Dans ce premier chapitre, nous avons tout d’abord discut´e bri`evement les m´ecanismes op-toacoustiques mis en jeu lors de la g´en´eration d’ondes en acoustique picoseconde. L’´etat de l’art sur la g´en´eration d’ondes transverses GHz a ´et´e pr´esent´e plus particuli`erement lors d’un inven-taire bibliographique. Nous avons expos´e les deux principales m´ethodes exp´erimentales en vue de la g´en´eration d’ondes de cisaillement `a hautes fr´equences : l’une consistant en l’utilisation de transducteurs anisotropes d´esorient´es, l’autre, qui sera la voie poursuivie dans la suite de ce travail, consiste en la g´en´eration de vecteurs d’ondes obliques par effet de diffraction.
L’utilisation de la diffraction a amen´e `a la pr´esentation des outils utiles `a l’interpr´etation des signaux exp´erimentaux qui seront expos´es dans la suite de ce manuscrit. Les fonctions de directivit´e longitudinale et transverse pour un demi-espace ´elastique isotrope libre ont ´et´e ´etablies en utilisant le principe de r´eciprocit´e. De la mˆeme mani`ere, les diagrammes de directivit´e pour une source situ´ee `a l’interface entre deux mat´eriaux isotropes, dont l’un est transparent, ont ´et´e discut´es. L’influence des coefficients de r´eflexion `a l’interface entre les deux milieux sur la forme des fonctions de directivit´e longitudinales et transverses a ´et´e mise en ´evidence. Des param`etres relatifs `a la mod´elisation du laser pompe comme source acoustique ont ´et´e pris en compte. L’influence de la p´en´etration optique puis de la largeur de source ont ´et´e discut´ees pour des
fr´equences de l’ordre de quelques GHz mises en lumi`ere dans la suite de ce travail. La premi`ere n’a que peu d’effet sur les diagrammes de directivit´e car les mat´eriaux que nous allons consid´erer sont opaques, dot´es une faible p´en´etration optique. La largeur de source a ´et´e prise en compte dans le calcul des diagrammes de rayonnement, en multipliant ceux-ci avec la transform´ee de Fourier du profil spatial de la source. Il r´esulte de cette ´etude que la directivit´e peut ˆetre affect´ee assez cons´equemment si l’extension lat´erale de la source devient beaucoup plus importante que la longueur d’onde ´etudi´ee. Il reste cependant une direction privil´egi´ee de rayonnement des ondes transverses. Pour ˆetre dans les meilleures conditions possibles et profiter pleinement de l’effet de diffraction, il est n´ecessaire de pouvoir r´eduire au maximum la largeur de la source.
L’´etablissement de ces diagrammes de directivit´e a permis d’identifier la r´epartition spatiale des ondes g´en´er´ees en r´egime thermo´elastique. Il peut ˆetre int´eressant d`es lors d’en tirer profit en s´electionnant une direction de rayonnement particuli`ere. C’est pourquoi une m´ethode de traitement de ces signaux, la synth`ese de fronts plans virtuels, a ´et´e pr´esent´ee en fin de ce chapitre. Celle-ci agit comme un filtre spatiotemporel et permet d’imposer en post-traitement une valeur du projet´e du vecteur d’onde sur l’interfacek2et de s´electionner pr´ef´erentiellement un mode propagatif. Cette m´ethode sera utilis´ee pour l’analyse des signaux exp´erimentaux pr´esent´es dans la suite de ce manuscrit.
Apr`es avoir mis en place les outils pour la pr´ediction de la r´epartition spatiale de l’´energie ainsi que pour le traitement des signaux, nous allons maintenant ´etudier les diff´erentes configura-tions exp´erimentales possibles pour sonder les propri´et´es transverses des mat´eriaux en acoustique picoseconde, en appliquant la m´ethode d´ecrite dans ce chapitre.
Configurations exp´erimentales
A l’aide de l’application du principe de r´eciprocit´e, nous avons mis `a jour le lien entre le rayonnement de sources situ´ees `a une interface et les coefficients de r´eflexion `a cette interface. La r´epartition spatiale de l’amplitude des d´eplacements g´en´er´es par une source `a l’interface entre deux milieux d´epend de ces coefficients de r´eflexion. La mesure de ces d´eplacements est donc source d’information sur les propri´et´es m´ecaniques de ces deux milieux. Afin de pr´eparer l’´etude exp´erimentale men´ee dans la suite de ce travail, nous pr´esentons maintenant les diff´erentes confi-gurations exp´erimentales envisageables pour sonder les propri´et´es transverses d’un milieu, c’est `
a dire toutes les positions possibles relatives des lasers pompe et sonde vis-`a-vis du transducteur et du milieu `a sonder. La sensibilit´e de chacune de ces configurations par rapport aux propri´et´es transverses du milieu transparent d´epos´e sur le transducteur sera ´etudi´ee.
