7.2.1 Probl`emes cellulaires du 1er ordre
Nous reprenons ici l’´ecriture des probl`emes cellulaires donn´ee en section 3.4.2 du chapitre 3. Que l’on consid`ere l’homog´en´eisation p´eriodique d’une structure mince (plaque ou poutre selon la m´ethode (e,ε) → 0) ou d’un mat´eriau cellulaire, les probl`emes cellulaires sur la cellule 3D Y soumise `a une d´eformation macroscopique E peuvent ˆetre mis sous la forme (y d´esigne l’´echelle
microscopique, a le tenseur de rigidit´e, eyl’op´erateur d´eformation sur la variable y, et ♯ = plaque, poutre ou 3D :
divyσ = 0; σ = a(y) : e; e = ey(uper) + E♯(E,y) dans Y σ.n = 0 sur ∂Yb
uper p´eriodique et σ.n anti-p´eriodique
(7.1)
o`u ∂Y = ∂Ya∪ ∂Yb, avec ∂Ya qui repr´esente le contour de la cellule concern´e par la p´eriodicit´e, et ∂Yb sa partie compl´ementaire, libre d’efforts.
On rappelle que le tenseur E♯est une donn´ee du probl`eme dans le cas d’une d´eformation macro-scopique impos´ee, son expression ´etant donn´ee en section 3.4.2. Enfin, la p´eriodicit´e a lieu dans 1, 2 ou 3 directions de l’espace selon qu’il s’agit d’un probl`eme d’homog´en´eisation de poutre, plaque, ou de mat´eriau 3D.
Le tenseur E♯ peut s’interpr´eter comme une d´eformation initiale, et certains codes standards offrent la possibilit´e de la prendre en compte ainsi. Cependant, cette fonctionnalit´e se limite le plus souvent `a une d´eformation constante, il faut donc envisager d’autres m´ethodes de r´esolution pour les probl`emes cellulaires de poutre ou de plaque.
Les m´ethodes de r´esolution par ´el´ements finis sont fond´ees sur des formulations variationnelles. Pour (7.1), on peut prendre comme formulation variationnelle :
Z Y∗ ¡ a: ey(uper)¢: ey(ψ) dY = − Z Y∗ ¡ a: E♯¢: ey(ψ) dY ∀ ψ p´eriodique (7.2) o`u Y∗ d´esigne la partie solide de la cellule de base Y . On discr´etise alors le champ uper, et la prise en compte de la d´eformation macroscopique, incluse dans E♯, se ram`ene `a un calcul de force g´en´eralis´ee. On note que ce dernier calcul n´ecessite une int´egration sur tous les ´el´ements de la cellule.
On peut aussi r´e´ecrire le second membre de (7.2) sous la forme suivante (L´en´e, 1984) : Z Y∗ ¡ a: E♯¢: ey(ψ) dY = Z ∂Yb ψ.¡a: E♯¢.n dS − Z Y∗ ψ.divy¡a: E♯¢dY (7.3) auquel cas le calcul peut ˆetre plus rapide (cas d’un mat´eriau p´eriodique sans trou, pour lequel la premi`ere int´egrale disparaˆıt car ∂Yb= Ø, et o`u l’int´egrand de la seconde est non nul uniquement `a l’interface entre deux mat´eriaux).
Pour l’homog´en´eisation des plaques et des poutres, ∂Yb n’est jamais vide, et l’int´egrand de la seconde int´egrale de (7.3) est partout non nul d`es lors qu’on impose une courbure. Il est par cons´equent pr´ef´erable d’utiliser (7.2).
Qu’on utilise (7.2) ou l’expression (7.3) de son second membre, on aboutit `a un syst`eme matriciel de la forme :
[K]{Uper} = {F (E)} (7.4)
o`u Uper d´esigne les variables nodales associ´ees `a uper. Le calcul de la loi de comportement ho-mog´en´eis´ee s’obtient facilement `a partir d’un produit scalaire entre la solution de (7.4) et son second membre.
Une autre fa¸con de proc´eder consiste `a travailler `a partir de la formulation variationnelle : Z Y∗ µ a:¡ey(uper) + E♯(E,y)¢ ¶ : µ ey(ψ) + E♯(E∗,y) ¶ dY = |Y |Σ : E∗ ∀ ψ p´eriodique, E∗ (7.5)
o`u |Y | d´esigne la mesure de la p´eriode (homog`ene `a une longueur, une surface ou un volume selon la nature du probl`eme d’homog´en´eisation `a r´esoudre), et Σ les contraintes macroscopiques, qui sont
les moyennes des contraintes microscopiques pour un probl`eme mat´eriau. Pour un probl`eme de plaque, Σ est constitu´e des efforts de membrane et des moments de flexion moyens sur la p´eriode, et sont mis en dualit´e par (7.5) avec les macro-d´eformations de membrane et de courbure.
