G´ en´ eration d’ondes transverses par synth` ese de fronts plans virtuels (FPV)

Nous pr´esentons dans cette partie la m´ethode utilis´ee pour ´etudier des ondes transverses dans des couches minces isotropes. Cette m´ethode tire profit de la lin´earit´e physique des ph´enom`enes mis en jeu qui autorisent la synth`ese en post traitement des signaux qui auraient ´et´e mesur´e si une onde plane s’´etait propag´ee. On appellera dans la suite cette m´ethode synth`ese de fronts plans virtuels (FPV). L’utilisation de r´eseaux de transducteurs<sup>58</sup> auxquels on impose des lois de retard pour focaliser des ondes en certains points sp´ecifiques de l’´echantillon est bien connue en acoustique ultrasonore. La synth`ese de fronts plans a notamment ´et´e utilis´ee en g´eophysique pour la caract´erisation de couches s´edimentaires.¹⁸ Les auteurs de cet article font le parall`ele entre cette m´ethode et la transform´ee de Radon.<sup>59</sup> Enfin, cette technique est ´egalement utilis´ee en acoustique m´edicale, dans le domaine de l’´elastographie,<sup>60</sup>o`u deux fronts d’ondes transverses sont cr´e´es en d´epla¸cant une source `a une vitesse supersonique dans un milieu biologique. Ces deux fronts d’ondes sont construits par la somme des ondes transverses successivement g´en´er´es lors du d´eplacement de la source qui interf`erent entre elles formant un cˆone de Mach. L’angle entre ces deux fronts d’onde est proportionnel au rapport entre la c´el´erit´e des ondes transverses et la vitesse de la source, le nombre de Mach.

!x i

!

Fig. 1.21 – Principe de la synth`ese de front : la somme de chaque source individuelle forme un front plan. Le retard lin´eaire entre les sources contrˆole l’angleϕentre le vecteur d’onde du front plan et la normale `

a l’´echantillon.

1.4.1 Principe de la m´ethode

C’est la diffraction d’une onde `a l’int´erieur d’un mat´eriau qui est `a l’origine de l’´elargissement du spectre spatial engendr´e dans celui-ci. D`es lors que le spectre spatial g´en´er´e n’est pas limit´e `a

k2= 0, il peut ˆetre int´eressant d’exploiter ce spectre ´elargi et de r´ealiser un filtre spatiotemporel permettant de s´electionner les zones spectrales d’int´erˆet. Ces zones sont notamment identifi´ees au regard de la r´epartition spatiale des ondes g´en´er´ees ´evoqu´ee dans la section pr´ec´edente. D’autre part, d’un point de vue exp´erimental, les signaux temporels peuvent s’av´erer difficile `a analyser en pr´esence de diffraction. Le rapport signal/bruit peut ´egalement ˆetre un facteur limitant pour l’analyse des ondes d´etect´ees. C’est pour d´epasser ces limitations et pour exploiter l’´elargissement spectral issu de la diffraction que nous proposons d’utiliser la m´ethode de synth`ese de fronts plans virtuels.

D’apr`es le principe de Huygens Fresnel<sup>61</sup> un front d’onde plan peut ˆetre approxim´e par la somme d’ondelettes sph´eriques (fig. 1.21). C’est sur ce principe qu’est bas´e la synth`ese de fronts plans virtuels^c que nous pr´esentons ici. L’id´ee est de reconstruire un front plan en sommant plusieurs signaux diffract´es. Cette m´ethode est inspir´ee des travaux initi´es lors de la th`ese de Reverdy,62 elle se r´esume ainsi :

– on r´ealise une cartographie de l’´echantillon en 2N0+ 1 points align´es le long de l’axe x2, situ´es de part et d’autre de l’axe (O,x₁). Ces signaux not´es s_i(t) (i ∈ _J−N₀, N_0K) sont appel´es ”signaux individuels”. Chaque point correspond `a un certain d´ecalage spatial iδx

entre la pompe et la sonde lorsque la mesure est faite en r´eflexion,

c. Nous pr´ecisons ici qu’une somme de champs sph´eriques constitue un front cˆonique, un front plan r´eel ´etant obtenu par une somme de champs cylindriques. Pour plus de simplicit´e, nous utiliserons la d´enomination ”Front Plan Virtuel” dans toute la suite du manuscrit alors que les sources seront ponctuelles et non lin´eiques dans les simulations du chapitre 3 et dans les exp´eriences du chapitre 4.

– on somme ces signaux individuels pour obtenir un FPV. L’orientation de ce FPV est pilot´ee par un retard δtimpos´e en post traitement entre chaque signal.

