S´eries de Laurent

D´efinitions. Si 0r₁< r₂ 1, on d´efinit l’anneau(ouanneau rond) A(r₁, r₂) ={z2C:r₁<|z|< r₂}= (0, r₂)\ (0, r₁).

Il est d´eg´en´er´e si r₁ = 0 ou r₂ =1. Sinon, son adh´erence A(r₁, r₂) = (0, r₂)\ (0, r₁) est un domaine `a bord, ce bord ´etant alg´ebriquement @ (0, r₂) @ (0, r₁).

Une s´erie de Laurent est une s´erie de la forme X1 alors un anneau maximal de convergence A(r₁, r₂), et sa somme est holomorphe sur cet anneau.

2) Le d´eveloppement en s´erie de Laurent d’une fonction f sur A(r₁, r₂) est unique s’il existe.

D´emonstration. 1) La s´erie

a_nzⁿconverge normalement uniform´ement sur (0, r₂) si r₂ < |z₂|. De mˆeme, la s´erie

a_nzⁿ converge normalement uni-form´ement surC\ (0, r₁) si r₁>|z₁|. Donc

X1 n= 1

a_nzⁿ converge normalement uniform´ement sur (0, r₂)\ (0, r₁) =A(r₁, r₂).

La r´eunion des anneaux o`u la s´erie converge est clairement un anneau maximal de convergence.

Et sur cet anneau, la somme est une limite localement uniforme de fonctions holomorphes, donc est holomorphe.

2) Ceci r´esulte de l’interpr´etation des a_n comme coefficients de Fourier : puisque f(re^i✓) = X1

Notons que ceci s’´ecrit aussi

a_n = 1 2⇡i

Z

@ (z0,r)

f(⇣)⇣ ^{n 1}d⇣. Nous allons le retrouver dans le th´eor`eme ci-dessous.

Th´eor`eme. Soit f une fonction holomorphe sur A(r₁, r₂). On a une d´ecomposition en s´erie de Laurent sur A(r₁, r₂), f(z) =

D´emonstration. On peut supposer 0 < r₁ <₂< 1 et f continue sur l’anneau ferm´e A(r₁, r₂) et contenant l’anneau ouvert A(r₁, r₂). Appliquant la repr´esentation int´egrale de Cauchy, on a

(8z2A(r₁, r₂)) f(z) = 1

Comme dans le cas de (z₀, r), l’int´egrale sur le bord ext´erieur vaut X1

Calculons l’int´egrale sur le bord int´erieur, o`u |z ¹⇣|<1, en d´eveloppant en s´erie 1

Echangeant int´egrale et s´erie, l’int´egrale sur le bord int´erieur vaut X1

6.2 Singularit´es isol´ees

D´efinitions. Une fonction holomorphe a une singularit´e isol´ee en un point z₀ si elle est d´efinie sur un voisinage ´epoint´e dez₀. Cette singularit´e est

• unesingularit´e levablesi f se prolonge holomorphiquement en z₀

• unpˆole si lim

z!z0

f(z) =1

• unesingularit´e essentiellesinon.

Si la s´erie de Laurent de f est X1

Proposition. Soit f une fonction ayant une singularit´e isol´ee en z₀, de s´erie de Laurent X1

n= 1

a_n(z z₀)ⁿ. Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :

1) f a une singularit´e levable en z₀ 2) a_n= 0 pour n <0, soitf_princ= 0 3) f(z) est born´ee quand z!0

4) si f est d´efinie sur ^⇤(z₀, r)\ {0}, on a f_| ⇤(z0,r)2L² soit Z r

0

Z 2⇡

0 |f(⇢e^i✓)|²⇢d⇢d✓<1. D´emonstration. Si 1) est vraie,f est la somme d’une s´erie enti`ere, d’o`u 2) par unicit´e de la s´erie de Laurent. Les implications 2))3))4) sont claires. Enfin, on a

Z r 0

Z 2⇡

0 |f(⇢e^i✓)|²⇢d⇢d✓= Z r

0

Z 2⇡

0 | X1 n= 1

a_n⇢ⁿe^in✓|²⇢d⇢d✓

= X1

1

2⇡|a_n|² Z r

0

⇢²ⁿ⁺¹d⇢.

Sin <0, Z _r

0

⇢²ⁿ⁺¹d⇢= +1, d’o`u 4),1).

Remarque. L’exposant 2 est exact, puisque 1

z 2L^{2 "}( ^⇤) pour tout ">0.

6.4 Pˆoles

Proposition. Soitf une fonction holomorphe sur ^⇤(z₀, r), de s´erie de Laurent X1 n= 1

a_n(z z₀)ⁿ. Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :

1) f a un pˆole en z₀

2) 1/f s’´etend holomorphiquement par 0 enz₀

3) Il existe d2N^⇤ tel quea_n= 0 pourn < det a _d6= 0, c’est-`a-dire que f_princ est un polynˆome de degr´e d en1/(z z₀)

4) Il existe d2N^⇤ tel que (z z₀)^df(z) s’´etend holomorphiquement avec une valeur non nulle en z₀.

5) Il existe deux fonctions p, q holomorphes pr`es de z₀ telles que f = p

q et p(z₀)6= 0,q(z₀) = 0.

