1.3 Comportement des MAB et de leurs extrêmes
1.3.1 Comportement du minimum de la marche aléatoire bran-
dis-cret en dimension deux la question du comportement des particules extrêmales ainsi que des enjeux similaires à celui de la renormalisation de Seneta-Heyde de la martingale additive de la marche aléatoire branchante, comme illustré entre autres par Aru, Powell et Sepulveda dans [APS17].
1.3 Comportement des marches aléatoires branchantes
et de leurs extrêmes
1.3.1 Comportement du minimum de la marche aléatoire
bran-chante
Comme nous l’avons abordé brièvement dans la Section 1.1.2, la question du comportement de la particule minimale quand le branchement est surcri-tique est une question intéressante car cette particule joue un rôle unique, avec une trajectoire de probabilité exponentiellement faible. La compréhension du comportement asymptotique du minimum, voire l’étude du minimum global, de la marche aléatoire branchante est donc un enjeu majeur pour comprendre les grandes déviations de la marche aléatoire branchante. La question de la concentration du minimum autour de sa médiane ou de ses quantiles a éga-lement été étudiée en détails (voir par exemple, [Bac00] ou [BZ09]). Cette étude se place dans divers cadres, que l’on peut bien souvent exprimer en fonction de la marche de l’épine.
Commençons par rappeler que, selon Biggins [Big98], le minimum min|u|=nXu
tend vers∞ quand n →∞ presque sûrement dès que Eh∑|u|=1e−Xu i
=1. Cette hypothèse est donc une hypothèse classique pour l’étude de la marche aléatoire branchante, et l’enjeu est donc de savoir à quelle vitesse le minimum tend vers l’infini.
Le boundary case. Le cadre le plus fréquent pour l’étude de la marche aléa-toire branchante est probablement le cas dit du boundary case, en référence à Biggins et Kyprianou [BK04], qui correspond à un cas limite dans l’étude du comportement asymptotique de la marche aléatoire branchante. Les hypothèses correspondantes sont les suivantes :
ϕ(−1) =0= ϕ0(−1). (1.14)
Pour reprendre le vocabulaire de Barral, Hu et Madaule dans [BHM18], ce boun-dary case est un cas critique dans l’étude de la martingale additive et correspond à une transition de phase de second ordre pour l’énergie libre, tandis qu’une transition de premier ordre ne supposerait pas que ϕ soit dérivable à droite en
−1.
Le boundary case est un cadre d’étude très raisonnable pour l’étude de la marche aléatoire branchante car il est très souvent possible de s’y ramener comme Jaffuel le montre de manière détaillée dans [Jaf09] (version arXiv exclusive-ment). De plus, c’est une hypothèse classique pour l’étude de la renormalisation de Seneta-Heyde de la martingale additive, notamment car elle implique que la quantité définie pour tout n∈ N par
Dn =
∑
|u|=n
Xue−Xu, (1.15)
est une martingale pour la filtration canonique de la marche aléatoire bran-chante, appelée martingale dérivée. Cette martingale intervient notamment dans l’étude du minimum de la marche aléatoire branchante ou encore l’étude de la martingale additive, mais sa convergence elle-même a été étudiée, notamment dans [BK04] qui se placent dans le cas où l’épine a une variance finie. Nous verrons par la suite qu’en fonction des hypothèses, et donc en fonction de la convergence ou non de Dn et de son éventuelle nature de martingale, il sera parfois nécessaire d’étudier la convergence de la martingale additive en utili-sant une autre quantité que Dn définie à l’aide des fonctions de renouvellement décrites dans la Section 1.5.
Parmi les résultats les plus fameux sur le comportement du minimum, fi-gurent ceux de Hu et Shi dans [HS09]. En se plaçant dans le cadre du boundary case, et en supposant également qu’il existe un triplet de réels strictements posi-tifs(δ1, δ2, δ3)tel que le nombre d’individus vivants à la première génération ait un moment d’ordre 1+δ1fini, et que W(−1−δ2)
1 et W(δ3)
1 admettent un premier moment fini, ils démontrent que, conditionnellement à la survie du processus,
le minimum est dans le régime suivant : lim sup n→∞ 1 log n|minu|=nXu = 3 2 p.s., (1.16) lim inf n→∞ 1 log n|minu|=nXu = 1 2 p.s., (1.17) lim n→∞ 1 log n|minu|=nXu = 3 2 en probabilité. (1.18)
L’ordre logarithmique peut se visualiser sur la Figure 1.3, où la marche aléa-toire branchante est simulée avec des déplacements gaussiens N (1, 1) et un branchement de loi de Poisson de paramètre e1/2, de sorte que la marche de l’épine ait des incréments gaussiens standards et de sorte que les hypothèses de Hu et Shi soient vérifiées. L’équivalent en probabilité du minimum, à savoir
3
2log n, est représenté en rouge.