C’est la somme des signaux individuels, assimilables aux ondelettes sph´eriques, qui cr´ee un front d’onde virtuel plan et homog`ene `a l’int´erieur de l’´echantillon. Le signal synth´etis´e a pour expression : S(t) = N0 X i=−N₀ si(t+iδt). (1.39)

Les ´equations de diffusion et de propagation ´etant consid´er´ees lin´eaires, le front d’onde ainsi form´e est celui qui aurait ´et´e g´en´er´e si un r´eseau de sources ponctuelles avait ´et´e utilis´e. Pour un retard δt nul, toutes les sources ´eclairent en mˆeme temps l’´echantillon et alors la surface d’onde du front plan virtuel g´en´er´e est parall`ele `a l’interface. Si on applique un retard lin´eaireδt

entre les sources, alors le vecteur d’onde du FPV fera un angleϕavec la normale `a la surface de l’´echantillon. Le FPV peut ˆetre vu comme une onde plane r´efract´ee `a l’interface vers l’int´erieur de l’´echantillon. Les lois de la r´efraction imposent l’´equiprojectivit´e des vecteurs d’onde sur l’interface. La vitesse de phase du FPV est not´eevp, o`uppeut repr´esenter le mode longitudinal

L ou transverse T. La projection de la lenteur du FPV sur l’interface est ´egale `a celle d’une onde incidente fictive, dont la projection de la lenteur serait δt/δx. L’´egalit´e des projections s’exprime :

δt δx ⁼

sin(ϕ)

v_p ^{. (1.40)}

Il est possible d’illustrer cette relation autrement, d’un point de vue g´eom´etrique, en exa-minant le trajet parcouru par le FPV pendant l’intervalle de temps δt. Sur la figure (1.22), le FPV est repr´esent´e `a un instantt+δt. Le pointB appartient au FPV `a l’instantt, les pointsA

etC appartiennent au FPV `a l’instant t+δt. En effet, chaque point source fait partie du FPV au moment o`u il commence `a rayonner. Les points A et B sont s´epar´es par la distance δx. La distance parcourue entre B et C est ´egale `a v_pδt. On retrouve que l’angle ϕ est ´egal `a l’angle \

CAB. Ainsi, en utilisant la trigonom´etrie dans le triangle ABC, on retrouve l’´egalit´e (1.40). La synth`ese de fronts plan a d´ej`a ´et´e utilis´ee pour retrouver les coefficients du tenseur d’´ elas-ticit´e de mat´eriaux anisotropes en r´egime nanoseconde.⁶³ Les constantes d’´elasticit´e ont ´et´e retrouv´ees grˆace `a l’identification des vitesses de phase dans les FPV synth´etis´es pour diff´ e-rentes directions. Elle a permis ´egalement, en utilisant le mˆeme proc´ed´e, l’identification des coefficients du tenseur d’´elasticit´e d’une couche mince d’or en acoustique picoseconde.<sup>64</sup> Son extension `a des structures cylindriques a ´egalement permis la mesure des coefficients d’´elasticit´e de cylindres fortemement anisotropes.⁶⁵

!x v_p

!

Fig. 1.22 – Repr´esentation du chemin parcouru par le front plan `a une vitesse de phase vp pendant un tempsδt.

1.4.2 S´election du mode synth´etis´e

D`es qu’un retardδtentre les sources est impos´e, la nature de l’onde susceptible de se propager est conditionn´ee par la lenteur de l’onde fictive incidente δt/δx (fig. 1.23). Pour un pas δx

donn´e, modifier la valeur du retard impos´e entre les sources revient `a imposer la valeur de k<sub>2</sub>, la projection du vecteur d’onde sur l’interface. En utilisant les courbes de lenteur, de la mˆeme mani`ere qu’expliqu´e dans la section sur les fonctions de directivit´e, il est possible de connaitre les ondes susceptibles de se propager par construction graphique. Le projet´e du vecteur d’onde ”r´efract´e” `a l’int´erieur de l’´echantillon indique quels modes peuvent se propager dans le mat´eriau. En contrˆolant la lenteur δt/δx, il est ainsi possible de s´electionner le mode propagatif. Sur la figure (1.23), lorsque la projection de la lenteur de l’onde fictiveδt/δxest inf´erieure `a la lenteur de l’onde longitudinale (et donc `a la lenteur de l’onde transverse), alors les modes longitudinaux et transverses peuvent ˆetre synth´etis´es. Lorsque la lenteur de l’onde fictive incidente est comprise entre la lenteur de l’onde longitudinale et la lenteur de l’onde transverse, alors seule l’onde transverse sera synth´etis´ee. Il faut donc que la c´el´erit´eδx/δtsoit sup´erieure `a la c´el´erit´e des ondes transverses et inf´erieure `a la c´el´erit´e longitudinale pour g´en´erer des signaux uniquement relatifs au mode transverse. Cette technique de post-traitement est donc aussi un filtre spatiotemporel modal.

La synth`ese de FPV donne donc la possibilit´e de s´electionner le mode propagatif. Il est pos-sible de synth´etiser des signaux contenant des informations acoustiques uniquement relatives au mode transverse. Ceci permet de s’affranchir des probl`emes li´es `a l’identification des ´ev`enements acoustiques dans des signaux diffract´es individuels. De plus, la possibilit´e de concentration de l’´energie dans une direction donn´ee est un atout majeur. En effet, au regard de la forme des diagrammes de directivit´e des ondes de cisaillement, le rayonnement des ondes transverses est limit´e `a une petite plage angulaire. Il apparait donc n´ecessaire pour s´electionner les r´egions

d’in-Fig. 1.23 – Repr´esentation des vecteurs d’ondes g´en´er´es en fonction de la lenteur de la source. Siδt1/δx < 1/vL les modes longitudinaux et transverses sont synth´etis´es. Si 1/vL < δt2/δx <1/vT, seul le mode de polarisation transversale est synth´etis´e.

t´erˆet d’avoir la possibilit´e de s´electionner l’obliquit´e du vecteur d’onde synth´etis´e, et de pouvoir imposer unk2 sur l’interface, comme le permet la synth`ese de fronts plans virtuels.