D´emonstration. Si 1) est vraie, 1/f s’´etend continˆument par 0 en z₀, donc elle a une singularit´e levable et cette extension est holomorphe, donc 2) est vrai.

Si 2) est vrai, 1/f(z) = (z z₀)^dg(z) o`u g est holomorphe et non nulle en z<sub>0</sub>. Donc on a un d´eveloppement en s´erie enti`ere

1 g(z) =

X1 n=0

b_n(z z₀)ⁿ , b₀6= 0 d’o`u

f(z) = (z z₀)^d

g(z) =

+1

X

n=0

b_n(z z₀)^{n d} , b₀6= 0, ce qui donne 3).

Si 3) est vrai, (z z₀)^df(z) se d´eveloppe en s´erie enti`ere, donc 4) est vrai. Si 4) est vrai, 5) est vrai avec q(z) = (z z₀)^d, p(z) = f(z)(z z₀)^d ´etendue holomorphiquement. Enfin, 5))1) est clair.

D´efinitions. L’entierddes propri´et´es 3) et 4) ci-dessus, qui est clairement unique et ´egal au degr´e enz₀de l’extension holomorphe de 1/f, est appel´el’ordre du pˆolez₀, ou aussimultiplicit´e. Un pˆole d’ordre un est dit simple.

Extension `a une fonction vers C. Si f a un pˆole enz<sub>0</sub>, on peut la prolonger par f(z<sub>0</sub>) =1 en une fonction continue `a valeurs dans C.

6.5 Fonctions m´eromorphes

D´efinition. Soit U une r´egion. Une fonction m´eromorphe sur U est une fonctionf :U \D !C o`uDn’a pas de point d’accumulation dansU, qui est holomorphe surU\Det a un pˆole en chaque point de D.

On note M(U) l’ensemble des fonctions m´eromorphes surU. En imposantf_|D =1, on en fait un ensemble de fonctions continues de U versC qui contient O(U).

Exemple. Toute fonction rationnelle est m´eromorphe surC.

Proposition. Soit f une fonction m´eromorphe non identiquement nulle dans une r´egion U, d’ensemble de pˆolesD.

1) L’ensemble D⁰ =f ¹({0}) n’a pas de point d’accumulation dans U. 2) La fonction 1

f est m´eromorphe sur U. Ses z´eros sont les pˆoles def, et ses pˆoles les z´eros def. 3) L’ensemble M(U) est un corps pour les op´erations habituelles.

D´emonstration. 1) Puisquef est holomorphe surU\Det queD⁰= (f_|U\D) ¹({0}),D⁰ n’a pas de point d’accumulation dansU \D. Comme il est contenu dans U\Det ferm´e dansU puisque f est continue, il n’a pas de point d’accumulation dans D.

2) La fonction 1

f est holomorphe surU\(D[D⁰). De plus, siz₀2D, on ´ecrit f = g

(z z₀)^d avec d >0 etg(z₀)6= 0. Alors 1

f = (z z₀)^d

g est holomorphe et a un z´ero d’ordre den z₀. Et siz₀2D⁰, 1

f a un pˆole enz₀, ce qui prouve 2).

3) La seule (petite) difficult´e est de montrer que la somme de deux fonctions m´eromorphesf₁, f₂2 M(U) est m´eromorphe. En un point z₀ o`u les deux sont holomorphes,f₁+f₂ est holomorphe. Si l’une d’elles est holomorphe, disons f₁, et si f₂ a un pˆole, on ´ecrit f₂ = g₂

(z z₀)^d avec d > 0 et g₂(z₀)6= 0. Alors f₁+f₂= f₁(z z₀)^d+ 1

(z z₀)^d a un pˆole en z₀, de mˆeme ordre que f₂. Enfin, si f et g ont un pˆole enz₀, on ´ecrit f₁= g₁

(z z₀)^d1,f₂= g₂

(z z₀)^d2 avecd₁, d₂>0 etg₁(z₀), g₂(z₀)6= 0.

On peut supposer d₁ d₂, d’o`u

f₁+f₂= g₁(z z₀)^{d1 d2}+g₂ (z z₂)^d2 .

Si d₁> d₂ ou si d₁ =d₂ et g₁(z₀) +g₂(z₀) 6= 0 f₁+f₂ a un pˆole d’ordre d₂ en z₀. Si d₁ = d₂ et g₁+g₂= 0,f₁+f₂= 0 donc est holomorphe enz₀. Enfin, dans le cas restant on ag₁+g₂= (z z₀)^eh avece >0 eth(z₀)6= 0. Sie d₂,f₁+f₂est holomorphe enz₀, sinon elle a un pˆole d’ordred₂ e.

Remarque. Soit f une fonction m´eromorphe sur C. Nous avons vu au 5.4 une construction de Weierstrass d’une fonction enti`erep ayant pour z´eros exactement les pˆoles de f avec multiplicit´es.

Doncp=qgs’´etend en une fonction enti`ere, ainsif = p

q est le quotient de deux fonctions enti`eres.

D’apr`es Mittag-Le✏er, ce r´esultat s’´etend `a tout ouvert U. En particulier, si U est connexe cela veut dire queM(U) est le corps des fractions de O(U).

