Dans un premier travail, H. Bahouri en collaboration avec I. Gallagher a établi un résultat de stabilité pour le système de Navier‐Stokes. La question posée est la suivante : étant donnée une suite qui converge au sens des distributions vers un champ de vecteurs engendrant une solution globale, sous quelles hypothèses peut‐on affirmer qu'à extraction près d'une sous‐suite, la suite génère aussi une solution globale?
Contrairement à des travaux antérieurs où cette question a été abordée pour la topologie forte, ici la topologie considérée est optimale puisqu'il s'agit de convergence au sens des distributions.
Les hypothèses exigées dans ce travail pour l'obtention de la stabilité faible concernent la structure des suites : la première est une hypothèse d'anisotropie et la seconde est une
hypothèse technique. Pour établir ce résultat, les auteurs ont été amenés à décrire dans un cadre anisotrope le défaut de compacité d'injections de Sobolev critiques en termes de profils.
Dans un projet en cours, H. Bahouri, J.‐Y. Chemin et I. Gallagher cherchent à résoudre cette question de stabilité faible en s'affranchissant de l'hypothèse technique. L'idée principale consiste à regrouper les profils anisotropes obtenus en fonction de la taille de leurs échelles verticales. L'existence globale pour ces suites n'étant pas connue, les auteurs sont alors amenés à montrer qu'elles engendrent pour le système de Navier‐Stokes des solutions globales. Pour ce faire, ils ont revisité la théorie en dimension 2 et établi un résultat de propagation de la
régularité verticale lorsque la donnée de Cauchy dépend d'un paramètre.
III) Equations aux dérivées partielles de type elliptique ou parabolique
(G.Allain, A.Beaulieu, L. Bétermin, A.Damlamian, M. Dos Santos, C.Fermanian, R. Hadiji, C. Imbert, R. Rodiac, É. Sandier, S. Soueid, F. Vigneron, P. Zhang)
Les recherches réalisées ou en cours des membres de l'équipe concernés par les EDP elliptiques et paraboliques impliquent des chercheurs de l'équipe « courbure » (Y. Ge) et d'autres
institutions françaises et étrangères : L. Berlyand (Penn State), D. Cioranescu (UPMC),
P. Mironescu (UCB), J. Orlik (Fraunhofer Institute, Kaiserslautern), S. Serfaty (UPMC), A. Atallah (Tunisie), G. Barles (Tours), E. Chasseigne (Tours), A. Ciomaga (Chicago), A. Mellet (Maryland) L. Silvestre (Chicago), T. Karper (Trondheim) …
Les sujets abordés dans ce thème se regroupent autour de deux grandes composantes :
Homogénéisation et convergence variationnelle et EDP elliptiques ou paraboliques non linéaires et équations de HamiltonJacobi.
Page 58 Homogénéisation et convergence variationnelle.
Modèles de matrices aléatoires et gaz de Coulomb. Motivé par l'étude de la structure des vortex supraconducteurs, É. Sandier a introduit en collaboration avec S. Serfaty (UPMC) une énergie d'interaction pour une infinité de particules coulombiennes dans le plan chargées négativement et interagissant avec un background uniforme positif qui apparaît dans certains modèles de matrices aléatoires, ou en mécanique statistique. Après des premiers résultats de grandes déviations, notamment, ils cherchent à traiter de nouveaux modèles, en 1‐D par exemple. L.
Bétermin, qui a débuté sa thèse en septembre 2012 étend ces méthodes dans d’autres directions comme un fond non uniforme et étudie également des questions relatives à l’existence de
minimiseurs périodiques pour des potentiels d’interaction non coulombiens. En collaboration avec Y. Ge, É. Sandier cherche à trouver des conditions sur l'uniformité de la répartition de points dans le plan pour que l'énergie mentionnée ci‐dessus soit finie.
Homogénéisation. Avec D. Cioranescu et J. Orlik, A. Damlamian a étudié l’homogénéisation d’un problème de frottement avec inclusions en élasticité linéarisée. A cette occasion, il a trouvé plusieurs nouvelles formes d’inégalités de Korn unilatérales, particulièrement adaptées aux inclusions avec contact. Avec D. Cioranescu et G. Griso, A. Damlamian travaille sur un livre ayant pour sujet la méthode de l’éclatement périodique.
En collaboration avec S. Serfaty (UPMC) et L. Berlyand (Penn State), É. Sandier étudie la gamma convergence à deux échelles en utilisant un formalisme introduit il y a quelques années avec S.
Serfaty qui devrait donner un cadre efficace pour des problèmes d'homogénéisation avec des fonctionnelles non nécessairement convexes, déterministes ou stochastiques.
M. Dos Santos a traité certaines situations en relation avec l'homogénéisation des équations de Ginzburg-Landau.
Phénomène de concentration pour les équations de Ginzburg-Landau sans champ magnétique. Un article de Berlyand, Misiats et Rybalko a initié l’étude de la minimisation de la fonctionnelle de Ginzburg-Landau dans un anneau sous une condition de degré topologique prescrit au bord, et a montré ainsi l’existence de nombreuses solutions des équations. L. Berlyand, P. Mironescu (UCB) et É. Sandier ont construit des points critiques dans un domaine simplement connexe par une stratégie de mini-max, qui est compliquée par un phénomène de bubbling au bord des suites de Palais-Smale. En collaboration avec P. Mironescu et I. Molnar (Univ. Lyon I), M. Dos Santos souhaite analyser finement ce phénomène. R. Rodiac, qui a débuté sa thèse en septembre 2012, adapte des techniques remontant aux travaux de Brezis-Coron dans ce contexte, et explore d’autres problèmes de
minimisation sous contrainte de degré au bord prescrit.
