7.1. L’´equation de Bernoulli et la perte de charge
Reprenons l’´equation de Bernoulli pour un ´ecoulement incompressible et stationnaire : 1
2v2+ p
ρ +gz = Cte = C
Il est commode d’appeler la constante au deuxi`eme membre charge; elle s’exprime sous la forme de l’hauteur d’une colonne du liquide :
H = C
g. (7.1)
Alors que l’´equation de Bernoulli s’applique aux ´ecoulements en fluide parfait, les fluides r´eels sont visqueux et les ´ecoulements sont souvent non uniformes. Par cons´equent, pour l’´ecoulement dans une conduite on utilise la vitesse moyenne U calcul´e `a partir du d´ebit volumique Q divis´e par la section S : U =Q/S.
De plus, dans un ´ecoulement permanent le fluide perd d’´energie pour vaincre les forces de frottement interne (viscosit´e/turbulence) ce qui conduit `a une chute de pression appel´ee perte de charge. Il est commode d’appeler la perte de charge li´ee `a la longueur et la rugosit´e de la conduite ainsi qu’`a la viscosit´e, perte de charge ”lin´eaire” (ou ”lin´eique”) our´eguli`ere Hr. Quand les pertes de charge sont dues aux formes g´eom´etriques de canalisation (coude, t´es, ´elargissement ou contraction brusque, cˆones, joints, clapets, passage `a travers une grille, vanne, robinet, ...) on les appelle perte de charge singuli`ere, Hs.
7.1.1. Coefficient de perte de charge. En g´en´erale et dans la pluspart des cas on trouve exp´erimentalement que les pertes de charge sont proportionnelle au carr´ee de la vitesse moyenne U et s’expriment sous la forme :
(Hr+Hs) =KU2
2g. (7.2)
7.1.2. Lignes de charges : repr´esentation graphique. Pour interpr´eter graphique-ment l’´equation de Bernoulli on pose p∗ = p+ρg qui repr´esente l’´energie potentielle par unit´e de volume dans le champs de pesanteur, g, en presence de la pression p; il s’agit de la charge obtenue au repos. C’est pourquoi on appelle p∗/ρg charge pi´ezometriqueou ligne pi´ezometriqueen dans lequel p/(ρg) repr´esente la charge due `a la pression et z la charge potentielle.
000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111111111111111111 111111111111111111111111111111111111111111111111111 111111111111111111111111111111111111111111111111111
H~
~p1/ρ
~p2/ρ
~p/ρ
~v2/2g
~v21/2g
~v22/2g
plan de charge; ligne de charge totale
plan de r´ef´erence ligne moyenne ligne pi´ezometrique
Canalisation
~z
~z1
~z1
Figure 7.1. Repr´esantation graphique de charge d’un ´ecoulement dans une conduite.
Figure 7.2. Repr´esantation graphique de charge d’un ´ecoulement `a surface libre.
7.2. ´Equation de la conservation d’´energie
7.2.1. Premier principe de la thermodynamique. Le premier principe de la ther-modynamique affirme que pour un syst`eme ferm´e :
dQ+ dW = dE (7.3)
7.2 ´Equation de la conservation d’´energie 75
~n ~v
dS
Surface de contrˆole, S, d´elimitant le volume de contrˆole V
Figure 7.3. Volume de contrˆoleV C d´elimit´e par la surface de contrˆole SC.
o`u dQ est la chaleur re¸cue par un syst`eme thermodynamique, dW le travail fait par le syst`eme (d’o`u le signe negatif) et dE est le changement dans l’´energie du syst`eme en mou-vement. On peut utiliser ce principe pour ´ecrire l’´equation de la consevation d’´energie pour un fluide en ´ecoulement. En suivant une masse (et donc un syst`eme ferm´e), m, de fluide lors de son mouvement, le premier principe conduit `a
dQ
dt + dW
dt = dE
dt (7.4)
On suppose que le syst`eme thermodynamique est constitu´e de la masse m du fluide qui, `a l’instantto, est contenue dans la volume de controleV C, d´elimit´e par la surface de contrˆole Sc.
Sie d´esigne l’´energie par unit´e de masse, on a alors : Esyst`em =
Z
syst`eme
e dm = Z
syst`eme
e ρdV (7.5)
avec
e= 1
2v2
´ |{z}
Energie cin´etique
+ u
|{z}
Energie interne´
+ gz
|{z}
Energie potentielle´
(7.6)
o`u u est l’´energie interne du syst`eme par unit´e de masse. Notons qu’en g´en´erale e inclue toutes les formes d’´energie.