6.6 Fonctions m´eromorphes sur un ouvert de C

D´efinitions. SiU est un ouvert non vide deC,f :U !Cest m´eromorphe si elle est m´eromorphe sur U \C (ouvert de C) et si z 7! f(1/z) est aussi m´eromorphe. Ses pˆoles sont les ´el´ements de f ¹(1).

Exemple. Toute fonction rationnelle, prolong´ee `aCcomme on l’a vu, est m´eromorphe surC. En e↵et, elle est m´eromorphe surC etf(1/z) est encore une fonction rationnelle.

Le th´eor`eme suivant g´en´eralise celui de Liouville.

Th´eor`eme. Toute fonction m´eromorphe surC est une fraction rationnelle.

D´emonstration. Soit f m´eromorphe sur C. Alors f ¹({1}) est discret et ferm´e dans C qui est compact, donc il est fini : f ¹({1}) = {z₁,· · ·, z_n} ou {z₁,· · ·, z_n}[{1}, avec z₁,· · ·, z_n 2 C.

Sur tout compact, ceci est major´e par Cn ², s´erie convergente, donc le produit converge uni-form´ement sur tout compact vers une fonction sans z´ero et ayant des pˆoles simples en n, n2N^⇤. Par d´efinition, c’est la fonction Gamma d’Euler :

(z) = lim Sa propri´et´e la plus ^hhcaract´eristiqueⁱⁱest

(⇤) (z+ 1) =z (z).

En e↵et :

f_n(z+ 1) = 1.2.· · ·.n

(z+ 1)· · ·(z+n)(z+n+ 1)(n+ 1)^z+1=z n+ 1

z+n+ 1f_n(z).

Par ailleurs, on a

D’o`u le r´esultat puisquez Yn

Enfin, on a la repr´esentation int´egrale, valable sur le demi-plan {Re z >0} : (z) =

Z ₊₁

0

e ^tt^{z 1}dt.

En e↵et, notons F(z) la fonction de droite. L’int´egrale converge pour Re z = x > 0 puisque

|e ^tt^{z 1}|=e ^tt^{x 1} (noter qu’elle est impropre en1 et aussi en 0 six2]0,1[. De plus, la conver-gence est uniforme sur ",+1[+iR, donc F(z) = lim

n!1

Z n 1/n

e ^tt^{z 1}dt, limite localement uniforme.

Donc F est holomorphe sur {Re z >0}. En int´egrant par parties, on a

(z) est 1-p´eriodique, ce qui permet de l’´etendre en une fonction enti`ere. Ensuite, si z=x+iy avecx2[1,2], on a|F(z)|F(x)F(3) = 2, (x) 1 et

donc g a une singularit´e levable en 0 et aussi en1, donc elle est constante. Cette constante est 1 puisque (1) = 1 =F(1), donc F = .

6.8 Singularit´es essentielles

Rappelons qu’une fonctionf ayant une singularit´e isol´ee enz₀a une singularit´e essentielle enz₀ si elle n’a ni une singularit´e levable ni un pˆole. Cela ´equivaut `a l’existence d’une infinit´e de termes n´egatifs non nuls a_n(z z₀)ⁿ,n <0, dans le d´eveloppement de Laurent, donc f_princ n’est pas un polynˆome en 1/(z z₀).

Th´eor`eme (Casorati-Weierstrass). Si f a une singularit´e essentielle en z₀, f( ^⇤(z₀,")) est dense dans C pour tout "tel que f est d´efinie sur ^⇤(z₀,").

D´emonstration. Montrons la contrapos´ee, c’est-`a-dire que sif( ^⇤(z₀,")) ´evite un disque (w₀, ), f a une singularit´e levable ou un pˆole. Posons g(z) = 1

f(z) w₀ : alors g( ^⇤(z₀,"))⇢ (0, ¹), donc g a une singularit´e levable, donc elle s’´etend parg(z₀) =w₁ en une fonction holomorphe sur

(z₀, r). Alorsf(z) =w₀+ 1

g(z) a une singularit´e levable ou un pˆole suivant quew₁6= 0 ouw₁= 0.

Remarque. Le grand th´eor`eme de Picard dit beaucoup plus : sif a une singularit´e essentielle en z₀,f prend toutes les valeurs sauf au plus une dans tout voisinage de z₀ (ou : une infinit´e de fois).

Autrement dit, une fonction ayant une singularit´e isol´ee et ´evitant deux points a une singularit´e levable ou un pˆole. Le petit th´eor`eme de Picard dit que toute fonction enti`ere qui n’est pas un polynˆome prend toutes les valeurs sauf au plus une une nombre infini de fois.

Exemple : la fonction exponentielle prend toutes les valeurs sauf 0 une infinit´e de fois. Donc la fonction e^1/z prend toutes les valeurs sauf 0 dans tout voisinage de 0.

7 Formule des r´ esidus

7.1 R´esidu en un point

D´efinition. Soit f une fonction holomorphe ayant une singularit´e isol´ee en z₀. Elle a donc un d´eveloppement en s´erie de Laurentf(z) =

X1 n= 1

a_n(z z₀)ⁿ. Ler´esidudefenz₀est r´es_z0(f) =a ₁. Sif est continue sur ^⇤(z₀, r)\ {0} et holomorphe sur ^⇤(z₀, r)\ {z₀}, on a

r´es_z0(f) = 1 2⇡i

Z

@ (z0,r)

f(z)dz.

