Equations

En admettant les hypothèses formulées ci-dessus, les équations du modèle 1D sont très

simples. La vitesse de déformation de cisaillement ε&

_xz

reçoit une contribution des densités de

dislocations statistiques mobiles ρ

_m

et des dislocations vis en excès α

_xx

. Ces dernières se

déplacent radialement à la vitesse v

_y

.

(1,88) 2ε&

_xz

=α

_xx

v

_y

+ρ

_m

bv.

La contrainte de cisaillement σ

_xz

vérifie les équations d’équilibre

(1,89) σ

_xz,x

=0 ; σ

_xz,z

=0,

L’équation de transport détermine ensuite l’évolution de la densité de dislocations vis en

excès.

Ces équations ne permettent pas de déterminer la contrainte de cisaillement, et l’on doit avoir

recours à des approximations. Dans le cas d’une déformation purement élastique linéaire, le

moment de torsion appliqué s’exprime par : M

_T

=1/2πR

³

σ

_xz

(R). Si l’on utilise en revanche

une approximation purement viscoplastique avec une vitesse des dislocations de la

forme :v≈σ

²

, ce moment devient M

_T

=4/7πR

³

σ

_xz

(R). La différence entre ces deux valeurs

n’est que de 12.5%. En réalité, la glace ayant un comportement élasto – viscoplastique, le

moment de torsion est compris entre ces deux valeurs. Cependant, l’approximation

viscoplastique n’est valable que dans le cas du fluage stationnaire. Or ce dernier est rarement

atteint ou alors pour des grandes déformations (30% environ) alors que la plupart des

déformations atteintes ne dépassent pas 5%. D’autre part, la région centrale de l’éprouvette

devrait rester proche d’un état de déformation élastique. Nous pensons donc que l’approche

purement élastique est plus proche de la solution réelle que l’approche viscoplastique. En

conséquence, on supposera que la contrainte de cisaillement σ

xz

décroît linéairement de

l’extérieur vers le centre du cylindre où elle est nulle : τ

R

y

σ

_xz

= , expression dans laquelle

R est le rayon du cylindre, r le rayon au point considéré et τ la valeur maximale de la

contrainte de cisaillement appliquée en r = R.

Mise sous la forme :α&

xx

+(v

y

α

xx

)

_,y

=−(ρ

m

bv)

,y

, l’équation (1,90) apparaît comme une

équation de transport généralisée, avec un terme de source au second membre. Cette remarque

permet de rattacher la dynamique des dislocations à la classe des phénomènes représentés par

ce type d’équations : écoulements de fluides compressibles, ondes de chocs, turbulence…Les

analogies ainsi suggérées justifient à elles seules le caractère générique de la formulation 1D

adoptée.

Le double glissement dévié des dislocations vis, exclu par l’hypothèse d’invariance par

translation suivant l’axe de torsion, est réintroduit phénoménologiquement dans ce modèle.

Une fraction seulement (1-β) des dislocations vis créées glissent dans le plan basal. L’autre

fraction β forme des segments de dislocations coin dans les plans prismatiques par glissement

dévié. Ces segments constituent un obstacle au mouvement des dislocations et peuvent donc

être considérés comme des dislocations statistiques sessiles ρ

s

. L’équation d’évolution de ces

dernières s’écrit donc comme

Par ailleurs, le double glissement dévié favorise la multiplication des dislocations dans les

plans basaux adjacents par le mécanisme de Frank Read (voir figure III.8). Les boucles de

dislocations ainsi générées sont considérées comme des dislocations statistiques mobiles ρ

m

.

L’équation d’évolution de ces dernières prend la forme

(1,92)

₂1 _{2 m xz} m

C ρ ε

b

C

ρ& &









 −

= .

Le terme C

1

tient compte de la multiplication des dislocations par double glissement dévié,

alors que le terme C

2

traduit leur annihilation mutuelle et donne une valeur de saturation égale

à C

₁

/C

₂

b

²

. Des résultats du modèle 3D, qui seront présentés plus tard, ont révélé l’existence

d’une contrainte interne clairement liée aux dislocations vis en excès. Cette contrainte interne

ne figure pas dans l’équation d’équilibre (1-4) à cause de l’hypothèse d’invariance par

translation suivant l’axe de torsion et de l’existence d’un seul type de dislocations. Il est donc

nécessaire de la réintroduire de manière phénoménologique dans le modèle. La loi

d’évolution de la contrainte interne, notée σ

_µ

, est prise sous la forme

(1,93)

_{µ xx y} ^y

σ

_µ

b

αˆ

v

v

µα

α

~

σ& = − ,

où α~ et αˆ sont des constantes et µ représente le module élastique de cisaillement. C’est une

loi d’écrouissage cinématique du type Armstrong-Frederick [48], où la création de la

contrainte interne n’est due qu’à la mobilité des dislocations en excès, car les dislocations

statistiques ne produisent pas de contraintes internes. De plus, un terme de relaxation est

ajouté, qui implique un temps caractéristiqueτ

_r

=αˆb v

_y

, de sorte que la valeur d’équilibre

de la contrainte interne (correspondant à σ&

_µ

=0) ne dépende pas de la vitesse des dislocations

mais uniquement de la densité de dislocations. La vitesse des dislocations est maintenant

exprimée comme

(1,94) ( )

ⁿ h 0 µ xz µ xz 0 y

σ

σ

σ

σ

σ

σ

sgn

v

v

v 











+

−

−

=

= .

où σ

_xz

−σ

_µ

représente la contrainte effective. Comme nous l’avons déjà vu, l’exposant n est

égal à 2 dans le cas des monocristaux de glace, et les paramètres de référence σ

₀

et v

₀

sont

identifiés d’après les données expérimentales [22]. La contrainte σ

_h

=αµb ρ

_s

traduit

l’écrouissage isotrope lié aux dislocations statistiques sessiles, α étant une constante. Les

paramètres utilisés et les conditions initiales sont donnés dans les tableaux III.1 et III.2. Les

valeurs initiales des densités de dislocations doivent être cohérentes avec la valeur de la

vitesse de déformation initiale observée expérimentalement, à l’extérieur du cylindre. En

effet, la vitesse des dislocations étant connue en fonction de la contrainte imposée, les

densités de dislocations doivent être ajustées de façon à obtenir cette vitesse de déformation.

De plus, la densité initiale de dislocations vis en excès décroît de l’extérieur au centre du

cylindre où elle est nulle, de façon à ce que leur vitesse de nucléation présente une

distribution parabolique. Ce choix permet de reproduire une création plus importante des

dislocations en périphérie, à cause de la contrainte plus élevée et aussi des défauts de surface.

Table III.1. paramètres utilisés pour le modèle 1D.

Table III.2. conditions initiales utilisées.

Dans le document Incompatibilité du réseau cristallin et organisation collective des dislocations (Page 87-90)