Les mesures en transmission et r´eflexion ont d´ej`a ´et´e abord´ees lors de la synth`ese biblio-graphique sur la g´en´eration d’ondes transverses au chapitre pr´ec´edent (cf. section 1.2), nous proposons ici d’en faire un bref rappel. On appellera la surface de g´en´eration sur laquelle est focalis´ee la pompe face avant, la face arri`ere ´etant celle oppos´ee `a la face avant. Si la pompe et la sonde sont focalis´ees de part et d’autre du mat´eriau transducteur alors la mesure est en
transmission. Le premier ´echo acoustique d´etect´e temporellement parcourt une fois l’´epaisseur de l’´echantillon. Au contraire, si la sonde est focalis´ee sur la mˆeme face que la pompe, alors la mesure est dite en r´eflexion, les surfaces de g´en´eration et de d´etection sont alors confondues. L’´echo d´etect´e a d’abord ´et´e r´efl´echi sur la face arri`ere avant d’ˆetre d´etect´e sur la face avant. C’est la position relative de la sonde par rapport `a la pompe sur l’´echantillon qui d´etermine le contenu acoustique des signaux d´etect´es.
D`es lors, le signal acoustique acquis lors d’une mesure exp´erimentale d´epend de plusieurs fac-teurs, que nous allons ici d´etailler. Nous traiterons d’abord les configurations pour des mesures en transmission, puis les mesures en r´eflexion. L’analyse de l’information extraite de ces diff´
e-rentes configurations nous am`enera `a choisir la configuration exp´erimentale la plus judicieuse. Comme nous le verrons lors de la pr´esentation des r´esultats exp´erimentaux, c’est la composante normale du d´eplacement qui est en jeu ici. En pr´eambule, nous ´etablirons donc l’expression du d´eplacement normal `a une interface engendr´e par une onde incidente.
2.1 D´eplacement normal induit par une onde incidente `a une
interface
La g´en´eration optoacoustique ainsi que les outils n´ecessaires pour comprendre la r´epartition spatiale des ondes g´en´er´ees dans le transducteur ont ´et´e pr´esent´es dans le chapitre pr´ec´edent. Dans la suite de ce chapitre, on appellera fonction de g´en´eration cette r´epartition spatiale de l’amplitude des d´eplacements g´en´er´es par la source. Les expressions des fonctions de g´en´eration donn´ees au chapitre 1 d´ecrivent le rayonnement `a l’int´erieur d’un demi-espace ´elastique. Dans notre ´etude, le transducteur consid´er´e est une couche mince de titane reposant sur un demi-espace de saphir. Le laser sonde, qui d´etecte la perturbation m´ecanique engendr´ee par la pompe dans le transducteur, est focalis´e sur une interface. Cette interface peut ˆetre la surface libre du titane, l’interface titane/saphir ou encore l’interface entre le titane et un milieu transparent dont on cherchera `a connaˆıtre les propri´et´es. La sonde d´etecte donc des d´eplacements normaux `
a une interface, et ceux-ci sont par cons´equent diff´erents de ceux d´ecrits par les fonctions de g´en´eration abord´ees au premier chapitre. L’expression du d´eplacement `a une interface engendr´e par une onde incidente implique les d´eplacements li´es `a l’onde incidente ainsi que ceux li´es aux ondes r´efl´echies ou ´evanescentes `a cette interface, tandis que l’expression du d´eplacement engendr´e par la fonction de g´en´eration dans un demi-espace n’implique pas d’ondes r´efl´echies. Pour traduire cette diff´erence entre la fonction de g´en´eration et les signaux d´etect´es par la sonde, nous introduirons la notion de fonction de d´etection, qui exprime la composante normale du d´eplacement engendr´e par une onde incidente `a une interface et d´etect´ee `a cette mˆeme interface. Nous allons maintenant d´eterminer l’amplitude de la fonction de d´etection, en consid´erant une onde incidente longitudinale, puis pour une onde transverse, dans le cas o`u le d´eplacement est sond´e `a une surface libre. Le parall`ele sera fait entre le d´eplacement normal engendr´e par l’int´eraction de cette onde avec la surface libre et la formulation du probl`eme r´eciproque qui avait ´et´e consid´er´ee au chapitre 1 pour ´etablir la fonction de directivit´e en r´egime d’ablation. Nous g´en´eraliserons ensuite ce calcul pour le cas du d´eplacement normal mesur´e `a l’interface entre un milieu opaque et un milieu transparent.
