1. Notion de s´erie
1.1 Exemples pr´eliminaires
Exemple 1. Soit (un)n≥1 la suite de nombres r´eels d´efinie parun= n(n+1)1 pour toutn≥1. On d´efinit `a partir de cette suite une nouvelle suite (SN)N≥1 de la fa¸con suivante:
S1=u1= 12, S2=u1+u2= 12+16= 23,S3=u1+u2+u3=23+121 =34,S4=u1+u2+u3+u4= 34+201 = 45, et plus g´en´eralementSN =u1+u2+· · ·+uN=
PN n=1
un pour tout entierN ≥1.
Commeun= n(n+1)1 = 1n−n+11 , on peut calculerSN = 1−12+12−13+13−14+· · ·+N1 −N+11 = 1−N+11 . Il en r´esulte que la suite (SN) converge, et tend vers 1 quandN tend vers +∞.
On note
+P∞ n=1
un= lim
N→+∞SN, c’est-`a-dire que
+P∞ n=1
1
n(n+1) = 1.
On dit dans ce cas que las´erieP
un est convergente, et que sa sommeest 1.
Exemple 2. Soit (un)n≥1 la suite de nombres r´eels d´efinie par un = n+1n pour tout n≥1. On d´efinit `a partir de cette suite la nouvelle suite (SN)N≥1 en posant:
SN =u1+u2+· · ·+uN= PN n=1
un pour tout entierN ≥1.
Commeun= 1 +n1, on peut calculerSN = 1 +12+ 1 +13+ 1 +14+· · ·+ 1 +N1 =N+ (12+13+14+· · ·+N1).
En particulier,SN≥N pour toutN, ce qui implique que lim
N→+∞SN= +∞, c’est-`a-dire que
+P∞ n=1
n+1
n = +∞. On dit dans ce cas que las´erieP
un est divergente.
Exemple 3. Soit (un)n≥1la suite de nombres r´eels d´efinie parun= n1 pour toutn≥1. On d´efinit `a partir de cette suite la nouvelle suite (SN)N≥1en posant:
SN =u1+u2+· · ·+uN= PN n=1
un pour tout entierN ≥1.
Consid´erons|S2N−SN|=S2N−SN =N+11 +N+21 +N+31 +· · ·+2N1 .
Chacun desN termes de cette somme est≥ 2N1 , donc|S2N−SN| ≥N×2N1 =12 pour toutN ≥1.
Cette condition permet de montrer que la suite (SN) ne peut pas converger. En effet, si elle admettait une limite finie `, on aurait pour tout N ≥1 la double in´egalit´e: 12 ≤ |S2N−SN| ≤ |S2N−`|+|SN−`|avec chacun des deux termes du membre de droite qui tend vers 0 quandNtend vers +∞, d’o`u une contradiction.
On conclut que dans ce cas las´erieP
un est divergente.
1.2 D´efinitions
Soit (un)n≥1 une suite de nombres r´eels (ou complexes). On appellesuite des sommes partielles associ´ee `a (un)n≥1 la suite (SN)N≥1 de nombres r´eels (ou complexes) d´efinie par:
SN =u1+u2+· · ·+uN = PN n=1
un, pour tout entierN ≥1.
Quand on ´etudie la suite (SN)N≥1, on dit que l’on ´etudie las´erie P
n≥1
un, appel´ee s´erie determe g´en´eralun. La question principale que l’on consid`ere est celle de la convergence ou non de la suite (SN). Lorsque la suite (SN)N≥1est convergente, on dit que la s´erie P
n≥1
unestconvergente, et la limite de la suite (SN)N≥1est appel´ee lasommede la s´erie P
n≥1
un. C’est un nombre (r´eel ou complexe); on le note: +P∞
n=1
un= lim
N→+∞SN.
Dans le cas contraire (si la suite (SN) diverge vers±∞ou n’admet pas de limite), on dit que la s´erie P
n≥1
un
estdivergente. Etudier lanatured’une s´erie consiste `a d´eterminer si elle est convergente ou divergente.
