r`egles. La premi`ere est de respecter la limite de validit´e g´eom´etrique de couche mince d’un mod`ele de plaque (e4 << L). L’´epaisseur de la couche de cisaillement (e4) est suppos´ee ne pas ˆetre sup´erieure `a dix fois la longueur de la structure ´etudi´ee (e4 6 L
10). Deuxi`emement, un rapport entre deux couches cons´ecutives de M4-5n dans leur ordre d’empilement doit ˆetre inf´erieur `a 4 (e
4
e3 6 4) pour que les r´esultats de calcul soient suffisamment pr´ecis dans la discr´etisation M4 des champs selon les ´epaisseurs des couches consid´er´ees (Tran, 2001).
3.2 R´esolution num´erique du M4-5n par la m´ethode aux Diff´erences
Finies (DF)
En manipulant les diff´erentes ´equations d’´equilibre (Eq.s 2.35 `a 2.37), de comportement (Eq.s 2.38 `a 2.42) et de compatibilit´e (Eq.s 2.25 `a 2.29), le probl`eme `a r´esoudre en 2D d´eformation plane s’´ecrit sous la forme d’un syst`eme de 12 (3n) ´equations diff´erentielles d’ordre 2 pour les 4 couches mod´elis´ees par le M4-5n (Eq. 3.7).
AX00(x) + BX0(x) + CX(x) = DY0,10(x) + EY4,50(x) + F Y0,1(x) + GY4,5(x) (3.7) On suppose ici que les forces de volume sont nulles et on ne consid`ere pas de d´eformations an´elastiques. On note par ’ les d´eriv´ees premi`eres des champs inconnus et par ” les d´eriv´ees secondes des champs par rapport `a cette variable, x. Rappelons que X(x) repr´esente le vecteur contenant les 3n inconnues cin´ematiques moyens par couche i de Reissner-Mindlin, not´es U1i(x), φi1(x) et U3i(x). Ces champs cin´ematiques, inconnus du probl`eme `a r´esoudre, d´efinissent respectivement : les d´eplacements moyens dans le plan de la couche i ; leur rotation moyenne ; et les d´eplacements verticaux moyens pour chaque couche i du probl`eme(i ∈ {1, n}). Y0,1(x) et Y4,5(x) sont les vecteurs d’efforts d’interface entre la structure multicouche et son environnement ext´erieur permettant l’´ecriture des conditions aux limites de chargement des v´ehicules s’exer¸cant au-dessus (exposant ”0,1” entre l’ext´erieur et la premi`ere couche) et au-dessous (exposant ”n,n+1”, entre la derni`ere couche et l’ext´erieur) de la liaison avec la chauss´ee.
X = X1 X2 X3 X4 12×1 [Xi] = U1i φi1 U3i [Y0,1] = " τ10,1 ν0,1 # 2×1 [Y4,5] = " τ14,5 ν4,5 # 2×1 (3.8)
Les matrices [A]12×12, [B]12×12, [C]12×12, [D]12×2, [D]12×2, [E]12×2, [F ]12×2 et [G]12×2 d´ependent des param`etres g´eom´etriques et m´ecaniques des mat´eriaux du probl`eme ´elastique ´equivalent. Contraire-ment aux travaux de (Tran, 2004) et pour ´eviter in fine les multiples erreurs d’accumulation dans le calcul num´erique, ces matrices sont compl`etement ´ecrites sous forme explicite dans l’annexe B. Afin de d´evelopper et de v´erifier les calculs analytiques, le logiciel Mathematica (version 5.0) est utilis´e (http ://www.wolfram.com). L’utilisation de ce logiciel de calcul permet ainsi d’´ecrire ces ma-trices analytiquement d’une mani`ere simplifi´ee et r´eduire de plus le nombre d’op´erations que l’outil
3.2. R ´ESOLUTION NUM ´ERIQUE DU M4-5N PAR LA M ´ETHODE AUX DIFF ´ERENCES FINIES (DF) num´erique doit faire.
Les syst`emes de conditions limites aux bords du quadricouche sont exprim´es en fonction des inconnues cin´ematiques de couches et des efforts d’interfaces utilisant les ´equations de comportement de couche comme donn´e dans le chapitre pr´ec´edent (Eq.s 2.54, 2.55, 2.56, 2.57, 2.58, 2.59). L’introduction de fissures verticales suivant l’´epaisseur d’une ou de plusieurs couches `a un x donn´e n´ecessite `a consid´erer que les l`evres de la fissure sont deux bords libres distants de la largeur de la fissure. L’introduction de d´ecollements partiels `a l’interface entre les couches i et i+1 est ´egalement possible `a l’aide des vecteurs Yi,i+1(x) donn´es dans l’annexe A.
La forme matricielle des conditions limites devient :
Cx1X0(x) + Cx2X(x) = Cx3Y0,1(x) + Cx4Y4,5(x) (3.9) Les tenseurs [Cx1]12×12, [Cx2]12×12, [Cx3]12×2 et [Cx4]12×2 sont ´ecrits sous forme explicite dans l’an-nexe B.