2.1.1 D´eplacement normal engendr´e par une onde incidente `a la surface d’un
demi-espace libre
Nous allons maintenant d´etailler le calcul de la composante normale du d´eplacement engendr´e `
a la surface libre d’un demi-espace ´elastique pour une onde de polarisation longitudinale incidente obliquement, puis pour une onde transverse. Le d´etail du calcul analytique complet est disponible dans l’annexe A.
2.1.1.1 Onde incidente de polarisation longitudinale
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ଶair
titane
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ଶair
titane
Fig. 2.1 – R´eflexion d’une onde incidente longitudinale sur une surface libre. Les polarisations associ´ees aux ondes de polarisation longitudinale et transverse sont repr´esent´ees.
Le d´eplacement engendr´e par une onde de polarisation longitudinale incidente obliquement sur une surface libre a ´et´e discut´e dans le premier chapitre, il est d´ecrit par l’´equation (1.12). Pour tout point appartenant `a la surface d’un demi-espace ´elastique libre, ce d´eplacement s’´ecrit, en reprenant les notations du chapitre 1 :
uL=uLi+uLr +uTr. (2.1)
Ce probl`eme `a trois ondes est illustr´e sur la figure (2.1). On peut ´ecrire la composante normale de ce d´eplacement, en fonction de l’angle d’incidenceθLi :
uLx1 =uLi x1+uLr x1 +uTr x1 =ULinLi 1 +ULrnLr 1 +UTrnTr 1
=ULicos(θLi)−ULrcos(θLr) +UTrsin(θTr), (2.2)
o`u les angles de r´eflexionθLr etθTr s’obtiennent par l’application des lois de Descartes `a l’inter-face. En reprenant les expressions des coefficients de r´eflexion d´efinis par les ´equations (1.14(a)) et (1.14(b)), en rappelant queθLi =θLr, l’expression du d´eplacement (2.2) devient :
10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Fig. 2.2 – Amplitude du d´eplacement normal `a la surface libre normalis´ee par l’amplitude de l’onde incidente longitudinale, en fonction de l’angle d’incidence.
Ce d´eplacement est repr´esent´e sur la figure (2.2), normalis´e par l’amplitude de l’onde inci-dente. En se rem´emorant les consid´erations `a propos des probl`emes direct et r´eciproque dans le cas de la mod´elisation du r´egime d’ablation, on peut comparer ce d´eplacement normal `a la fonc-tion de directivit´e en ablation pour des ondes longitudinales (´eq. 1.21(a)). En effet, comme il a ´
et´e abord´e dans la section 1.3.1.4, l’excitation consid´er´ee dans le r´egime d’ablation est une force normale `a la surface du demi-espace libre, dirig´ee selon l’axe (O,x1). Dans ce cas, le probl`eme di-rect est alors la recherche de l’amplitude du d´eplacement li´e au passage des ondes longitudinales engendr´ees par cette force pour toutes les directions `a l’int´erieur du demi-espace. L’expression de l’amplitude de ce d´eplacement uM
L (´eq. 1.10) indique que celle-ci est proportionnelle au pro-duit scalaire u(O)·FO entre le d´eplacement u(O), appartenant au probl`eme r´eciproque, et la force excitatriceFO, appartenant au probl`eme direct, le pointO appartenant `a la surface libre. Or, comme dans le cas du r´egime d’ablation cette force excitatrice FO est orient´ee selonx1, le d´eplacement recherch´e est donc proportionnel au projet´e sur l’axe x1 du d´eplacement u(O) de la surface libre. Autrement dit, le d´eplacement recherch´e dans le probl`eme direct, calcul´e par la fonction de directivit´e pour une source en ablation, est proportionnel `a la composante normale du d´eplacement u(O) engendr´e dans le probl`eme r´eciproque `a la surface du demi-espace. On remarquera notamment que l’expression (2.2) est semblable `a l’expression (1.21(a)). Nous avons donc montr´e que le d´eplacement normal engendr´e par une onde de polarisation longitudinale `a la surface d’un demi-espace libre est exactement de la mˆeme forme que le d´eplacement calcul´e par la fonction de directivit´e pour une source en ablation pour des ondes longitudinales.
