Equations de point fixe en loi

Commençons par rappeler que nous notons ϕ(θ) pour le logarithme de la transformée de Laplace de la loi de reproduction de la marche aléatoire bran-chante. C’est-à-dire ∀θ, ϕ(θ) =logE  

∑

Dans la Section 1.3, nous nous étions concentrés sur la martingale additive Wn = W_n⁽⁻¹⁾ quand ϕ(−1) = 0 et nous revenons dans cette section aux mar-tingales additives plus générales W_n^(θ)pour θ fixé dans le domaine de définition de ϕ, sauf mention explicite du contraire. Comme nous l’avons déjà remarqué précédemment, la martingale Wn^(θ) est positive et admet donc une limite W_∞^(θ) pour la convergence presque sûre. Rappelons que le choix de θ et les hypothèses portant sur ϕ^∗ influe sur la trivialité ou non de cette limite en vertu du Théo-rème 1.4 : nous supposons dans cette section que θ = ϕ⁰(x)est pris de sorte que

ϕ^∗(x) ≤ 0 afin de couvrir à la fois le cas de la martingale additive critique et sous-critique.

Maintenant, nous pouvons observer que la proriété de branchement im-plique la relation de récurrence suivante

∀n ≥0, W_n^(θ)₊₁ ^loi=

∑

|u|=1

eθXu−ϕ(θ)

W_n,u^(θ) sousP,

où les W_n,u^(θ) sont des copies iid de W_n^(θ). Cette transformation appliquée aux W_n,u^(θ) est la transformation régularisante, la fameuse smoothing transform (voir par exemple [BDM16]). En passant à la limite presque sûre dans la précédente équation et en notant pour i ∈ N∗, Ci = eθXi−ϕ(_θ)

solution de l’équation de point fixe W_∞^{(θ) loi}= ∞

∑

où les W_∞,i^(θ) sont des copies i.i.d. de W_∞^(θ), indépendantes du vecteur(C_i)_i. Ob-servons au passage queE[∑iC_i] = 1 par définition des C_i. Remarquons main-tenant que l’équation de point fixe en loi (1.49) n’est réellement intéressante que dans le cas sous-critique où la limite W_∞^(θ)est non-triviale. Cependant nous pou-vons observer, comme le font Biggins et Kyprianou dans [BK97], qu’en multi-pliant Wn^(θ)par la suite(cn)de la renormalisation de Seneta-Heyde, sous réserve que cn/c_n+1 →1, on aboutit à la même équation pour la limite non-trivialeW(θ)

de cnW_n^(θ): W^{(θ) loi}= ∞

∑

où lesW_i^(θ) sont des copies iid de la loi deW(θ). Cette équation est valable à la fois dans le cas sous-critique et dans le cas critique : dans ce dernier cas, la suite

(cn)converge alors vers une constante.

Ainsi les lois de W_∞^(θ) et W(θ) sont solutions de la même équation de point fixe et nous pourrons donc énoncer les résultats en termes de W_∞^(θ) uniquement. La description de la limite de la martingale additive se fait donc ici en étu-diant la loi point fixe de la smoothing transform, ce qui nous amène dans le domaine des équations de renouvellement implicite. Les techniques alors em-ployées sont donc propre à l’étude des équations de points fixes en loi et des équations récursives stochastiques, ainsi elles diffèrent des techniques habi-tuelles, propres aux marches aléatoires branchantes.

Une référence incontournable est Goldie [Gol91], qui donna, entre autres, une preuve alternative d’un résultat de Kesten [Kes73] sur l’équation (1.49) dans sa version affine, à savoir

X ^loi= AX+B, (1.51)

dans le cas contractant où E[log|_A|] < _{0. Dans cet article, Goldie utilise des}

techniques de renouvellement implicite en se basant sur des idées de Grince-viˇcius [Gri75a] pour obtenir l’asymptotique des queues à droite et à gauche de la solution de l’équation de point fixe, ainsi que l’unicité de la solution en mettant une condition de type L log L sur A et une condition de moment sur B. Citons aussi les travaux de Kevei [Kev16], qui obtient également l’asympto-tique des queues de la solution en relaxant les hypothèses de Goldie sur A dans

le cas où log(A)est dans le domaine d’attraction d’une loi stable, et ceux de Je-lenkovi´c et Olvera-Cravioto [JOC12] qui généralise les résultats de Goldie aux arbres pondérés en étudiant l’équation de point fixe de la smoothing transform (homogène si B=0 p.s., inhomogène sinon) :

X ^loi=

∑

i

A_iX_i+B.

