1.3 Etude des solutions globales de champ de gravit´ e
1.3.4 Erreurs et r´ esolution spatiale
Il existe de nombreuses sources d’erreurs affectant les solutions de champ de gravit´e (p. ex. Wahr et al., 2006): le bruit sur les mesures, le traitement des donn´ees (p. ex. le choix des param`etres), l’aliasing des variations de masse `a haute fr´equence non ou mal mod´elis´ees, les mod`eles utilis´es pour corriger des effets de l’atmosph`ere et de l’oc´ean (Thompson et al., 2004; Han et al., 2004; Ray et Luthcke, 2006). Il est difficile d’estimer pr´ecis´ement l’erreur totale sur les estimations du champ de gravit´e.
Les erreurs formelles sur les coefficients de Stokes sont donn´ees par les ´el´ements diagonaux de la matrice de covariance a posteriori. Ces erreurs correspondent aux erreurs d’inversion et tiennent compte des erreurs sur les mesures. Cependant, elles ne repr´esentent qu’une partie de l’erreur totale et sont donc plutˆot optimistes. Pour les rendre plus repr´esentatives, elles sont calibr´ees
par comparaison avec le niveau de bruit des solutions GRACE observ´e sur les oc´eans. Les erreurs formelles calibr´ees sont fournies avec les estimations des coefficients de Stokes dans les produits de niveau 2.
Pour les solutions du GRGS, le facteur de calibration — ´egal `a 3.8 — est calcul´e par comparaison dans le domaine spatial des erreurs formelles avec le signal observ´e sur les oc´eans suppos´e ˆetre
Fig. 1.6 – A gauche: distribution spatiale de l’erreur sur les estimations de hauteur d’eau moyenn´ee sur 22 mois pour les solutions du CSR apr`es filtrage avec un filtre gaussien de 750 km de rayon. A droite: moyenne globale de l’erreur sur les estimations de masse en fonction du temps, pour un filtre de 750 km de rayon (points) ou moyenn´ee sur 22 mois, en fonction du rayon du filtre gaussien (courbe) (d’apr`es Wahr et al., 2006).
-90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Latitude 0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 m dg. 2 to 50 (resolution = 400 km) dg. 2 to 40 (resolution = 500 km) dg. 2 to 30 (resolution = 666 km) dg. 2 to 20 (resolution = 1000 km)
Average zonal error of EIGEN time-variable gravity field solutions Latitude-dependant error of EIGEN monthly solutions, in m of Geoid Height
-90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Latitude 0 1 2 3 4 5 6 7 cm dg. 2 to 50 (resolution = 400 km) dg. 2 to 40 (resolution = 500 km) dg. 2 to 30 (resolution = 666 km) dg. 2 to 20 (resolution = 1000 km)
Average zonal error of EIGEN time-variable gravity field solutions Latitude-dependant error of EIGEN monthly solutions, in cm of Equivalent Water Height
Fig. 1.7 – Erreurs formelles calibr´ees moyennes pour les solutions variables du GRGS en fonction de la latitude, pour diff´erentes r´esolutions spatiales pour le g´eo¨ıde (`a gauche) et la hauteur d’eau ´
essentiellement du bruit (Lemoine, communication personnelle). Cette hypoth`ese est discutable car il existe du signal sur les oc´eans. Cependant, nous verrons dans la section 1.4.3 que le signal observ´e dans les solutions GRACE est sup´erieur au signal pr´edit par un mod`ele de circulation oc´eanique `
a la mˆeme r´esolution spatiale. Ainsi, par le choix de la m´ethode utilis´ee pour calibrer les erreurs formelles, les erreurs peuvent ˆetre sur- ou sous-estim´ees.
Le spectre d’amplitude des erreurs formelles calibr´ees moyenn´e sur 5 ans est repr´esent´e figure 1.5 pour les solutions du GRGS (`a gauche) et du CSR (`a droite). Pour un degr´e harmonique donn´e, les erreurs augmentent avec l’ordre: les coefficients zonaux sont mieux estim´es que les coefficients sectoriels (Wahr et al., 2006; Lemoine et al., 2007). Ceci s’explique par l’orientation quasiment nord-sud des traces au sol des satellites permettant un meilleur ´echantillonnage en latitude qu’en longitude.
Pour les solutions contraintes du GRGS, l’erreur moyenne (courbe rouge) reste inf´erieure au signal moyen (courbe jaune) pour les degr´es inf´erieurs `a 25. Au-del`a, malgr´e la contrainte appliqu´ee pour r´eduire le bruit, l’erreur est sup´erieure au signal. L’erreur est maximale au degr´e 3 du fait de la mauvaise restitution de ce degr´e par GRACE. L’int´egration d’observations de t´el´em´etrie laser `
a ce degr´e pourrait, comme pour le degr´e 2, am´eliorer l’estimation et faire diminuer l’erreur sur ce degr´e. L’erreur moyenne reste stable jusqu’au degr´e 15 puis augmente jusqu’au degr´e 25 pour ensuite d´ecroˆıtre. La contrainte joue donc son rˆole de stabilisation. Le degr´e 3 mis `a part, l’erreur par degr´e est de l’ordre de 0.1 mm.