Proposition. On a r´es_z0(f) = 0 si et seulement si f a une primitive d´efinie sur un voisinage

´epoin´e dez₀.

D´emonstration. Sif a une primitiveF sur un tel voisinage V, on a Z

@ (z0,r)

f(z)dz= Z

@ (z0,r)

F⁰(z)dz= 0

pour tout cercle @ (z₀, r) ⇢ V, donc r´es_z0(f) = 0. R´eciproquement, si r´es_z0(f) = 0, posons

G(z) = X

n6= 1

a_n

n+ 1(z z₀)ⁿ⁺¹ : cette s´erie converge normalement sur un voisinage ´epoint´e de 0, donc est holomorphe et se d´erive terme `a terme, soitG⁰(z) = X

n6= 1

a_n(z z₀)ⁿ=f(z).

7.2 Formule des r´esidus

Th´eor`eme. Soient⌦ un domaine compact,z₁,· · ·, z_n un nombre fini de points dansInt(⌦), etf une fonction continue sur ⌦\ {z₁,· · ·, z_n} et holomorphe sur Int(⌦)\ {z₁,· · ·, z_n}. Exemple : f continue sur ⌦\ {z₁,· · ·, z_n} et m´eromorphe sur Int(⌦). Alors

Z

@⌦

f(⇣)d⇣ = 2⇡i Xn j=1

r´es_zj(f).

D´emonstration. Soit r >0 assez petit pour que chaque disque (z_j, r) soit contenu dans Int(⌦).

Alors ⌦_r =⌦\ [n j=1

(z_j, r) est un domaine compact de bord orient´e @⌦

Xn j=1

@ (z_j, r), etf est holomorphe sur un ouvert contenant ⌦_r. Par la formule de Cauchy,

Z

@⌦

f(z)dz= Xn j=1

Z

@ (zj,r)

f(z)dz

= 2⇡i Xn j=1

r´es_zj(f) d’apr`es 7.1.

Exemple. SiR(z) = P(z)

Q(z) est une fraction rationnelle avec deg(Q) deg(P) 2 etQ sans z´ero r´eel, l’int´egrale I =

Z ₁

1

R(x)dx est convergente. Elle se calcule assez simplement par la formule des r´esidus : pourr >0, soit⌦_r le demi-disque (0, r)\H={z:|z|ret Imz 0}(on pourrait

aussi prendre le rectangle [ r, r] +i[0, r]). Alors⌦_r est un domaine `a bord et@⌦_r = [ r, r] +@ ⁺_r, le segment orient´e positivement et le demi-cercle dans le sens trigonom´etrique. On a

Z assez grand, ils sont tous dans Int(⌦_r). Par la formule des r´esidus,

Z ceci est ind´ependant de r et tend vers I, d’o`u

Z ₁

Th´eor`eme. 1) Soit f une fonction holomorphe sur un ouvert contenant un domaine compact ⌦.

On suppose quef ne s’annule pas sur@⌦. Alors le nombre de z´eros def dansInt ⌦, compt´es avec multiplicit´es, est

2) Plus g´en´eralement, soit f une fonction m´eromorphe sur un ouvert U contenant un domaine compact ⌦. On suppose que f n’a ni z´ero ni pˆole sur @⌦. Alors la di↵´erence entre le nombre de z´eros et de pˆoles def dans Int ⌦, compt´es avec multiplicit´es, est

Z_{Int ⌦}(f) P_{Int ⌦}(f) := X

D´emonstration. La fonction f⁰

f est m´eromorphe surU et holomorphe sur@⌦. De plus, siz₀est un z´ero de f, on a f(z) = (z z₀)^dg(z) avec g holomorphe,g(z₀) 6= 0 et d= deg_z(f), d’o`u f⁰(z)

f(z) = d

z z₀ + g⁰(z)

g(z), donc r´es_z0⇣f⁰ f

⌘=d. De mˆeme, siz₀ est un pˆole de f, on af(z) = (z z₀) ^dg(z)

avecgholomorphe,g(z₀)6= 0 etd= ord_z(f), d’o`u f⁰(z)

f(z) = d

z z₀+g⁰(z)

g(z), donc r´es_z0⇣f⁰ f

⌘

= d.

Appliquant la formule des r´esidus `a f⁰

f , on obtient le r´esultat annonc´e.

Remarque. Ce r´esultat est traditionnellement appel´e ^hhprincipe de l’argumentⁱⁱ car l’int´egrale de droite est la variation de l’argument de f(z) le long du bord, exprim´e en tours.

Exemple : th´eor`eme fondamental de l’alg`ebre. Soit P(z) = Xd n=0

a_nzⁿ 2C[z] un polynˆome de degr´e d >0. Les z´eros deP sont en nombre fini donc pourrassez grand|P|ne s’annule pas surC\ (0, r).

Donc

N_C(P) =N _(0,r)(P) = 1 2⇡

Z 2⇡

0

re^i✓P⁰(Re^i✓) P(re^i✓) d✓

= 1 2⇡

Z 2⇡

0

da_d+ Xd k=1

(d k)a_{d k}r ^ke ^ik✓

a_d+ Xd k=1

a_{d k}r ^ke ^ik✓

d✓.