7.2.2. Deuxi`eme principe de la thermodynamique. Alors que le premier principe de la thermodynamique affirme la consevation de l’´energie mais sans imposer des conditions sur les types d’´echanges possibles ou sur le sens de l’´evolution, le deuxi`eme principe permet de pr´evoire l’´evoultion de syst`eme. Ce principe pose la fondation pour le sens de transfor-mation thermodynamique. Si d ˆS d´esigne le changement de l’entropie du syst`eme ˆS et dQ
la quantit´e de chaleur ´echang´ee `a la temp´erature T, le deuxi`eme principe affirme que
d ˆS ≥ dQ
T (7.7)
L’´equation d’´energie, de la conservation de masse et de quantit´e de mouvement sont `a completer par l’´equation d’´etat du fluide qui s’´ecrit sous la forme
p=p(ρ, T) (7.8)
7.3. L’´equation d’´energie
Pour une masse de fluide en mouvement, dont le volume co¨ıncide avec le volume de contrˆole `a un instant donn´ee, on a selon le th´eor`eme de transport de courant (B.1) :
dE dt = ∂
∂t Z
V C
eρdV + Z
SC
eρ (~v ·~n) dS = dQ
dt +dW
dt (7.9)
La quantit´e du travail re¸cue par un fluide contenu dans un volume mat´eriel (en l’occurrence le volume de contrˆole, V C) par unit´e de temps est constitu´e de la contribution des forces de contraintes
Ws= Z
Sc
~v·(−→−→σ ·~n) dS= Z
V C∇ ·(~v·−→−→σ) dV.
La contribution de contraintes de cisaillement est, en g´en´eral, petite et par cons´equence n´egligeable par rapport au travail fait par la force de pression, ˙Wp, donn´e par
d ˙Wp =−p~v·~ndS =−pvndS (7.10) et par cons´equent
W˙p =− Z
SC
pvndS (7.11)
La chaleurQapport´ee au fluide peut ˆetre seulement importante dans les ´ecoulements avec de transfert thermique. De travail peut ˆetre aussi apport´e au fluide par des machines externes dont la contribution nous notons par ˙Wm par unit´e de temps.
7.4 ´Equation de Bernoulli : ´equation de l’´energie 77 L’´equation d’´energie s’´ecrit alors
Q˙ + ˙Wm+ ˙Wp = ∂
Supposons maintenant que le volume de contrˆole est un tube de courant et les grandeurs comme la densit´e, la vitesse, la pression et d’autres variables sont uniformes `a travers toute section du tube ou sont des valeurs moyennes. Alors, on peut ´ecrire pour un ´ecoulement permanent o`u,ici , S repr´esente la section du tube de courant.
La continuit´e impose (ρvS)1 = (ρvS)2 = ˙m Ainsi, en fonction de valeurs intensives q= ˙Q/m,˙ wm = ˙Wm/m, l’´equation (7.13) s’´ecrit sous la forme˙
7.4. ´Equation de Bernoulli : ´equation de l’´energie
Dans un ´ecoulement incompressible non–visqueux et permanent l’´energie est conserv´ee le long de toute ligne de courant :
1
Travail fait par les|{z}
forces de pression
Dans cette ´equation le fluide est suppos´e parfait et dans cet optique la vitesse est suppos´e uniforme. Mais dans la pratique les fluides r´eels sont visqueux ce qui rend la r´epartition de
vitesse `a travers une section S non uniforme. Pour tenir compte de cette r´epartition une correction de l’´energie cin´etique est effectu´ee.
Z
S
(1
2ρv2)(~v·~n)dS
| {z }
Flux de l’´energie cin´etique `a traversS
=α(ρUS)U2
2 (7.15)
o`uU est la vitesse moyenne `a travers S . On appelle α coefficient de correction de l’´energie cin´etique; α varie donc d’une section `a une autre. Rappelons que pour un ´ecoulement `a un d´ebit constant il est commode en pratique d’´ecrire
v2 2g + p
ρg +z
1
= v2
2g + p ρg +z
2
+Hfrottement−Hpompe+Hturbine (7.16)
CHAPITRE 8