Remarque 1. On a donn´e les d´efinitions ci-dessus pour une s´erie de premier indice n= 1. Mais la suite (un) peut a priori d´emarrer `au0, ouu1, ouu2, ou plus. Ceci est sans importance pour d´eterminer la nature de la s´erie de terme g´en´eralun, car il est clair que les premiers termes sont sans influence sur le fait que la suite des sommes partielles converge ou non. En revanche, on fera attention que, dans le cas o`u la s´erie converge, la valeur de la somme d´epend des termes `a partir desquels on effectue la sommation.
Remarque 2 (fondamentale). Pour qu’une s´erie P
un converge, il est n´ecessaire (mais non suffisant) que la suite (un) converge vers 0. En d’autres termes, pour qu’une s´erie converge, il est n´ecessaire (mais non suffisant) que son terme g´en´eral tende vers 0.
En effet, si la s´erie Pun converge, la suite (SN−SN−1) converge vers 0 (comme diff´erence de deux suites convergeant vers une mˆeme limite). Or par d´efinition des sommes partielles,SN−SN−1=uN.
Ainsi, si la suite (un) ne converge pas vers 0, il n’y a pas de question se poser: on est sˆur que la s´erieP un
est divergente. La question de la convergence d’une s´erie ne se pose donc que si le terme g´en´eral tend vers 0.
Attention ! Erreur fr´equente et grave: la condition lim
n→+∞un = 0 n’est pas suffisante pour assurer la convergence de la s´erieP
un (elle est n´ecessaire, voir ci-dessus).
Par exemple, on a vu `a l’exemple 3 du 1.1 que la s´erieP1
n est divergente; et pourtant on a bien lim
n→+∞ 1 n = 0.
Cette s´erie divergenteP1
n est un exemple classique `a connaˆıtre, appel´e las´erie harmonique.
1.3 L’exemple des s´eries g´eom´etriques.
Fixons un nombre x r´eel ou complexe. Posons un =xn pour tout entier n≥0. La s´erie P
n≥0
un = P
n≥0
xn ainsi d´etermin´ee s’appelle las´erie g´eom´etrique de raisonx.
Proposition. La s´erie P
n≥0
xn converge si et seulement si|x|<1, et alors sa somme est
+P∞ n=0
xn =1−1x. Preuve. Si|x| ≥1, le terme g´en´eralxn ne tend pas vers 0, donc la s´erie diverge. Si|x|<1, alors
N→lim+∞xN+1= 0 de sorte queSN = PN n=0
xn= 1−1x−N+1x v´erifie lim
N→+∞SN= 1−1x. ut 1.4 Lin´earit´e.
SoientP
un etP
vn deux s´eries. Leur somme est la s´erieP
(un+vn) de terme g´en´eralun+vn. Le produit de la s´erieP
un par un nombre fix´e (r´eel ou complexe)λest la s´erieP
λun de terme g´en´eralλun. On peut montrer facilement que: si les deux s´eriesP
unetP
vnconvergent, alors la s´erie sommeP
(un+vn) converge, ainsi que la s´erie produitP
λun par tout nombreλ, et l’on a:
+P∞ n=1
(un+vn) =
+P∞ n=1
un+
+P∞ n=1
vn et
+P∞ n=1
(λun) =λ
+P∞ n=1
un. En particulier, une s´erieP
un de nombres complexes converge si et seulement si les deux s´eries de nombres r´eelsP
xn etP
yn d´efinies parun=xn+iyn pour tout entiernconvergent, et l’on a dans ce cas:
+P∞ n=1
un=+P∞
n=1
xn+i+P∞
n=1
yn.
2. Cas des s´eries `a termes r´eels positifs
Il est tr`es rare dans les faits que l’on sache calculer explicitement la somme d’une s´erie, comme on l’a fait `a l’exemple 1 de 1.1, ou `a l’exemple 1.3. Le plus souvent, on est d´ej`a bien content quand on sait d´eterminer sanature, c’est-`a-dire d´emontrer qu’elle est convergente ou divergente. Dans le cas des s´eries `a termes r´eels positifs, on dispose pour cela de divers crit`eres. On rappelle ci-dessous (sans d´emonstration) les plus usuels.