Quandr ! 1, l’int´egrande tend uniform´ement versd. DoncN_C(P) =d, ce qui prouve le th´eor`eme fondamental de l’alg`ebre.

Corollaire 1 : th´eor`eme de Rouch´e. Sif,g sont holomorphes sur un ouvertU contenant⌦et si|f(z) g(z)|<|f(z)|sur @⌦[doncf etgne s’annulent pas sur @⌦], on aZ_Int⌦(f) =Z_{Int ⌦}(g).

D´emonstration. Sit2[0,1], la fonctionf_t =f+t(g f) est holomorphe sur U et ne s’annule pas sur @⌦. On a

Z_Int⌦(f_t) = 1 2⇡i

Z

@⌦

f_t⁰(z) f_t(z)dz,

le membre de gauche est entier et celui de droite est continu en t. Donc Z_Int⌦(f_t) est constant, d’o`u

Z_Int⌦(f) =Z_Int⌦(f₀) =Z_Int⌦(f₁) =Z_Int⌦(g).

Corollaire 2 : injectivit´e d’une limite de fonctions injectives. Soit (f_n) une suite de fonc-tions holomorphes injectives sur une r´egion U, qui converge sur U vers une fonction holomorphe f. Alors f est constante ou injective.

D´emonstration. Montrons la contrapos´ee : si f n’est pas injective, les f_n ne sont pas injectives pour nassez grand. Par hypoth`ese, il existez₁6=z₂ tels quef(z₁) =f(z₂). Par principe des z´eros isol´es, il existe ">0 tel que (z₂,") ⇢U \ {z₁} et f f(z₁) ne s’annule pas sur (z₂,")\ {z₂}. Pourn assez grand, on a|f_n(z) f(z₁) (f(z) f(z₁)|<|f(z) f(z₁)|sur @ (z₂,"). Donc

Z _(z2,")(f_n f_n(z₁)) =Z _(z2,")((f f(z₁))>0,

donc il existez2 (z₂,") tel quef_n(z) =f_n(z₁), et commez6=z₁,f_n n’est pas injective.

8 Propri´ et´ es locales des fonctions holomorphes

8.1 Ouverture d’une fonction holomorphe

Th´eor`eme 1. Toute fonction holomorphe non constante sur une r´egion U est ouverte : l’image par f d’un ouvert contenu dans U est ouverte.

D´emonstration. Il suffit de montrer que si z₀ 2 U, l’image de tout disque ouvert (z₀, r) ⇢ U contient un disque ouvert (f(z₀),"). Il suffit de le faire pour toutr assez petit. Puisquef est non constante, on a f(z) f(z₀) = (z z₀)^dg(z) avec g holomorphe,g(z₀)6= 0 et d= deg_z(f).

Pour r assez petit, g ne s’annule pas sur (z₀, r). Donc f ne s’annule pas sur ^⇤(z₀, r). Donc

|f f(z₀)| a un minimum " > 0 sur @ (z₀, r). Donc si w 2 (f(z₀),"), f w est holomorphe sur @ (z₀, r) et ne s’annule pas sur @ (z₀, r). Donc le nombre de z´eros de f w dans (z₀, r), compt´es avec multiplicit´es, est

N _(z

0,r)(f w) = 1 2⇡i

Z

@ (z0,r)

f⁰(z) f(z) wdz.

C’est une fonction continue de w par continuit´e d’une int´egrale `a param`etre, et elle est `a valeurs enti`eres. Puisque (z₀, r) est connexe, elle est constante. Donc

N _(z

0,r)(f w) =N _(z

0,r)(f) = X

z2f ¹({0})\ (z0,r)

deg_z(f) = deg_z0(f) =d.

Comme d >0, on a f( (z₀, r)) (f(z₀),"), cqfd.

Cette preuve donne un r´esultat plus pr´ecis :

Th´eor`eme 2. Soitf holomorphe et non constante au voisinage dez₀, de degr´edeg_z0(f) =d2N^⇤. Alors tout point proche de f(z₀) et di↵´erent de z₀ a exactement d images r´eciproques proches de z₀, qui sont toutes de degr´e un pour f.

Plus pr´ecis´ement, il existe r,">0 tels que, pour tout w2 ^⇤(f(z₀),"), f ¹({w}) est form´e de d points z₁,· · ·, z_d distincts avecdeg_zi(f) = 1soit f⁰(z_i)6= 0.

D´emonstration. Soientg, r,"comme dans la preuve du th´eor`eme 1. Siw2 (f(z₀),"),f ¹({w}) = {z₁,· · ·, z_k}avec

Xk i=1

deg_zi(f) =d. Si de plus w6=f(z₀), lesz_isont 6=z₀, doncg(z_i)6= 0, d’o`u

f⁰(z_i) =d(z_i z₀)^{i 1}g(z_i) + (z_i z₀)^dg⁰(z_i) = (z z₀)^{d 1}(g(z_i) + (z_i z₀)g⁰(z_i)).