En consid´erant alors les d´eformations macroscopiques en tant que degr´es de libert´e, on n’a plus de vecteur force g´en´eralis´ee `a calculer. Il faut cependant modifier les matrices ´el´ementaires d´eformations/d´eplacements pour avoir une d´eformation ´egale `a ey(uper)+E♯(E,y). Cette m´ethode, dite du noeud macroscopique (D´ebordes, 1989), est impl´ement´ee dans le code SIC pour l’homo-g´en´eisation p´eriodique des mat´eriaux. Elle conduit `a un syst`eme de la forme :
· K K1 KT 1 K2 ¸ . ½ Uper E ¾ = ½ 0 |Y |Σ ¾ (7.6) On note que |Y |Σ ´etant les r´eactions associ´ees aux d´eformations impos´ees E, on dispose ainsi d’un moyen simple pour calculer la loi de comportement homog´en´eis´ee.
Avec les approches pr´ec´edentes, les relations de p´eriodicit´e se traduisent par l’´egalit´e de degr´es de libert´e. En pratique, on ´elimine les degr´es de libert´e redondants, ce qui donne une matrice rai-deur de taille minimale.
Une autre m´ethode de r´esolution peut aussi ˆetre utilis´ee, en discr´etisant le champ total uT tel que ey(uT) = ey(uper) + E♯(E,y). Il en r´esulte que la seule sp´ecificit´e des probl`emes cellulaires est la prise en compte de la p´eriodicit´e de uper, qui donne des relations lin´eaires entre degr´es de libert´e avec un second membre non nul. L’int´erˆet de cette approche est qu’il est possible d’utiliser un code standard pour la r´esolution. Le travail se limite alors `a la g´en´eration des relations lin´eaires, la loi de comportement homog´en´eis´ee ´etant d´etermin´ee `a partir de l’´energie de d´eformation.
En pratique, on r´esout n probl`emes cellulaires ind´ependants, correspondant `a un seul terme non nul dans les composantes de la d´eformation macroscopique E (ainsi n=6 pour un mat´eriau 3D ou une plaque, et n=4 pour une poutre). La solution de 7.1 peut donc s’´ecrire sous la forme :
uper = ´u+ χ1(y) : E(z3) (7.7)
o`u ´u est un d´eplacement de solide rigide, et o`u le symbole : repr´esente une contraction : – double en homog´en´eisation 3D : uper= ´u+ χ1klEkl avec k,l ∈ {1,3};
– double en homog´en´eisation de plaque, : uper = ´u+ χ1M αβEαβ+ χ1CαβEαβ avec α,β ∈ {1,2} et o`u les exposants M et C font r´ef´erence aux d´eformations macroscopiques de membrane et de courbure ;
– simple en homog´en´eisation de poutre : uper = ´u+χ1LELavec L ∈ {1,4} pour les d´eformations macroscopiques correspondant `a l’extension, aux deux courbures, et `a la torsion.
Enfin, signalons que pour les applications structures minces, l’origine du syst`eme de coordonn´ees (yi) d´etermine la position de l’axe de r´ef´erence de la poutre ou du plan de r´ef´erence de la plaque par rapport auxquels sont calcul´es le comportement macroscopique.
Travaux r´ealis´es
A l’origine, dans le cadre de ma th`ese, j’ai travaill´e sur le logiciel SIC, et me suis donc familiaris´e avec la m´ethode du noeud macroscopique. Etant seul au laboratoire `a travailler avec ce logiciel et ne pouvant suivre ses ´evolutions, j’ai bascul´e sur un programme ”maison”. Je suis en fait parti d’une base, en l’occurrence un programme ´el´ements finis 3D, d´evelopp´e par mon coll`egue A. Le Van, sur lequel j’ai greff´e l’homog´en´eisation p´eriodique de mat´eriaux, plaques et poutres, en impl´ementant cette mˆeme m´ethode. L’int´erˆet de l’approche noeud macroscopique est qu’une fois que l’effort de programmation est fait pour un cas, l’impl´ementation d’un autre cas est tr`es rapide, puisqu’il
suffit de modifier les lignes de programme correspondant `a la relation ey(uper) + E♯(E,y), et aux expressions de |Y | et Σ.
Dans le cas des plaques, on pourra trouver des d´etails concernant l’impl´ementation dans (Buan-nic et al., 2003), joint `a ce m´emoire.
En parall`ele, dans le cadre d’une collaboration industrielle (ETAS : Etablissement Technique d’Angers, DGA), j’ai ´et´e amen´e `a travailler sur la derni`ere m´ethode pr´esent´ee section pr´ec´edente, qui offre l’avantage d’´eviter de red´evelopper dans un code. Ces travaux ont ´et´e r´ealis´es autour du logiciel SAMCEF, et appliqu´es `a la r´esolution des probl`emes de plaque ou poutre. Les exemples du panneau sandwich et du cˆable pr´esent´es au chapitre 2 ont ´et´e trait´es de cette mani`ere.
