Espace des solutions

Comme le souhait initial est de fournir une assistance lors des toutes premières phases de conception, il est normal de considérer un ensemble sous–contraint de spécifications. Nous considérons que la décomposition fonctionnelle permet d’obtenir une ou plusieurs morphologies de la forme de l’objet. L’optimisation permet ensuite d’obtenir les meilleures valeurs des paramètres de la morphologie. De ce fait, le nombre de solutions étant vaste, il faut pouvoir parcourir l’ensemble de ces solutions. Il faut donc, dans un premier temps, étudier la continuité de cet espace qui influe sur le choix du parcours à utiliser. Ensuite, nous étudions les diverses méthodes d’optimisation permettant le choix des meilleures solutions parmi un ensemble relativement vaste.

3.1.1 Continuité de l’espace des solutions

Soient Ω l’univers des formes à trois dimensions et Σ l’ensemble des formes solutions satisfaisant partiellement ou totalement les spécifications du concepteur. Comme une forme est un sous–ensemble de
³, Ω est représenté par les parties P de
3 aussi notées P (
3). Le cardinal de P est infini car le nombre de formes à trois dimensions est infini. Comme une forme est une partie de Ω, Σ est un ensemble de parties de Ω. Si on considère qu’une forme est une instance d’une morphologie –les paramètres de la morphologie sont valués–, il est possible que plusieurs formes solutions aient la même morphologie. Dans ce cas, plutôt que de stocker toutes les instances de formes solutions, nous préférons stocker les morphologies solutions et stocker les valeurs pour lesquelles la forme est solution. De ce fait, Σ peut être considéré comme un ensemble de morphologies. Chaque morphologie définit une classe de solutions que nous appelons Γ_m (cf. Figure 2-19). Comme les valeurs des paramètres sont réelles, une méthode simple, mais pas nécessairement la meilleure, consiste à conserver les valeurs minimales et maximales pour les différents paramètres de chaque classe. Cela définit un intervalle réel pour chaque paramètre : de ce fait, on peut préciser qu’une classe est continue par morceaux. Par contre, la continuité est perdue entre les classes de forme puisqu’elles sont morphologiquement différentes.

Nous supposons que les bornes des intervalles ne sont pas infinies puisqu’elles représentent des paramètres réalistes de l’objet (il est inconcevable d’imaginer une voiture mesurant 1000km ou 5mm). Les bornes minimales et maximales d’un paramètre sont définis par un expert du métier concerné. Ensuite, c’est l’interprétation des spécifications qui permettra de réduire chaque intervalle.

Les meilleures solutions doivent être présentées au concepteur. Nous verrons dans le paragraphe suivant que le choix des meilleures solutions implique l’étude d’un grand nombre de solutions. C’est-à-dire qu’à partir d’une solution donnée, il faut déterminer les solutions voisines –très proches de la précédente d’un point de vue géométrique. Au sein d’une classe de solutions Γ_m, une méthode, pas nécessairement la

Ω

Σ ^Γ1

Γ2 Γ3

Γ4

Chapitre 2 Synthèse des méthodes de construction d’une forme

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mieux adaptée, consiste à faire varier faiblement un des paramètres de la classe à condition que la variation effectuée appartienne à l’intervalle de variation du paramètre considéré. Cette restriction est du au fait qu’une classe de solutions est continue par morceaux.

Entre classes de formes, il est effectivement possible de découvrir des formes permettant de passer d’une morphologie à une autre ; une technique réalisant cette transformation est appelée morphing [Cohen-Or et al. 98, Decaudin 96]. Toutefois, l’utilisation de cette technique ne permet pas forcément d’obtenir des formes solutions. Prenons comme illustration de cet inconvénient la conception de tuyauterie métallique. Une contrainte de conception très souvent intégrée dans le cahier des charges est le prix de revient du produit. Et, supposons que deux classes de solutions soient obtenues : les tuyaux à section circulaire et à section carrée. Le morphing peut éventuellement proposer une section carrée arrondie (cf. Figure 2-20). Néanmoins, ce type de tuyaux coûte plus cher que les autres et peut ne pas être considéré comme une solution.