Puisque g(z₀) 6= 0, quitte `a diminuer r on peut supposer que g(z) + (z z<sub>0</sub>)g<sup>0</sup>(z) ne s’annule pas sur <sup>⇤</sup>(z<sub>0</sub>, r), donc f(z<sub>i</sub>) 6= 0 soit deg<sub>zi</sub>(f) = 1. Donck=d, ce qui ach`eve la preuve du th´eor`eme 2.

8.2 Th´eor`eme d’inversion locale

Th´eor`eme. Soit f une fonction holomorphe au voisinage de z₀ telle que f⁰(z₀)6= 0. Soit r assez petit pour quef soit holomorphe sur un ouvert contenant (z₀, r) etf f(z₀) ne s’annule pas sur

⇤(z₀, r). On note "le minimum de |f|sur @ (z₀, r), qui est donc >0.

Alorsf induit une bijection d’inverse holomorphe de f ¹( (f(z₀),")), ouvert contenant z₀, sur (f(z₀),"). *De plus, l’inverse est donn´e par la formule explicite

f ¹(w) = 1 2⇡i

Z

@ (z0,r)

z f⁰(z) f(z) wdz.⇤

D´emonstration. Par hypoth`ese, deg<sub>z0</sub>(f) = 1. D’apr`es la preuve du th´eor`eme d’ouverture, on a N _(z

0,r)(f w) = 1 pour tout w 2 (f(z₀),"). Autrement dit, f ¹({w}) est r´eduit `a un point z = f ¹(w) tel que deg_z(f w) = 1. Donc f induit une bijection de f ¹( (f(z₀),")) sur

(f(z₀),").

Ensuite, soitg(w) la fonction d´efinie par la formule explicite. Fixons w. Si z₀=f ¹(w), on a

g(w) = X

z2f ¹({w})\ (z0,r)

deg_z(f w)r´es_z⇣

z f⁰(z) f(z) w

⌘

= r´es_z0⇣

z f⁰(z) f(z) w

⌘

Pr`es de z₀, on a f(z) w= (z z₀)g(z) avec g(z₀)6= 0, donc z⇣ f⁰(z)

f(z) w

⌘

=z⇣ 1

z z₀ +g⁰(z) g(z)

⌘

= z₀

z z₀ + 1 +zg⁰(z) g(z).

Donc r´es_z0⇣

z f⁰(z)

f(z) w

⌘

= z₀, soit f ¹ = g. Enfin, l’holomorphie d’une int´egrale `a param`etre montre que f ¹ est holomorphe.

8.3 Repr´esentation conforme

D´efinition. Soient U, V deux ouverts de C. Une repr´esentation conforme de U sur V est une bijection holomorphe ainsi que son inverse. Ceci implique quef⁰ne s’annule pas et que (f ¹)⁰(w) =

1

f⁰(f ¹(w)). On l’appelle aussi biholomorphisme. Si U = V, on dit que f est un automorphisme holomorpheou automorphisme conforme de U.

En fait, l’holomorphie de l’inverse est automatique :

Proposition. Toute fonction holomorphe injective f : U ! C a une image ouverte et est une repr´esentation conforme de U sur f(U). En particulierf⁰ ne s’annule pas.

D´emonstration. On sait d´ej`a quef(U) est ouvert. D’apr`es le th´eor`eme 2 de la section pr´ec´edente, si deg<sub>z0</sub>(f) = d tout point de f(U) proche de f(z<sub>0</sub>) et di↵´erent de f(z<sub>0</sub>) a d images r´eciproques proches de z<sub>0</sub>. Commef est injective,d= 1 soit f<sup>0</sup>(z<sub>0</sub>)6= 0. Le th´eor`eme d’inversion locale montre que f ¹ est holomorphe enf(z₀), qcfd.

8.4 Forme normale locale d’une fonction holomorphe

Th´eor`eme. Soit f une fonction holomorphe non constante sur (z₀, r). Il existe un voisinage ouvert V de z₀ et un biholomorphisme ' : V ! (0,") tels que '(z₀) = 0 et f ' ¹(z) = z^d, d= deg_z(f).

D´emonstration. Quitte `a diminuer r, on a f = (z z₀)^dg avec Re⇣g(z) g(z₀)

⌘>0. Donc la branche

principale de⇣g(z) g(z₀)

⌘1/d

est d´efinie et holomorphe sur (z₀, r). Posons'(z) =a⇣g(z) g(z₀)

⌘1/d

(z z₀), o`ua est une racine d-i`eme deg(z₀). Alors '(z₀) = 0, ' est holomorphe et'⁰(z₀) = a6= 0. Par le th´eor`eme des fonctions implicites, ' induit un biholomorphisme d’un ouvert V contenant z₀ sur

(0,"). Comme

'(z)^d=g(z₀) g(z)

g(z₀)(z z₀)^d=g(z)(z z₀)^d=f(z), on a bienf ' ¹(z) =z^d.

8.5 Th´eor`eme des fonctions implicites

D´efinition. Une fonction holomorphe de deux variablesest une fonction F =F(z, w) d´efinie sur un ouvert deC², `a valeurs dansC, qui est continue en (z, w) et holomorphe enzet enw. Exemple : un polynˆome `a deux variables complexes.

Proposition. Si F(z, w) est holomorphe, @F

@z et @F

@w sont aussi holomorphes.