Pour la chauss´ee consid´er´ee, dans l’exemple illustr´e par la suite et ainsi mod´elis´ee en 2D, le quadri-couche est consid´er´e bloqu´e aux bords, loin de la charge o`u les mat´eriaux sont confin´es (Eq. 2.56). Les conditions limites des bords libres (Eq. 2.58) sont appliqu´ees pour repr´esenter une fissure verticale dans la troisi`eme couche (i=3) (Figure 3.1).
L’expression analytique de l’´energie ´elastique du M4-5n W2D5n(x) s’´ecrit, apr`es plusieurs simplifications, en terme des caract´eristiques des mat´eriaux et du champ cin´ematique par couche i et des efforts d’interface, inconnus du probl`eme (Eq. 3.10). Sa valeur est ainsi ontenue d`es r´esolution des vecteurs inconnus consid´er´es.
W2D5n(x) = 4 X i=1 " ei5Ei(1 + υi) 120(1 − υi2)2 Z L 0 φi1,112(x)dx + 7e i3 60(1 − υi) Z L 0 φi1,11(x)(τ1i−1,i(x) − τ1i,i+1(x))dx + e iEi 2(1 − υi2) Z L 0 U1,1i 2(x)dx + e i3Ei 24(1 − υi2) Z L 0 φi1,12(x)dx + 9e i(1 + υi) 15Ei Z L 0
(τ1i−1,i(x) − τ1i,i+1(x))2dx + 17e
i 280Ei Z L 0 (νi,i+1(x) − νi−1,i(x))2dx + e i 8Ei Z L 0 (νi,i+1(x) + νi−1,i(x))2dx (3.10) De mˆeme que pour les travaux pr´ec´edents, la r´esolution num´erique du syst`eme 3.7, utilisant la m´ethode des diff´erences finies, consiste tout d’abord `a adimensionnaliser les diff´erentes variables par rapport aux efforts et longueurs du probl`eme, afin d’´eviter les probl`emes de mauvais conditionnement num´erique des diff´erentes matrices (Tran, 2004) (Annexe A). Ensuite, le milieu multicouche ´etudi´e est discr´etis´e selon x en N points (nœuds) (Figure 3.2).
3.2. R ´ESOLUTION NUM ´ERIQUE DU M4-5N PAR LA M ´ETHODE AUX DIFF ´ERENCES FINIES (DF)
Figure 3.2 – Discr´etisation pour le M4-5n et d´ecoupage en zone d’une structure de chauss´ee 2D fissur´ee (Nasser and Chabot, 2015b), (Nasser and Chabot, 2016)
La m´ethode de Newmark (Newmark, 1959), utilis´ee pour r´eduire l’ordre des ´equations diff´erentielles, est impl´ement´e dans le logiciel source libre pour les calculs num´erique ”Scilab” (B¨urkli, 2010), (Berthe-met, 2012) (http ://www.scilab.org) . Dans chaque couche ainsi mod´elis´ee, il est possible d’introduire ais´ement une fissure verticale suivant l’´epaisseur de la couche. Entre deux nœuds cons´ecutifs, les lignes et les colonnes de la couche concern´ee sont remplac´ees par celles correspondant aux conditions aux limites des bords libres. Les matrices correspondantes dans le cas o`u une fissure verticale est introduite dans la troisi`eme couche (Figure 3.1) sont pr´esent´es dans l’annexe B.
Apr`es plusieurs manipulations des ´equations du M4-5n, il est possible de r´eduire l’ordre du syst`eme diff´erentiel (Eq.3.7) pour obtenir le syst`eme final donn´e dans l’Eq. 3.11 :
AX(N ) = BY0,1(N ) + CY4,5(N ) (3.11)
Lorsque la variable x est discr´etis´ee en N nœuds, la matrice A est de dimension 12Nx12N. Les deux tenseurs B et C, de dimension 12Nx2N, repr´esentent les tenseurs r´esultants des forces de chargements et autres conditions aux limites s’exer¸cant respectivement au-dessus et au-dessous du multicouche par l’interm´ediaire des vecteurs Y0,1(N ) et Y4,5(N ). La solution est obtenue en calculant le vecteur X(N ) des 12 champs cin´ematiques.
Quel que soit le cas de position de charge selon x par rapport `a la position d’une fissure verticale, pour le multicouche ainsi mod´elis´e par le M4-5n, on choisit de diviser le milieu filaire en quatre zones suivantes (Figure 3.2) :
* La zone I, `a NI nœuds, est situ´ee `a gauche de la charge avec un maillage de pr´ef´erence d´egressif (d´ecroissant) de gauche `a droite
* La zone II, `a NII nœuds, contient la zone de chargement, sa discr´etisation est r´eguli`ere
* La zone III, `a 2 nœuds seulement, correspond `a la zone de la fissure (conditions limites M4-5n de bords libres entre deux nouds cons´ecutifs)
* La zone IV, `a NIV nœuds, est localis´ee `a droite de la charge avec un maillage de pr´ef´erence progressif (croissant), de gauche `a droite
Afin de d´eterminer le nombre de nœuds de chaque zone, un test de convergence des champs m´ecaniques est r´ealis´e comme donn´e dans l’exemple trait´e par la suite.
3.3. APPLICATION DE L’OUTIL 2D FINALIS ´E SUR LA MOD ´ELISATION D’UNE CHAUSS ´EE