Proposition 26 (Espérance de la loi binomiale). On appelle de la variable aléatoireX le nombre :E(X) =np
Exemple 27. En reprenant l’exemple du dé pour 20 lancer, calculer l’espérance associée :
En ré-pétant un grand nombre de fois 20 lancé de dés, on obtient en moyenne “face 6” pour
lancés.
Exercices :
à voir
https://www.youtube.com/watch?v=7k4ZYdfWEY8
Exercice 7.5. Un QCM est composé de 4 questions indépendantes les unes des autres. Pour chaque question 5 réponses sont proposées dont une seule est exacte.
On répond au hasard à chaque question et on s’intéresse aux nombre de réponses exactes obtenues à la fin du QCM.
1. Vérifier que cette situation correspond à un schéma de Bernoulli 2. Représenter la situation par un arbre pondéré
3. Calculer la probabilité d’obtenir 4 réponses exactes.
4. Calculer la probabilité d’obtenir uniquement la troisème réponse exacte.
5. Calculer la probabilité d’obtenirdeux réponses exactes.
Exercice 7.6. Une urne contient dix boules (3 rouge et 5 vertes) numéroté de 1 à 10. On prends 15 fois une boule au hasard et avec remise. On s’intéresse au nombre de fois on l’où obtient une boule avec un numéro pair.
1. Vérifier que cette situation correspond à une variable aléatoireX qui suit une loi binomiale.
2. Déterminer la probabilité qu’on tire au moins 10 boules avec un numéro pair.
Exercice 7.7. Pour le concert de fin d’année du conservatoire, l’auditorium dispose de 400 places réservées aux parents d’élèves. On s’intéresse au nombreX de parents d’élèves assistant au concert de fin d’année dans l’auditorium.
On estime à 0,75 la probabilité que chacun des 500 parents d’élèves assiste au concert. On admet queX suit la loi binomiale de paramètres 500 et 0,75.
1. Calculer l’espérance deX.
2. Déterminer la probabilité que le nombre de places réservées aux parents d’élèves soit suffi-sant. On arrondira le résultat au millième.
Exercice 7.8. Marcel est un joueur de pétanque . La probabilité qu’il touche une boule visée est de 0.7. Il s’entraine neuf fois de suite, les essais successif sont indépendants et on s’intéresse au nombre de boule touchée lors de ces neuf essais. On note X la variable aléatoire correspondant à cette situation
1. Vérifier que la variable X suit la loi binomiale.
2. Compléter le tableau suivant
k 0 1 2 3 4
p(X=k)
k 5 5 7 8 9
p(X=k)
3. Calculer p(X 61),p(X <2) etp(X >6)
4. Calculer la probabilité de “Moins de trois boules touchée” puis celle de “Au moins sept boules sont touchée” .
source/F43-probaI 98
Exercices :
Exercice 7.9. On lance un dé non truqué 30 fois de suite. On s’intéresse au apparition de la face numéroté “3”.
1. Vérifier que cette situation correspond à un schéma de Bernoulli.
2. On noteX la variable aléatoire donnant le nombre de “3” obtenu. Vérifier que X suit la loi binomiale.
3. À l’aide de la calculatrice déterminer la probabilité d’obtenir 8 fois la face “3” à 0,1% près 4. À l’aide de la calculatrice déterminer la probabilité d’obtenir au plus 8 fois la face “3” à
0,1% près
Exercice 7.10. Une urne contient 70 boules dont 20 boules bleues, 25 boules rouges et 25 boules vertes. On tire vingt fois au hasard et avec remise une boule. On note X la variable aléatoire comptant le nombre de boule blueues obtenues.
1. Vérifier que la variable aléatoireX suit la loi binomiale.
2. Détemerner p(X= 10) puisp(X610).
Exercice 7.11. Dand la population active d’un pays, la proportion de chomeurs est de 20%
(données OCDE). On prélève au hasard un échantillon de 20 personnes dans la population active ; la population du pays est suffisament importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 20 individus.
1. Montrer que la variable aléatoire X comptant le nombre de chomeur de l’échantillon suit la loi binomiale.
2. Montrer, à l’aide de la calculatrice, que 1 est le plus petit nombre entier atel que P(X 6 a)<0,025
3. Montrer, à l’aide de la calculatrice, que 8 est le plus petit nombre entier b tel que P(X 6 b)>0,975
4. Interpréter ces résultats.
5. Calculer l’espérance de la variable aléatoire X et interpréter le résultat.
Exercice 7.12. Dans la famille Dupond, il nait plus de fille que de garçon. La grand-mère prétend qu’il y a 1 chance sur 4 d’avoir un garçon. Un membre de la famille souhaite avoir 3 enfants.
1. Montrer que “cette expérience” correspond à un schéma de Bernoulli.
2. Compléter l’arbre pondérez ci-dessous.
3. Quel est la probabilté d’avoir trois filles ?
4. Quel est la probabilité d’avoir au moins 1 garçon ?
5. Determinez l’espérance de la variable aléatoire comptant le nombre de garçons et interpréter.
G
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. . . . . .
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. . . . . .
. . .
F
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source/F44-probaI 100
Exercices :
Exercice 7.13. Albert est un marin participant à une course à la voile en solitaire. Son bateau est très rapide, mais fragile en cas de tempête.
Les prévisions météo permettent d’estimer que, durant la course, la probabilité qu’une tempête survienne est égale à 0,05.
En cas de tempête, on estime que la probabilité qu’Albert soit vainqueur de la course est de 0,02.
En revanche, si aucune tempête ne survient, la probabilité de victoire d’Albert est de 0,8.
Pour tout événement E, on note E l’événement contraire de E.
On considère les événements :
— T : « une tempête survient pendant la course »
— V : « Albert est vainqueur de la course ».
1. En utilisant les données de l’énoncé, construire un arbre de probabilité représentant la si-tuation énoncée.
2. Quelle est la probabilité de l’évènement : « Une tempête survient et Albert est vainqueur de la course » ?
3. Montrer que la probabilité qu’Albert remporte la course est égale à 0,761.
4. Décrire par une phrase et calculer la probabilité de l’événement T∪V
Exercice 7.14. Pour le concert de fin d’année du conservatoire, l’auditorium dispose de 400 places réservées aux parents d’élèves. On s’intéresse au nombre X de parents d’élèves assistant au concert de fin d’année dans l’auditorium.
On estime à 0,75 la probabilité que chacun des 500 parents d’élèves assiste au concert. On admet queX suit la loi binomiale de paramètres 500 et 0,75.
1. Calculer l’espérance deX.
2. Déterminer la probabilité que le nombre de places réservées aux parents d’élèves soit suffi-sant. On arrondira le résultat au millième.
Exercice 7.15. Marcel est un joueur de pétanque . La probabilité qu’il touche une boule visée est de 0.7. Il s’entraine neuf fois de suite, les essais successif sont indépendants et on s’intéresse au nombre de boule touchée lors de ces neuf essais. On note X la variable aléatoire correspondant à cette situation
1. Vérifier que la variable X suit la loi binomiale.
2. Compléter le tableau suivant
k 0 1 2 3 4
p(X=k)
k 5 5 7 8 9
p(X=k)
3. Calculer p(X 61),p(X <2) etp(X >6)
4. Calculer la probabilité de “Moins de trois boules touchées” puis celle de “Au moins sept boules sont touchées” .
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source/F45-probaI 102