2.1 Crit`eres de majoration et d’´equivalence pour les s´eries `a termes r´eels positifs.
Proposition 1. Soit P
un et P
vn deux s´eries de nombres r´eels telles que 0 ≤ un ≤ vn pour tout n sup´erieur `a un certain rangp.
(i) Si P
vn converge, alorsP
un converge aussi, et 0≤
+P∞ n=p
un≤
+P∞ n=p
vn. (ii) Si P
un diverge, alorsP
vn diverge aussi.
Proposition 2. SoitP
un et P
vn deux s´eries de nombres r´eels telles queun ≥0et vn ≥0pour tout n sup´erieur `a certain rangp. Si les suites(un)et(vn)sont ´equivalentes au voisinage de l’infini, alors les s´eries Pun etP
vn sont de mˆeme nature (soit toutes les deux convergentes, soit toutes les deux divergentes).
Rappelons que (un) et (vn) ´equivalentes au voisinage de l’infini signifie qu’`a partir d’un certain rang, on a un =vn(1 +εn), avec (εn) une suite de r´eels convergeant vers 0.
2.2 Application: exemple fondamental des s´eries de Riemann
On appelle s´erie de Riemann toute s´erie de nombres r´eels positifs de la formeP
n≥1 1
nα, o`uαest un nombre r´eel fix´e.
Th´eor`eme. La s´erie de RiemannP
n≥1 1
nα est convergente si et seulement siα >1.
Preuve. Siα≤1, on anα≤n, donc n1α ≥n1 >0. Comme la s´erie harmoniqueP1
n diverge (voir exemple 3 de 1.1), on applique le point (ii) la proposition 1 de 2.1 pour conclure queP 1
nα diverge dans ce cas.
On supposera donc maintenant queα >1; on poseβ=α−1>0. On d´efinitan=n1β etbn=an−an+1pour toutn≥1. Commeβ >0, on aan+1< andoncbn>0. On raisonne en deux ´etapes.
1. La s´eriePbnconverge. En effet, la somme partielleBN =b1+b2+· · ·+bN vautBN =a1−a2+a2− a3+· · ·+aN−aN+1=a1−aN+1= 1−(N+1)1 β, qui tend vers 1 quandN→+∞puisqueβ >0.
2. nβ+11 est ´equivalent `a 1βbn au voisinage de l’infini. En effet, on a:bn=n1β −(n+1)1 β = n1β[1−(n+1n )β] =
1
nβ[1−(1 +n1)−β]; mais (1 +n1)−β= 1−βn1 +n1εnavec lim
n→+∞εn= 0. Doncbn= nβ+1β [1−β1εn].
Ainsi n1α =nβ+11 est ´equivalent `aβ−1bn; comme la s´erie de terme g´en´eralbnconverge, il en est de mˆeme de la s´erie de terme g´en´eralβ−1bn(voir 1.4), et l’on conclut avec la proposition 2 de 2.1 que la s´erieP 1
nα converge. ut
Cons´equence pratique. Une des m´ethodes usuelles pour d´eterminer la nature d’une s´erie `a termes r´eels positifs consiste `a chercher `a la comparer `a une s´erie de r´ef´erence dont on connaˆıt la nature (s´erie de Riemann ou s´erie g´eom´etrique entre autres), et `a appliquer les propositions de 2.1 ci-dessus.
Exemple 1. La s´erie Pe−n
n2 est convergente, car 0 ≤ en−n2 ≤ n12 pour tout n ≥1, et la s´erie de Riemann P 1
n2 est convergente puisque 2>1; (on applique le point (i) de la proposition 1 de 2.1).
Exemple 2. La s´erie Pln√nn est divergente, car ln√nn ≥ √1n ≥ 0 pour tout n ≥3, et la s´erie de Riemann P 1
n1/2 est divergente puisque 12 <1; (on applique le point (ii) de la proposition 1 de 2.1).