Pour connaitre la composante normale d´etect´ee du d´eplacement engendr´e `a une surface libre par une onde incidente longitudinale, il faut donc multiplier les fonctions de g´en´eration par la fonction de directivit´e pour une source d’ablation pour des ondes longitudinales. En cons´equence, cette fonction sera d´esormais appel´ee fonction de d´etection, et sera not´eefdet,L.
2.1.1.2 Onde incidente de polarisation transversale
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titane
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ଶair
titane
Fig. 2.3 – R´eflexion d’une onde incidente transverse sur une surface libre. Les polarisations associ´ees aux ondes de polarisation transverse et longitudinale sont repr´esent´ees.
Nous allons ici exprimer le d´eplacement engendr´e `a la surface libre par une onde de polarisa-tion transversale incidente obliquement. Ceci a ´et´e discut´e dans le premier chapitre, il est d´ecrit par l’´equation (1.17). Pour tout point appartenant `a la surface d’un demi-espace ´elastique libre, ce d´eplacement s’´ecrit :
uT =uTi+uTr +uLr. (2.4) Ce probl`eme est illustr´e sur la figure (2.3). On peut ´ecrire la composante normale de ce d´ epla-cement, en fonction de l’angle d’incidenceθTi :
uTx1 =uTi x1 +uTr x1 +uLr x1 =UTinTi 1 +UTrnTr 1 +ULrnLr 1
=UTisin(θTi) +UTrsin(θTr)−ULrcos(θLr) (2.5)
o`u l’angle θLr est obtenu par l’application des lois de Descartes. En utilisant les coefficients de r´eflexion d´efinis par les ´equations (1.18(a)) et (1.18(b)), et comme θTi = θTr, le d´eplacement (2.5) devient :
uTx1 =UTi[(1 +RT T) sin(θTi)−RT Lcos(θLr)]. (2.6) Ce d´eplacement est repr´esent´e sur la figure (2.4), normalis´e par l’amplitude de l’onde in-cidente. On peut ici ´etendre le raisonnement effectu´e dans la section pr´ec´edente pour mettre en parall`ele ce d´eplacement normal sond´e `a l’interface pour une onde incidente transverse et la mod´elisation du r´egime d’ablation pour des ondes transverses (´eq. 1.21(b)). Dans ce cas, le
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Fig. 2.4 – Amplitude du d´eplacement normal `a la surface libre normalis´ee par l’amplitude de l’onde incidente transverse.
probl`eme direct est alors la recherche de l’amplitude du d´eplacement li´e au passage des ondes transverses engendr´ees par la force excitatrice normale `a l’interface pour toutes les directions `
a l’int´erieur du demi-espace. L’expression de l’amplitude du d´eplacement uMT (´eq.1.11) indique que celle-ci est proportionnelle au produit scalaireu(O)·FOentre le d´eplacement u(O), appar-tenant au probl`eme r´eciproque, et la force excitatrice FO, appartenant au probl`eme direct, le pointOappartenant `a la surface libre. L’amplitude du d´eplacement recherch´ee dans le probl`eme direct, calcul´ee par la fonction de directivit´e pour une source d’ablation est, comme dans le cas pr´ec´edent, proportionnelle `a la composante normale du d´eplacementu(O) engendr´e dans le probl`eme r´eciproque `a la surface du demi-espace. On pourra remarquer que l’expression (2.5) est semblable `a l’expression (1.21(b)). Pour connaˆıtre la composante normale d´etect´ee du d´ epla-cement engendr´e `a une surface libre par une onde incidente transverse, il faut donc multiplier les fonctions de directivit´e par la fonction de directivit´e pour une source d’ablation pour des ondes transverses.
Les fonctions de d´etection seront d´esormais not´eesfdet,L pour exprimer la composante nor-male du d´eplacement `a la surface libre relatif `a une onde longitudinale incidente et fdet,T pour celui li´e `a une onde transverse incidente.
2.1.2 Calcul du d´eplacement normal engendr´e par une onde incidente `a
l’in-terface entre deux demi-espaces, dont l’un est transparent
Le calcul pr´ec´edent est maintenant ´etendu au cas o`u le demi-espace est charg´e par un demi-espace transparent. Nous consid´erons deux mat´eriaux A et B o`u A est le mat´eriau opaque et
B le milieu transparent. En consid´erant une onde longitudinale incidente dansA, pour obtenir le d´eplacement normal engendr´e `a l’interface A/B, il faudra multiplier l’amplitude de l’onde incidente par le terme
fdet,LA/B = (1−RA/BLL ) cos(θLi) +RA/BLT sin(θTr). (2.7) Dans le cas d’une onde incidente transverse dans A, afin d’obtenir le d´eplacement normal `a l’interface entre les deux mat´eriaux il faudra multiplier par le terme
fdet,TA/B = (1 +RT TA/B) sin(θTi)−RA/BT L cos(θLr). (2.8)
L’expression de la fonction de d´etection du d´eplacement normal `a l’interface entre deux mat´eriaux est de la mˆeme forme pour un demi-espace libre et pour un demi-espace charg´e par un milieu transparent. Les expressions (2.1) et (1.17) sont toujours applicables pour exprimer le d´eplacement engendr´e par le passage d’une onde `a une interface entre deux milieux, les seuls param`etres qui diff`erent sont les coefficients de r´eflexion aux interfaces RA/BLL , RA/BLT , RA/BT T et
RT LA/B.