Enfin, quand nous avons abord´e la r´esolution des probl`emes cellulaires d’ordre sup´erieur (Buan-nic, 2000), il s’est av´er´e qu’aucune des deux m´ethodes pr´ec´edentes n’´etait utilisable facilement, alors que l’approche fond´ee sur (7.2) s’appliquait `a la fois aux probl`emes cellulaires d’ordre 1 et 2. Nous avons donc impl´ement´e cette m´ethode dans notre programme ´el´ements finis pour la r´esolution de ces deux probl`emes cellulaires.
7.2.2 Probl`emes cellulaires du 2eme ordre
Par lin´earit´e, la solution des probl`emes cellulaires du deuxi`eme ordre se d´ecompose en une solution `a d´eformation macroscopique impos´ee (provenant du terme ´u de (7.7)), ´eventuellement une solution particuli`ere due aux efforts r´epartis, et une solution `a gradient de d´eformation macro-scopique impos´ee. C’est `a cette derni`ere solution que nous nous int´eressons ici, qui est solution du probl`eme :
divyτ+ divzS♯(a(y),χ1(y),E) = 0; τ = a(y) : e; e = ey(vper) + ez(χ1(y) : E) dans Y τ.n = 0 sur ∂Yb
vper p´eriodique et τ .n anti-p´eriodique
(7.8)
o`u E est la d´eformation macroscopique intervenant dans les probl`emes cellulaires d’ordre 1. D’autre part, S♯ est homog`ene `a une contrainte, et son expression est obtenue en tenant compte des condi-tions d’existence d’une solution aux probl`emes cellulaires du 2eme ordre. Compte tenu de cette derni`ere expression et de la forme des d´eformations, il apparaˆıt que la solution du probl`eme est fonction du gradient de la d´eformation macroscopique gradzE, avec z qui d´esigne la variable ma-croscopique, poss´edant 1, 2 ou 3 composantes selon qu’on homog´en´eise un probl`eme de poutre, plaque ou mat´eriau 3D.
On peut trouver la formulation d´etaill´ee de ces probl`emes dans (Buannic, 2000) pour les poutres, (Lewi´nski, 1991) pour les plaques, et (Dumontet, 1990), (Triantafyllidis et Bardenhagen, 1996), (Boutin, 1996) pour les mat´eriaux 3D.
La formulation variationnelle de ce probl`eme s’´ecrit : Z Y∗ ¡ a: ey(vper)¢: ey(ψ) dY = − Z Y∗ ¡ a: ez(χ1(y) : E)¢: ey(ψ) dY + Z Y∗ divzS♯.ψ dY ∀ ψ p´eriodique (7.9)
Ainsi, la comparaison avec (7.2) montre qu’on a le mˆeme premier membre (ce qui signifie qu’une seule triangularisation de la matrice raideur suffira pour la r´esolution des deux probl`emes cellu-laires), et une premi`ere int´egrale dans le second membre qui correspond `a nouveau `a la prise en compte d’une d´eformation initiale. Le dernier terme, associ´e `a l’effort volumique conduit `a un vecteur force g´en´eralis´ee qu’on calcule facilement.
En fait, les difficult´es concernant la r´esolution des probl`emes cellulaires d’ordre 2 sont ailleurs. En effet, les tenseurs S♯ et ez(χ1 : E) sont fonction du champ χ1, solution des probl`emes `a l’ordre pr´ec´edent. Or, la solution de ces probl`emes est d´efinie `a un mouvement de solide rigide pr`es, et la fa¸con dont on le fixe a une influence sur la solution de (7.8). Ainsi, pour ”isoler” la solution correspondant au gradient de d´eformation, il faut utiliser dans ce probl`eme un champ χ1 avec un mouvement d’ensemble en moyenne nul sur la p´eriode (Buannic, 2000).
Si la formulation de ces probl`emes cellulaires d’ordre 2 n’est pas r´ecente, les r´ef´erences dans les-quelles sont pr´esent´es des r´esultats provenant de leur r´esolution num´erique sont, `a ma connaissance, peu nombreuses. On peut citer (Lahellec, 1998) (Peerlings et Fleck, 2002) dans le cas des mat´eriaux 2D et 3D respectivement, et (Bourgeois, 2000) pour les poutres p´eriodiques en contraintes planes. Pour notre part, nous avons trait´e des applications de type poutre (Buannic, 2000), et plaque (Buannic et Cartraud, 2000).
En pratique, comme `a l’ordre pr´ec´edent, on r´esout n probl`emes cellulaires ind´ependants, corres-pondant `a un seul terme non nul dans les composantes gradient de la d´eformation macroscopique gradzE. La solution de 7.8 a donc pour expression :
vper= ´v+ χ2(y)...grad
zE(z3) (7.10)
le symbole... d´esignant une contraction triple en homog´en´eisation de mat´eriau 3D ou de plaque, et simple dans le cas de la poutre.