Exemple 3. La s´erieP 5n+1
n3+2n+1 est convergente, car n35n+1+2n+1 est positif et ´equivalent `a n52 au voisinage de l’infini, et la s´erie de RiemannP 1
n2 converge puisque 2>1; (on applique la proposition 2 de 2.1).
Avec la proposition 1 de 2.1 et le th´eorme ci-dessus, on d´eduit (par le mˆeme raisonnement qu’au corollaire du 2.1 de la le¸con sur les int´egrales g´en´eralis´ees) le corollaire suivant, ditrgle de comparaison avec les s´eries de Riemann.
Corollaire. SoitP
un une s´erie termes r´eels positifs.
(i) S’il existeα >1tel que lim
n→+∞nαun = 0, alors la s´erieP
un converge.
(ii) S’il existeα≤1tel que lim
n→+∞nαun = +∞, alors la s´erieP
un diverge.
2.3 R`egle de d’Alembert Proposition. Soit P
un une s´erie r´eelle telle queun >0 `a partir d’un certain rang. On suppose que la suite(un+1un )admet une limite finie`∈R+ pourntendant vers+∞.
(i) Si ` <1, alors la s´erieP
un est convergente.
(ii) Si ` >1, alors la s´erieP
un est divergente.
Exemple. Consid´erons la s´erieP
unpourun=nn!n. On a bienun >0 pour toutn≥1 et uun+1n = (n+1n )n= (1 +n1)−n= exp(−nln(1 + 1n)) qui tend vers e−1= 1e <1 quandn→+∞. On conclut que P
un converge.
Remarque. Lorsque`= 1, on ne peut pas conclure; la s´eriePun peut converger ou diverger (prendre par exemple d’une partun=n1, et d’autre partun=n12).
2.4 R`egle de Cauchy Proposition. Soit P
un une s´erie r´eelle telle queun >0 `a partir d’un certain rang. On suppose que la suite((un)1/n)admet une limite finie`∈R+ pourntendant vers+∞.
(i) Si ` <1, alors la s´erieP
un est convergente.
(ii) Si ` >1, alors la s´eriePun est divergente.
Exemple. Consid´erons la s´erieP
un pourun = (2nn+1−1)n. On a bienun>0 pour toutn≥1 et (un)1/n=
n+1
2n−1 qui tend vers 12 <1 quandn→+∞. On conclut queP
un converge.
Dans la pratique, les rgles de d’Alembert et de Cauchy ne s’appliquent qu’ des situations o la forme du terme g´en´eral un incite directement prendre un quotient de deux termes cons´ecutifs (s´eries entires, pr´esence de factorielles,...) ou une racine n-ime (pr´esence d’une puissance n-ime,...). Pour le problme de d´eterminer la nature d’une s´erie termes positifs, l’outil de base est constitu´e par les critres de 2.1. La rgle de comparaison avec les s´eries de Riemann qui en d´ecoule (corollaire de 2.2) est un argument classique et d’utilisation fr´equente, bien connaˆıtre.
Attention ! Les propositions pr´ec´edentes ne s’appliquent qu’`a des s´eries `a termes r´eels positifs. Les r´esultats correspondants peuvent ˆetre faux pour des s´eries `a termes complexes, ou r´eels de signe non constant. Pour de telles s´eries, on rappelle dans la derni`ere partie (sans d´emonstration) deux r´esultats importants.
3. Cas des s´eries `a termes complexes ou r´eels quelconques.
3.1 Convergence absolue.
Consid´erons une s´erie `a termes r´eels ou complexesP
un. En notant|un|la valeur absolue (siun r´eel) ou le module (si un est complexe) de un, on d´efinit une nouvelle s´erie P
|un| qui est, par d´efinition, une s´erie `a termes r´eels positifs (puisque l’on a toujours|un| ∈R+). On peut donc appliquer `a cette s´erie les r´esultats de la section 2 pr´ec´edente. L’int´erˆet est que le th´eor`eme suivant permet dans certains cas favorables d’en d´eduire la convergence de la s´erie de d´epartP
un.