En considérant que chaque paramètre d’une classe Γ_i est défini sur un intervalle réel, il est informatiquement irréalisable de parcourir un espace même continu dans son intégralité. Le moyen le plus commun de résoudre ce problème est de parcourir de manière discrète l’ensemble des intervalles des paramètres d’une classe. Cela engendre un autre problème qui est de négliger éventuellement une très bonne solution contenue dans l’espace (cf. Figure 2-21).

Un parcours exhaustif ne peut être utilisé idéalement que lorsque les domaines de définition des paramètres sont déjà discrets comme c’est le cas par exemple dans la nomenclature de pièces mécaniques (le diamètre d’une vis varie dans {5 cm, 6cm, 8cm …}). Il ne faudrait pas non plus que le nombre de valeurs possibles pour un paramètre discret soit trop important ; si tel est le cas, on rejoint le problème précédent. Classe de solutions 1 Classe de solutions 2 Forme générée par morphing

Figure 2-20. Exemple de forme générée par morphing

discrétisation de l’intervalle de variation d’un paramètre satisfaction de la solution solutions négligées solution considérée

3 Choix des meilleures solutions de conception

3.1.2 Méthodes d’optimisation

L’optimisation consiste en une opération permettant d’obtenir le meilleur élément d’un ensemble dans des conditions bien définies [Pun 72]. L’importance de cette opération est capitale car elle permet d’automatiser la recherche de solutions. Toutefois, sa résolution pratique demeure encore difficile pour certaines raisons :

− il est nécessaire de définir d’une façon précise les éléments d’un problème d’optimisation ; − il est important d’organiser ces éléments de telle sorte que le problème paraisse soluble ; − il faut choisir la méthode de résolution adaptée au problème à résoudre.

Ces difficultés peuvent paraître encore plus importantes en réalité dans la mesure où elles sont inter– dépendantes. En effet, le choix d’une méthode diminue considérablement la liberté de définition et de structuration du problème. Réciproquement, il est possible que les éléments du problème soient définis et organisés de telle façon qu’on ne puisse pas trouver de méthodes appropriées.

En fonction de la formulation du problème de manière mathématique (problème non contraint, contraint, linéaire ou non linéaire, dépendant ou non du temps …), [Pun 72] répertorie les méthodes adaptées pour chacun des problèmes (théorie des minimums et maximums, multiplicateurs de Lagrange, méthode du simplexe …).

Toutes ces méthodes mathématiques sont dites exactes dans la mesure où elles sont capables de trouver la meilleure solution si on leur en laisse le temps et si on leur donne les moyens matériels nécessaires. Toutefois, l’utilisation de telles méthodes implique qu’il est possible de caractériser le problème à résoudre sous forme mathématique ; or ce n’est pas toujours le cas. Pour résoudre des problèmes difficilement exprimables sous forme mathématique, [Prins 97] présente brièvement des heuristiques (trouver une solution réalisable en tenant compte d’une fonction de coût sans garantir l’optimalité) en les classant en trois catégories :

− les méthodes construisant une seule solution en réalisant à chaque étape de la construction des choix partiels et définitifs. Si chaque option choisie est la plus avantageuse localement, la méthode est alors appelée gloutonne ;

− les méthodes locales partent d’une solution (en réalité d’un état initial) et construisent par transformation son voisinage. Elles recherchent dans ce voisinage une autre solution améliorant la précédente (ce n’est pas forcément la meilleure solution du voisinage qui est recherchée). Le processus s’arrête quand on ne peut plus améliorer la solution courante. L’inconvénient de cette approche est que la solution définitive peut correspondre à un maximum local et non global. Un exemple d’heuristique locale est la méthode du gradient ;

− les méthodes globales, appelées aussi méta–heuristiques évitent le piège du maximum local en considérant aussi des solutions qui peuvent temporairement aggraver la solution précédente (diminuer le résultat de la fonction de coût). Le recuit simulé, les méthodes taboues et les algorithmes génétiques sont des méthodes globales bien connues.

De bons résultats peuvent être obtenus en combinant une approche locale à une approche globale, comme le confirme l’expérience de [Hertz].

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d’estimer une solution selon un certain nombre de critères, impliquant alors la possibilité de comparer des solutions entre elles. Nous étudions dans le paragraphe suivant les différentes façon d’estimer.