FIGURE 1.3 – Réalisation d’une MAB avec épine d’incréments gaussiens stan-dards et l’équivalent en probabilité de son minimum
Plus tard, sous d’autres hypothèses, Aïdékon obtient une converge du mini-mum centré autour de 32log n pour une classe de marches aléatoires branchantes
assez générale. Il suppose ainsi toujours être dans le boundary case, que la loi du déplacement des particules n’est pas arithmétique (i-e qu’elle n’est pas suppor-tée par λZ pour un certain λ>0), que la marche de l’épine admet une variance finie et que la condition de type L log L suivante est vérifiée :
EhW1 log+W12
+Y1log+Y1i <∞, (1.19) où log+x =min{log x, 0}et Y1 =∑|u|=1Xu+e−Xu. Sous ces hypothèses, d’après [BK04], la martingale dérivée Dn converge vers une limite D∞ qui est stricte-ment positive sur l’événestricte-ment de la survie du processus, et cette limite inter-vient dans le résultat d’Aïdékon qui obtient l’existence d’une constante C > 0 telle que pour tout x,
lim n→∞P min |u|=nXu ≥ 3 2log n+x =Ehe−CexD∞i. (1.20)
Sous ces mêmes hypothèses, Madaule montre dans [Mad16b] que la queue du minimum global de la marche aléatoire branchante, M = min{Xu, u ∈ U }
vérifie
lim
x→∞exP(M≤ −x) = cM, (1.21)
où cM > 0 est une constante. Ce résultat est intéressant pour Madaule dans l’optique d’obtenir une asymptotique de la queue de la limite de la martingale dérivée de l’ordre de x−1, en laissant de côté l’hypothèse (1.19), le lien entre les deux quantités apparaissant en décomposant la martingale dérivée suivant la lignée associée à la particule réalisant le minimum global.
Enfin, nous pouvons aussi mentionner les résultats obtenus par Liu et Zhang dans [LZ17]. Se situant toujours dans le boundary case, Liu et Zhang supposent que pour α∈]1, 2[, ε>0 et c >0, la queue à gauche de la marche de l’épine est un O(y−(α+ε)), que la queue à droite équivaut à cy−α et enfin que la condition L log L suivante est vérifiée :
EhW1 log+W1
α
+Y1 log+Y1
α−1i
<∞. (1.22)
Ainsi, ils établissent notamment le régime suivant pour le minimum min|u|=nXu, où presque sûrement sur l’événement de la survie du processus :
lim inf n→∞ min|u|=nXu−1 αlog n log log n = −1 lim sup n→∞ min|u|=nXu−1+1 α log n
Cette dernière équation est donc ce qu’il reste du résultat de Hu dans [Hu16] quand on ne suppose plus que la marche de l’épine admet un troisième mo-ment.
Hors du boundary case. Des résultats sur la tension du minimum hors du boundary case ont été obtenus par Barral, Hu et Madaule dans [BHM18], où ils supposent uniquement que la transition de phase pour l’énergie libre est de premier ordre, c’est-à-dire :
ϕ(−1) =0. (1.23)
En supposant de plus qu’il existe des constantes γ >3 et α>1, une fonction à variations lentes`et un x0<0 tels que
E∗Xξ1 >0, E∗ (X+)γ <∞ et∀x≥ x0,P∗ Xξ1 ≤x = Z x −∞|y|−(α+1)`(y)dy, (1.24) Barral, Hu et Madaule obtiennent la borne suivante sur la queue à gauche du minimum : ∀n ≥2, x≥0,P min |u|=nXu ≤ (α+1)log n−log`(n) −x ≤Ke−x, (1.25)
où K >0 est une constante.
L’asymptotique de l’autre queue est obtenue sous l’hypothèse classique que
E W1log+W1 < ∞ (ce qui implique que W∞ est non-triviale), et des hypo-thèses techniques : ∀x ∈R, lim n→∞P min |u|=nXu ≥ (α+1)log n−log`(n) +x =E[exp(−cexW∞)], (1.26) où la constante c >0 à une expression peu digeste mais explicite.