D´efinition. Avec les donn´ees ci-dessus, on dit que la s´erie P
un est absolument convergente lorsque la s´erieP
|un|est convergente.
Th´eor`eme. Si la s´erie P
n≥1
un est absolument convergente, alors elle est convergente, et l’on a:
|
+P∞ n=1
un| ≤
+P∞ n=1|un|. Exemple. La s´eriePein
n2 dtest absolument convergente, donc convergente.
En effet, puisque ein = cosn+isinn, on a |ein| = 1, de sorte que la suite complexe un = enin2
v´erifie|un|= n12. Or on sait (voir 2.2) que la s´erieP 1
n2 converge; ce qui prouve le r´esultat voulu.
Attention ! Erreur fr´equente et grave: le th´eor`eme affirme que la convergence absolue entraˆıne la conver-gence, mais la r´eciproque est fausse. En d’autres termes, si P
|un|converge, alorsP
un converge, mais on peut avoirP
un qui converge bien queP
|un|diverge.
Consid´erons par exemple la s´erie diteharmonique altern´eeP(−1)n
n . Elle n’est pas absolument convergente car P|(−1)nn|est la s´erie harmoniqueP1
n dont on sait qu’elle diverge (voir 1.1 exemple 3, ou th´eor`eme de 2.2).
Montrons que cependant la s´erie P
n≥1 (−1)n
n converge. Pour cela, on pourait appliquer directement la proposition du 3.2 ci-dessous. On peut donner aussi la preuve directe suivante (qui a l’avantage de donner aussi la valeur de la somme de la s´erie). On part de l’identit´e, vraie pour toutx∈Rdiff´erent de−1:
1−x+x2−x3+· · ·+ (−1)NxN= PN
i=0
(−x)i=1−(−1+xx)N+1 =1+x1 + (−1)N x1+xN+1. Si l’on int`egre terme `a terme les deux membres de cette ´egalit´e entre 0 et 1, on obtient:
1−12+13−14+· · ·+(−1)N+1N = ln 2 + (−1)NR1 0 xN+1
1+x dx.
Or 0≤R1 0 xN+1
1+x dx≤R1
0 xN+1dx=N+21 qui tend vers 0 quandN→+∞, et donc lim
N→+∞
R1 0 xN+1
1+x dx= 0.
On conclut que lim
N→+∞
N+1P
n=1 (−1)n−1
n = ln 2, ce qui prouve que la s´erie P
n≥1 (−1)n
n converge et que sa somme vaut
−ln 2.
Si la s´erieP
|un|diverge, le th´eor`eme ne permet pas de conclure quoi que ce soit sur la nature de la s´erie Pun, qui peut soit converger soit diverger.
Terminons en donnant un r´esultat pratique sur certains types de s´eries r´eelles, dites altern´ees, dont le signe change de terme en terme, et dont l’exemple de la s´erie harmonique altern´ee trait´e ci-dessus est un cas particulier.
3.2 S´eries (r´eelles) altern´ees.
D´efinition. Une s´erie r´eelleP
unest ditealtern´eelorsque son terme g´en´eral est de la formeun = (−1)nxn
avecxn ∈R+, ou de la forme un= (−1)n+1xn avecxn ∈R+.
Proposition. Soit(xn)une suite de nombre r´eels positifs. Si la suite(xn)est d´ecroissante et converge vers 0, alors la s´erie altern´eeP
(−1)nxn est convergente.
Exemple (s´eries de Riemann altern´ees).
On consid`ere la s´erieP(−1)n
nα , o`uαest un r´eel fix´e.
• Si α≤0, elle est divergente; (en effet, son terme g´en´eral ne tend pas vers 0).
• Si α >1, elle est absolument convergente donc convergente (d’apr`es 2.2 et 3.1).
• Si 0 < α ≤ 1, elle est convergente (d’apr`es la derni`ere proposition ci-dessus), mais non absolument convergente (d’apr`es 2.2).
Module d’Harmonisation des Connaissances en Math´ematiques – L3 IUP GSI – Licence Physique et Ing´enieries – F. Dumas Le¸con 8