Nous allons maintenant observer l’influence des propri´et´es m´ecaniques du milieu transparent sur la d´etection du d´eplacement normal `a une interface entre un milieu opaque et un milieu transparent.
2.1.2.1 Influence des propri´et´es m´ecaniques du milieu transparent sur le d´ eplace-ment normal sond´e `a l’interface
Nous rappelons tout d’abord que lorsque la source laser est situ´ee `a l’interface entre deux milieux dont l’un est transparent, les propri´et´es de la couche transparente influent sur le rayonne-ment52dans le milieu opaque, ce point a ´et´e abord´e dans le chapitre 1. Les propri´et´es m´ecaniques du milieu transparent, les vitesses de propagation des ondes et sa masse volumique, d´eterminent les variations du coefficient de r´eflexion `a l’interface entre le milieu transparent et le milieu opaque. Ces coefficients de r´eflexion interviennent dans l’expression des fonctions de g´en´eration, et donc, les propri´et´es m´ecaniques de la couche transparente influent directement sur la fonction de g´en´eration.
De mani`ere ´equivalente, nous donnons ici un aper¸cu de l’influence de la couche transparente sur la composante normale du d´eplacement d´etect´e `a l’interface entre un milieu opaque et cette couche transparente. La diff´erence avec le cas de la surface libre, est qu’ici l’onde incidente dans le milieu opaque peut ˆetre r´efl´echie mais ´egalement r´efract´ee dans le milieu transparent.
Nous consid´ererons deux exemples li´es `a la g´eom´etrie de notre ´echantillon. Dans un premier temps le d´eplacement sond´e `a l’interface titane/saphir sera observ´e. Nous observerons ensuite le d´eplacement normal d´etect´e `a une interface entre le titane et le milieu `a sonder. Nous consid´ e-rerons le titane charg´e par du glyc´erol, la comparaison sera faite avec le cas o`u le demi-espace est libre. Les propri´et´es physiquesa utilis´ees dans le calcul des coefficients de r´eflexion pour le glyc´erol66 sontvglyL =2900 m/s , vglyT =1290 m/s et ρgly=1260 kg m−3.
D´eplacement normal sond´e `a l’interface titane/saphir
La figure (2.5) illustre l’amplitude de la composante normale du d´eplacement `a l’interface titane/saphir engendr´e par une onde incidente longitudinale (2.5(a)), ou transverse (2.5(b)). Le d´eplacement illustr´e est normalis´e par l’amplitude de l’onde incidente. Ces courbes repr´esentent donc l’amplitude des expressions (2.2) et (2.5).
Pour une onde incidente longitudinale, la discontinuit´e dans le d´eplacement normal sond´e `a l’interface titane/saphir correspond `a un angle critique, d´ej`a ´evoqu´e pour le cas de la fonction de directivit´e pour des ondes longitudinales pour une source quadripolaire situ´ee `a l’interface titane/saphir, sa valeur est ´egale `a arcsin(vtiL/vsapL ). Au-del`a de cet angle (fig. 1.14), les ondes incidentes longitudinales dans le titane sont transmises dans le saphir uniquement par conversion de mode `a l’interface. L’imp´edance du saphir ´etant sup´erieure `a celle du titane le d´eplacement de l’interface est plus faible que dans le cas o`u le titane est libre. En effet plus l’imp´edance de la couche transparente augmente, et plus le d´eplacement normal de l’interface est faible. En imaginant une imp´edance tr`es importante pour le milieu de transmission, alors la rupture d’imp´edance entre le titane et la couche transparente serait telle que l’onde incidente ne pourrait pas se propager dans le milieu de transmission, et le d´eplacement `a l’interface serait nul, la paroi ´
etant alors consid´er´ee comme fixe. Au contraire, dans le cas o`u le coefficient de r´eflexion est nul,