR3 (par exemple le vecteur³10
0 ´
deR3 n’est pas dans F), donc dimF<dimR3
=3 ; mais puisqueF contientG alors dimFÊdimG=2, donc la dimension deFne peut être que 2.
3. On a donc démontré queG⊂Fet que dimG=dimF, ce qui entraîneG=F.
Dimension finie 112
Théorème 26. Théorème des quatre dimensions
Soient E un espace vectoriel de dimension finie et F,G des sous-espaces vectoriels de E. Alors :
dim(F+G)=dimF+dimG−dim(F∩G)
Corollaire 6
SiE=F⊕G, alors dimE=dimF+dimG.
Exemple 95
Dans un espace vectoriel E de dimension 6, on considère deux sous-espaces F et G avec dimF=3 et dimG=4. Que peut-on dire deF∩G ? deF+G ? Peut-on avoirF⊕G=E ?
– F∩Gest un sous-espace vectoriel inclus dansF, donc dim(F∩G)ÉdimF=3. Donc les dimensions possibles pourF∩Gsont pour l’instant 0, 1, 2, 3.
– F+G est un sous-espace vectoriel contenant G et inclus dans E, donc 4=dimGÉ
dim(F+G)ÉdimE=6. Donc les dimensions possibles pourF+Gsont 4, 5, 6.
– Le théorème26des quatre dimensions nous donne la relation : dim(F∩G)=dimF+
dimG−dim(F+G)=3+4−dim(F+G)=7−dim(F+G). CommeF+Gest de dimension 4, 5 ou 6, alors la dimension deF∩Gest 3, 2 ou 1.
– Conclusion : les dimensions possibles pourF+Gsont 4, 5 ou 6 ; les dimensions corres-pondantes pourF∩Gsont alors 3, 2 ou 1. Dans tous les cas,F∩G6={0} et en particulier F etGne sont jamais en somme directe dansE.
La méthode de la preuve du théorème26des quatre dimensions implique aussi :
Corollaire 7
Tout sous-espace vectorielFd’un espace vectorielEde dimension finie admet un supplémen-taire.
Démonstration . Preuve du théorème26
– Notez l’analogie de la formule avec la formule pour les ensembles finis : Card(A∪B)=CardA+CardB−Card(A∩B).
– Nous allons partir d’une baseBF∩G={u1, . . . ,up}deF∩G. On commence par compléter BF∩Gen une baseBF={u1, . . . ,up,vp+1, . . . ,vq}deF. On complète ensuiteBF∩Gen une base BG={u1, . . . ,up,wp+1, . . . ,wr}deG.
– Nous allons maintenant montrer que la famille {u1, . . . ,up,vp+1, . . . ,vq,wp+1, . . . ,wr}est une base deF+G. Il est tout d’abord clair que c’est une famille génératrice deF+G(carBF est une famille génératrice deFetBG est une famille génératrice deG).
– Montrons que cette famille est libre. Soit une combinaison linéaire nulle : p X i=1 αiui+ q X j=p+1 βjvj+ r X k=p+1 γkwk=0 (5.1) On poseu=Pp i=1αiui,v=Pq j=p+1βjvj,w=Pr
k=p+1γkwk. Alors d’une partu+v∈F (carBF est une base deF) mais comme l’équation (5.1) équivaut àu+v+w=0, alorsu+v= −w∈G
Dimension finie 113
(carw∈G). Maintenantu+v∈F∩Get aussi bien sûru∈F∩G, doncv=Pq
j=p+1βjvj∈F∩G. Cela impliqueβj=0 pour tout j(car les {vj}complètent la base deF∩G).
La combinaison linéaire nulle (5.1) devientPp
i=1αiui+Pr
k=p+1γkwk=0. OrBGest une base deG, doncαi=0 etγk=0 pour tout i,k. AinsiBF+G={u1, . . . ,up,vp+1, . . . ,vq,wp+1, . . . ,wr} est une base deF+G.
– Il ne reste plus qu’à compter le nombre de vecteurs de chaque base : dimF∩G=CardBF∩G=
p, dimF=CardBF=q, dimG=CardBG =r, dim(F+G)=CardBF+G=q+r−p. Ce qui prouve bien dim(F+G)=dimF+dimG−dim(F∩G).
Mini-exercices 1. SoientF=Vect³³12 3 ´ ,³−31 2 ´´ etG=Vect³³−77 0 ´ ,³65 11 ´´ . Montrer queF=G. 2. Dans R3, on considère F=Vect³³ 1t
−1 ´ ,³1t 1 ´´ ,G =Vect³11 1 ´
. Calculer les dimensions de F,G,F∩G,F+Gen fonction det∈R.
3. Dans un espace vectoriel de dimension 7, on considère des sous-espacesFetGvérifiant dimF=3 et dimGÉ2. Que peut-on dire pour dim(F∩G) ? Et pour dim(F+G) ? 4. Dans un espace vectorielEde dimension finie, montrer l’équivalence entre : (i)F⊕G=
E ; (ii)F+G=Eet dimF+dimG=dimE ; (iii)F∩G={0E}et dimF+dimG=dimE. 5. Soit H un hyperplan dans un espace vectoriel de dimension finie E. Soit v∈E\H.
Montrer queHet Vect(v) sont des sous-espaces supplémentaires dansE.
Auteurs
• D’après un cours de Sophie Chemla de l’université Pierre et Marie Curie, reprenant des parties d’un cours de H. Ledret et d’une équipe de l’université de Bordeaux animée par J. Queyrut,
• et un cours de Eva Bayer-Fluckiger, Philippe Chabloz, Lara Thomas de l’École Polytech-nique Fédérale de Lausanne,