D´emonstration. Il suffit de le prouver pour @F

@z. Si F est holomorphe sur un ouvert contenant (z₀, r₁)⇥ (w₀, r₂), on a

(8(z, w)2 (z₀, r₁)⇥ (w₀, r₂)) @F

@z(z, w) = 1 2⇡i

Z

@ (z0,r)

F(⇣, w) (⇣ z)²d⇣.

Donc la proposition r´esulte des th´eor`emes de continuit´e et d’holomorphie d’int´egrales `a param`etre.

Th´eor`eme. Soit F : (z₀, r₁)⇥ (w₀, r₂) ! C une fonction holomorphe de deux variables. On suppose que

F(z₀, w₀) = 0 , @F

@w(z₀, w₀)6= 0.

1) Il existe r < r₁ et ⇢₂< r₂ tels que F ne s’annule pas sur (z₀, r)⇥@ (w₀,⇢₂).

2) Si 1) est v´erifi´e, il existe f 2O( (z₀, r)), `a valeurs dans (w₀,⇢₂), telle que (8(z, w)2 (z₀, r)⇥ (w₀,⇢₂)) F(z, w) = 0,w=f(z).

*De plus, on a la formule explicite f(z) = 1

2⇡i Z

@ (w0,⇢2)

w(@F/@w)(z, w) F(z, w) dw⇤.

D´emonstration. Notons @F

@w(z₀, w₀) = a 6= 0. On a F(z₀, w) = a(w w₀) +o(|w w₀|) donc il existe ⇢₂ < r₂ tel queF ne s’annule pas sur {z₀}⇥@ (w₀,⇢₂). Donc |F| a un minimum m > 0 sur le compact @{z₀}⇥ (w₀,⇢₂). Par continuit´e uniforme de F sur (z₀, r₁/2)⇥@ (w₀,⇢₂), il existe r < r₁/2 tel queF ne s’annule pas sur (z₀, r)⇥@ (w₀,⇢₂).

2) Fixons z 2 (z₀, r). Alors la fonction g_z = F(z, .) est holomorphe sur un ouvert contenant (w₀,⇢₂) et ne s’annule pas sur @ (w₀,⇢₂). Donc le nombre des solutions w 2 (w₀,⇢₂) de F(z, w) = 0, compt´e avec multiplicit´es, est

(z) = 1 2⇡i

Z

@ (w0,⇢2)

g_z⁰(w) g_z(w)dw

= 1 2⇡i

Z

@ (w0,⇢2)

(@F/@w)(z, w) F(z, w) dw.

C’est une fonction continue `a valeurs enti`eres, donc (z) = (z₀) = X

w2 (w0,⇢2),gz0(w)=0

deg_w0(g_z0) = 1.

Donc pour tout z2 (z₀, r) il y a un uniquew2 (w₀,⇢₂) on aF(z, w) = 0. Donc on a bien une fonction f : (z₀, r)! (w₀,⇢₂) telle queF(z, w) = 0,w=f(z).

Prouvons la formule explicite. Soit g(z) = 1 2⇡i

Z

@ (w0,⇢2)

w(@F/@w)(z, w)

F(z, w) dw, on veut montrer g=f. On a

g(z) = X

w2 (w0,⇢2),gz(w)=0

r´es_w⇣

wg_z⁰(w) g_z(w)

⌘

= r´es_f(z)⇣

wg_z⁰(w) g_z(w)

⌘.

Comme deg_f(z)(g_z) = 1, ceci vaut f(z) par le mˆeme calcul que pour l’inversion locale. Enfin, l’holomorphie d’une int´egrale `a param`etre montre que f est holomorphe.

9 Indice, cycles, formule de Cauchy g´ en´ erale

9.1 Homotopie de lacets

D´efinition. Si ₀, ₁: [a, b]! sont deux lacets d´efinis sur le mˆeme segment [a, b], une homotopie de ₀ `a ₁ dansU est une applicationH : [0,1]⇥[a, b] dansU, telle que

H(0, t) = ₀(t) , H(1, t) = ₁(t) , H(s, a) =H(s, b),

et qui est de classeC¹ par morceaux : ceci veut dire que H est continue et qu’il existe des subdi-visions 0 =s₀< s₁<· · ·< s_n= 1 eta=t₀< t₁<· · ·< t_m=b telle queH_{|[si,si+1]⇥[tj,tj+1]}est de classe C¹. Noter que _s=H(s, .) est un lacet pour touts2[0,1].

Il est clair que (s, t) 7! (s) est une homotopie de ₀ `a lui-mˆeme, et que (s, t) 7! H(1 s, t) est une homotopie de <sub>1</sub> `a ₀. De plus, si (s, t)7!H₁(s, t) est une homotopie de ₁ `a <sub>2</sub>, on peut d´efinir une homotopie de <sub>0</sub> `a ₂ par concat´enation:

(H⇤H₁)(s, t) = 8>

<

>:

H(2s, t) si s 1 2 H₁(2s 1, t) sis 1

2.

Donc la relation d’homotopie est une relation d’´equivalence sur les lacets [a, b]!U. Cette relation se note ₀'U 1, ou ' 1en sous-entendant U.