Réduction de l’équation. Il est possible d’unifier les deux approches en effec-tuant un changement de mesure afin de réduire l’équation (1.49) sous la forme (1.51) et ainsi tout résultat pour une des deux équations pourra s’exprimer en termes de l’autre. Pour cela on utilise une transformation de biais par la taille en considérant non plus la variable W_∞^(θ) mais une variable aléatoire ˜W dont la loi est biaisée par W_∞^(θ). Alors on vérifie sans peine (voir [Dur83], [Gui90] et [Liu00]) que ˜W est solution de (1.51) pour un certain couple(A, B).

Plus prosaïquement, ce changement de mesure permettant de réduire l’équa-tion est introduit comme la définil’équa-tion de la mesure de Peyrière (en référence à [Pey77]) surΩ×_∂Uoù ∂U désigne le bord de l’arbre d’Ulam constitué des mots de longueur infinie. On peut alors définir pour tout ω et u = u1u2... ∈ ∂U, les quantités suivantes ˜ W(_ω, u) =W_∞^(θ)(_ω), ˜ A(ω, u) =eθXu1^−ϕ(θ) ˜ W1(ω, u) =W_∞,u^(θ)₁ = lim n→∞W_n,u^(θ)₁ ˜ B(ω, u) = ∞

∑

où W_n,i^(θ) désigne la martingale additive associée à la marche aléatoire bran-chante issue de Xi. Toutes ces quantités sont des applications mesurables sur Ω×∂U muni de la tribu F × B(∂U ), où B(∂U ) est la tribu borélienne de ∂U

pour la métrique utilisée dans [Liu00]. Par construction, on peut déjà observer que

˜

W = _{A ˜}˜_W1+B.˜ _(1.52)

Si l’on note µω l’unique mesure de Borel aléatoire sur le bord ∂T (ω)de l’arbre aléatoire engendré par la marche aléatoire branchante, puis prolongée à ∂U par restriction àT (ω), telle que pour tout u ∈ T (ω)

µω({v ∈ T (ω): u ≤v}) =eθXu−|u|ϕ(_θ)

on peut alors introduire la mesure de Peyrière surΩ×_∂U _: ∀U ∈ F × B(∂U ), Q(U) =E _Z ∂U1_(ω,u)∈Uµω(du)  . (1.53)

Le lemme 4.1 de Liu [Liu00] permet alors de décrire la loi des variables ˜W, ˜A, ˜

W₁et ˜B en terme de la probabilité de départP, d’observer que ˜W₁a la loi de ˜W et est indépendant sous Q du couple(_{A, ˜}˜ _{B)et donc que l’on s’est bien ramené} à une équation de point fixe en loi de la forme (1.51).

Existence et unicité de la solution. Comme nous nous intéressons au compor-tement de la limite de la martingale additive et notamment au comporcompor-tement asymptotique de sa queue, il est important de s’assurer que les équations de points fixes en loi décrites plus haut admettent une unique solution. Fort heu-reusement, le principe de Letac (voir [Let86] et [Gol91]) donne une condition suffisante pour que l’équation de point fixe en loi (1.51) aie une unique solu-tion :

Théorème 1.12(Principe de Letac dans le cas affine). Notons ψ : t 7→ At+B la transformation aléatoire apparaissant dans (1.51) et soit(_ψi)_i≥1des copies iid de la loi de ψ. Si la limite X = limn→∞Xn(t) = limn→∞ψ₁◦ψ2◦...◦ψn(t) existe presque sûrement et ne dépend pas de t, alors la loi de X est l’unique loi solution de (1.51). De plus, la variable aléatoire Yn(t) = _ψn◦...◦_ψ1(t)admet cette unique loi pour loi limite pour toute valeur de t.

L’étude de Xn(t)et Yn(t), et la preuve que la condition du principe de Letac est vérifiée dans les cas que nous considérons peut notamment se trouver dans [BDM16] qui traite en détails l’équation (1.51) à la fois d’un point de vue pro-babiliste et d’un point de vue issu des systèmes dynamiques, ou encore dans l’article [GM00].