Pour les solutions libres du CSR calcul´ees par rapport `a la moyenne sur 5 ans, l’erreur moyenne (courbe rouge) est maximale au degr´e 2 (malgr´e le remplacement du coefficient C20 estim´e `a partir des donn´ees GRACE par son estimation `a partir des donn´ees de t´el´em´etrie laser) puis diminue jusqu’au degr´e 14 pour ensuite augmenter r´eguli`erement avec le degr´e. Le pic au degr´e 15 correspond `
a un probl`eme de r´esonance d’orbite: les traces au sol des satellites sont alors identiques, ce qui aboutit `a une moins bonne couverture spatiale. De telles r´esonances ont eu lieu `a l’automne 2004. Aux degr´es inf´erieurs `a 25, l’erreur reste inf´erieure au signal moyen (courbe jaune); au-del`a, signal et erreur sont pratiquement confondus. Le bruit domine clairement le signal `a partir du degr´e 25. Ceci montre la n´ecessit´e de filtrer les solutions soit pendant le processus d’inversion, en appliquant une contrainte par rapport `a un champ de r´ef´erence, soit a posteriori, en utilisant un filtre passe-bas de son choix (voir section 1.4.2).
Afin de connaˆıtre l’erreur formelle en tout point du globe, il est n´ecessaire de prendre en compte tous les termes de la matrice de covariance, y compris les termes non diagonaux traduisant les corr´elations entre coefficients de Stokes. Or, seuls les termes diagonaux sont disponibles via les produits de niveau 2. Afin de rem´edier `a ce manque d’information, Wahr et al. (2006) ont mis au point une m´ethode ind´ependante d’estimation des erreurs utilisant le RMS des r´esidus obtenus apr`es l’ajustement d’un signal annuel et d’une moyenne. Leur estimation des erreurs pour les solutions du CSR est repr´esent´ee figure 1.6 en fonction du temps, des coordonn´ees g´eographiques et du rayon du filtre utilis´e pour le lissage gaussien.
Les erreurs sur les estimations des solutions du GRGS repr´esent´ees figure 1.7 ont ´et´e calcul´ees `
a partir de tous les ´el´ements de la matrice de covariance: ce sont les moyennes temporelles pour plusieurs solutions `a diff´erents degr´es de troncature du d´eveloppement en harmoniques sph´eriques. Comme le montre la figure 1.6 (`a droite), l’amplitude des erreurs varie avec le temps. En effet, plus le nombre de jours d’observation s´electionn´es est grand, plus l’erreur est faible. Les r´esonances d’orbite contribuent aussi `a augmenter les erreurs sur les estimations du champ car elles aboutissent `
a une couverture spatiale plus faible, les traces au sol des satellites ´etant tr`es espac´ees. Dans ce cas, le fait de contraindre les solutions vers le champ statique a priori permet de stabiliser l’inversion. Des solutions contraintes sont alors calcul´ees en plus des solutions libres par le CSR. Nous ne les avons pas utilis´ees afin d’avoir une s´erie temporelle homog`ene. L’erreur varie aussi avec la latitude: elle est minimale aux pˆoles et maximale dans la zone intertropicale (figures 1.6 et 1.7). En effet, l’orbite des satellites ´etant presque polaire, la couverture est meilleure aux pˆoles qu’aux basses latitudes. Enfin,
l’amplitude de l’erreur d´epend de la r´esolution spatiale et du filtrage des solutions: plus les hauts degr´es sont filtr´es, plus les erreurs sont faibles. Ainsi, l’erreur sur les estimations de hauteur d’eau pour les solutions du CSR s’´el`eve — en moyenne sur le globe — `a 15 mm, 21 mm et 38 mm pour des filtrages gaussiens de rayon 1000 km, 750 km et 500 km, respectivement (figure 1.6). Pour les solutions du GRGS, l’erreur sur les variations de hauteur de g´eo¨ıde `a l’´equateur est comprise entre 0.4 et 0.6 mm pour des r´esolutions comprises entre 400 et 1000 km. Aux pˆoles, elle d´epend peu de la r´esolution spatiale des solutions et est peu diff´erente de 0.15 mm. L’erreur sur les variations de hauteur d’eau — `a l’´equateur — est comprise entre 2 et 6 cm pour des r´esolutions comprises entre 400 et 1000 km.