9.2 Indice d’un lacet par rapport `a un point

D´efinition. Soient z2Cet : [a, b]!C\ {z} un lacet. L’indice de par rapport `a z : Ind_z( ) = 1

2⇡i

Z dz

⇣ z.

On l’appelle aussi indice de z par rapport `a , et on le note alors Ind (z). Le th´eor`eme suivant exprime le fait que Ind_z( ) est le ^hhnombre de tours que fait autour de zⁱⁱ.

Th´eor`eme

1) L’indice de par rapport `a z est un entier.

2) Si n2Z, les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes : a) Ind_z( ) =n

b) est homotope dans C\ {z₀} `a _n :t7!z₀+ exp(2⇡int a b a).

3) La fonction Ind est constante sur chaque composante connexe de C\im( ). Elle est nulle sur la composante non born´ee.

D´emonstration. Quitte `a remplacer parz₀+ (a+ (b a)t), on peut supposerz₀= 0 et [a, b] = [0,1]. Donc _n(t) = exp(2⇡int).

1) Posons

` (t) = Z

|[0,t]

dz

z =

Z t 0

0(s) (s)ds, de sorte que Ind₀( (0)) = ` (1)

2⇡i . Puisque 1

z est la d´eriv´ee du logarithme, ` (t) est une branche de log (t)/ (0). Pr´ecis´ement, on a

d

dt( (t)e <sup>` (t)</sup>) = ( <sup>0</sup>(t) (t)`⁰(t))e ^{` (t)} =⇣

0(t) (t) ⁰(t) (t)

⌘)e ^{` (t)}= 0.

Donc (t)e ^{` (t)</sup> = (0) soit (t) = (0)e<sup>` (t)}. Puisque (0) = (1), ` (1) ` (0)2 2⇡iZ, ce qui prouve 1).

2) Si = _n, on a ` (t) = 2⇡int donc Ind₀( _n) = n. Montrons l’invariance de l’indice par homotopie. SoitH : [0,1]⇥[0,1]!C^⇤ une homotopieC¹ par morceaux, de sorte que _s =H(s, .) est un lacet. Alors

Ind( _s) = 1 2⇡i

Z 1 0

s0(t)

s(t)dt.

Par continuit´e d’une int´egrale `a param`etre, la fonction s 7! Ind( _s) est continue. Comme elle est `a valeurs enti`eres, elle est constante, d’o`u Ind_z( ₀) = Ind_z( ₁) ce qui prouve l’invariance par homotopie.

Donc Ind₀( ) = n si est homotope `a <sub>n</sub> dans C<sup>⇤</sup>. R´eciproquement, supposons Ind<sub>0</sub>( ) = n, soit` (1) = 2⇡in. Soit tel quee^↵= (0). AlorsH(s, t) =e^{(1 s)↵} (t) donne une homotopie dans C^⇤ de `a e tel quee(0) = 1. On peut donc supposer (0) = 1. Posons

H(s, t) = exp((1 s)` (t)) +s.2⇡int) Alors

H(0, t) = exp(` (t)) = (t) , H(1, t) = exp(2⇡int) = _n(t) H(s,0) = 1, H(s,1) = exp(2⇡in) = 1.

Donc H est une homotopie de lacets dans C^⇤ de `a _n, cqfd.

3) La fonction z 7! Ind (z) = 1 2⇡i

Z d⇣

⇣ z est continue sur C\im( ) et `a valeurs enti`eres, donc constante sur chaque composante connexe. Sur la composante non born´ee, Ind (z) = O(|z| ¹) quand z! 1.Donc Ind (z) = 0 sur cette composante.

9.3 Chaˆınes et cycles

D´efinitions. Soit U une r´egion. NotantC(U) l’ensemble des chemins `a valeurs dansU, on d´efinit le groupe deschaˆınesC(U) comme leZ-module libre de baseC(U), soitC(U) =Z<sup>C(U)</sup>. Une chaˆıne est donc une combinaison lin´eaire `a coefficients entiers d’un nombre fini d’´el´ements de C(U) :

c=n₁c₁+· · ·+n_kc_k , n_i2Z.

Si les cI sont distincts et les n_i non nuls, cette repr´esentation est finie. On note alors supp(c) = im c₁[· · ·[im c_k, appel´esupport de c. Sik= 0, on obtient la chaˆıne nulle, de support ;.

Sif est une fonction continue sur U, on d´efinit Z

c

f(z)dz = Xk i=1

n_i Z

ci

f(z)dz.

On d´efinit une relation d’´equivalence

c⇠c⁰,(8f 2C⁰(U,C)) Z

c

f(z)dz= Z

c⁰

f(z)dz.

En particulier, on reste dans la mˆeme classe d’´equivalence si l’on subdivise les cheminsc_i, ou si l’on remplace ou si on les reparam`etre de fa¸con directe. On a aussi c⇠ c⁰ si c⁰ est un reparam´etrage indirect de . De plus, cette relation est clairement compatible avec la loi de groupe.

Cycles. Un cycle dans U est une chaˆıne ´equivalente `a une combinaison lin´eaire de lacets. Les

Cycles. Un cycle dans U est une chaˆıne ´equivalente `a une combinaison lin´eaire de lacets. Les

Dans le document Analyse complexe Cours de L3, ENS Lyon, automne 2014 (Page 32-75)