Dans un travail en cours, M. Dos Santos et R. Hadiji s'intéressent à la minimisation de l’énergie de Ginzburg-Landau (sans champ magnétique) sous l’effet d'une condition de type Dirichlet (partielle) sur une portion du bord d'un domaine du plan. Le but est de comprendre sous quelle condition, il y a création de vortex, puis d'expliquer et décrire les phénomènes obtenus.
Convergence variationnelle de certaines fonctionnelles elliptiques non-linéaires. R. Hadiji étudie avec A. Gaudiallo (Naples) la réduction du modèle 3D usuel du micromagnétisme à un modèle 2-D ou 1-D dans des situations avec une jonction, importantes pour les applications telles que deux cylindres, deux plaques, deux tiges. En collaboration avec K. Shirakawa, il a considéré l'énergie micromagnétique
Page 59 avec un poids pouvant s’annuler dans une plaque mince. Il compte étendre ces études au cas
parabolique.
R. Hadiji et C. Pérugia se sont intéressés à un problème de Ginzburg Landau avec terme de
chevillage (ou pinning) qui dépend à la fois de la variable de l'espace et de la fonction d'onde u et précisé la nature des vortex qui apparaissent dans ce cas. Avec S. Bae, F.Vigneron (UPEC) et H.Yazidi, R. Hadiji a étudié un problème de minimisation avec exposant critique de Sobolev et un poids positif (dépendant de la variable de l'espace et de la variable de minimisation). Ils
souhaitent étudier le problème avec des poids plus généraux et préciser la régularité des solutions lorsqu'elles existent.
P. Zhang, en thèse depuis septembre 2011, étudie la convergence du modèle de Ginzburg‐Landau doublement périodique vers un modèle 1‐D lorsque l’une des périodes tend vers 0.
EDP elliptiques et paraboliques non linéaires et équations de Hamilton-Jacobi.
EDP paraboliques non linéaires. C. Imbert a étudié avec G. Barles, E. Chasseigne et A. Ciomaga le comportement en temps grand de solutions d'équations paraboliques intégro‐différentielles. Ce travail est l'aboutissement d'une série de travaux antérieurs de C. Imbert avec ces mêmes auteurs.
C. Imbert a construit avec P. Biler et G. Karch des solutions pour une équation des milieux poreux de type fractionnaire. La motivation vient notamment de modèles de mécanique des milieux continus (dynamique des dislocations). Ils exhibent des formules explicites de solutions auto‐
similaires, déjà construites implicitement dans un cas particulier par Caffarelli et Vazquez. Ils obtiennent aussi des estimations d'hypercontractivité.
C. Imbert continue sa collaboration avec Antoine Mellet sur les fractures hydrauliques. Ils cherchent actuellement à construire des solutions de type source pour l'équation parabolique d'ordre 3 de type « films minces » associée. C. Imbert souhaite aussi mener à bien l'analyse numérique correspondante, il a entamé pour cela une collaboration avec Trygve Karper.
C. Imbert a rédigé avec Luis Silvestre un chapitre d'un livre "Lecture Notes in Mathematics"
(Springer) sur les équations paraboliques complètement non‐linéaires.
Equations de HamiltonJacobi. C. Imbert travaille avec R. Monneau sur les équations de Hamilton‐
Jacobi sur les réseaux. Après un premier résultat novateur en collaboration avec H. Zidani, ils cherchent une démonstration plus directe et plus flexible pour pouvoir s'attaquer à des questions plus complexes. Ce travail s'inscrit dans le cadre d'un projet ANR (HJnet). Dans la même veine, il travaille avec R. Schwab sur les équations du second ordre sur les réseaux, et leur interprétation probabiliste.
EDP elliptiques non linéaires. C. Imbert collabore avec Luis Silvestre sur les équations elliptiques et paraboliques complètement non‐linéaires. Ils ont montré que les solutions de certaines équations elliptiques dégénérant quand le gradient s'annule ont un gradient hölderien. Ils travaillent actuellement sur les versions paraboliques de ces résultats.
Dans une série de travaux, G. Allain et A. Beaulieu ont étudié des EDP elliptiques non linéaires de type Schrödinger, comportant un petit paramètre strictement positif. Elles ont établi des
propriétés des branches de solutions positives et bornées qui sont périodiques en une variable,
Page 60 obtenues par bifurcation à partir de la solution fondamentale (solutions de Dancer), construit des solutions périodiques de deux variables positives et bornées, par une méthode de
construction d'une solution approchée, suivie d'une utilisation du théorème du point fixe (dite méthode de Lyapunov‐Schmitt) et montré que toute solution périodique en une variable et tendant uniformément vers 0 dans les autres variables, avec un nombre fini de pics, est une solution de Dancer.
C. Fermanian en collaboration avec A. Atallah s'est intéressée à des équations présentant des aspects elliptiques liés à la présence d'un opérateur de la chaleur. Elles ont étudié le système de la thermo-élasticité qui se présente comme une équation des ondes couplée à une équation de la chaleur et ont analysé l'évolution de l'énergie de familles de solutions du système lorsque l'opérateur de la chaleur impliqué est dégénéré. Les méthodes usuelles ne s'appliquent alors plus et elles ont obtenu des résultats dans ce cadre dans un article qui vient d'être accepté. A. Atallah dirige maintenant une thèse sur des thématiques proches.
R. Hadiji et F. Vigneron ont étudié un problème elliptique non linéaire avec exposant critique et obtenu une classification de l'existence ou non‐existence de solutions. Le minimiseur existe uniquement lorsque la non‐linéarité est dominante à l'échelle de la solution. Dans un travail en cours, ils étudient maintenant la stabilité du problème par perturbation linéaire.