Dans la cin´ematique des fluides on s’int´eresse au mouvement des fluides ind´ependamment des forces qui le produisent et maintiennent. En m´ecanique du solideind´eformablela vitesse
−
→v p `a tout point mat´erielP est d´etermin´e d`es que l’on dispose du vecteur rotation instantan´e
−
→Ω et le vecteur vitesse −→v o en un point quelconque, O :
−
→v p =−→v o+−→Ω ∧−→OP (2.1) En fluide, par contre, le probl`eme est plus compliqu´e mais le mouvement reste, n´eanmoins, calculable pourvu que deux ´el´ements fluides ne peuvent occuper la mˆeme position au mˆeme instant.
Pour fixer les id´ees nous consid´erons un ´el´ement fluide infinit´esimalement petit d´enomm´e une particule fluide. La vitesse relative de toute partie de cet ´el´ement est n´egligeable car toute particule fluide est assimil´ee `a un point g´eom´etrique.
En g´en´eral, la vitesse d’une particule fluide est une fonction de temps t et de ces coor-donn´ees en P(x1, x2, x3). On distingue deux cas simples de mouvement
:-(a) Un mouvement permanent dans lequel la vitesse `a tout instant, en tout point P fixe dans l’espace, ne d´epend que de ses coordonn´ees.
(b) Un mouvement est dit uniforme `a un instant donn´e lorsque toutes les particules ont la mˆeme la vitesse. Un mouvement uniforme pourrait aussi ˆetre permanent.
Notons que pour le cas (a), un mouvement qui est permanent relativement `a un rep`ere donn´e pourrait ˆetre non–permanent par rapport `a un autre rep`ere.
2.1. Vitesse et Trajectoire de Particule Soit −−−→
v(~r, t) la vitesse d’une particule fluide dont le vecteur position, `a l’instant t, est ~r par rapport un r´ef´erentiel galil´een. La vitesse de particule, d´efinie par
d~r
dt =−−−→
v(~r, t), (2.2)
fournit sa trajectoire `a tout autre instant t. On d´esignera par (x0, y0, z0) la position de particule `a l’instant t= 0.
Pour mettre en valeur certaines notions n´ecessaire pour la description du mouvement, nous commen¸cons par l’examen de quelques exemples.
2.1.1. Exemples de trajectoires.
(1) ~v = (ay,−ax,0), a∈R.
La trajectoire de particule est donn´ee par dx
dt =ay, dy
dt =−ax,dz dt = 0.
Il est imm´ediat que les premi`eres deux ´equations se r´eduisent soit `a dy
La solution de ce syst`eme est :
En ´eliminant t on trouve
x2+y2 = x20+y20 = constante, z = z0,
ce qui montre que la trajectoire est un cercle dans le planez =z0. Exercice : Traitez l’exemple pr´ec´edent en coordonn´ees cylindriques.
(2) ~v = (ay,−a(x−bt),0), (a, b)∈R
La trajectoire est d´efinie par les ´equations diff´erentielles
qui se r´eduisent `a
La solution de la premi`ere ´equation nous permet d’en d´eduire celle de la deuxi`eme :
La trajectoire est donc un mouvement circulaire du rayon [(y0−b/a)2+x20]1/2 centr´e en (bt, b/a, z0).
2.1 Vitesse et Trajectoire de Particule 25
O x
y
Exemple 3 Exemple 1
(3) ~v = (a(t)x,−a(t)y,0)
La trajectoire a pour ´equations
dx
dt = a(t)x, dy
dt = a(t)y, dz
dt = 0.
Les deux premi`eres ´equations nous permettent de calculer dy/dx : dy
dx =−y/x,
dont la solution est : xy = constante, et z =z0 comme avant. La variation de x et dey au cours du temps est :
x=x0exp{A(t)}, y=y0exp{−A(t)} o`uA(0) = 0 et dA/dt=a(t).
2.1.2. D´efinitions. Les trois exemples pr´ec´edents nous permettent d’introduire quelques d´efinitions.
2.1.2.1. Ecoulement bidimensionnel.´ Dans un syst`eme appropri´e de coordonn´ees on peut exprimer pour un ´ecoulement donn´e, les composantes de vitesse vx et vy ind´ependamment de z avec vz = 0; les autres variables, telles que la masse volumique, la temp´erature et la pression, sont aussi suppos´ees ind´ependantes de z. Les trois exercices pr´ec´edents d´ecrits des ´ecoulements bidimensionnels pour le champs de vitesse. En pratique, il n’existe pas d’´ecoulement qui sont exactement bidimensionnels, mais avec un dessin exp´erimental soigneusement con¸cu, on peut arriver `a une approximation satisfaisante. Notons aussi que certain ´ecoulements naturels peuvent ˆetre suppos´es bidimensionnels.
2.1.2.2. Ecoulement permanent, dit stationnaire.´ Dans un tel ´ecoulement la vitesse, la masse volumique ainsi que les autres grandeurs physiques, sont ind´ependantes de t.
L’´ecoulement d´ecrit par l’exemple (1) est stationnaire pour la vitesse. Par contre, ceux des exemples (2) et (3) ne sont pas stationnaires.
◮ Remarque 2.1 : Dans un ´ecoulement stationnaire, la position d’une particule fluide d´epend dut. Il en est du mˆeme pour un ´ecoulementinstationnaire. Des ´ecoulements stationnaires peuvent ˆetre r´ealis´es exp´erimentalement, et sont math´ematiquement moins difficile `a ´etudier. ◭ 2.1.2.3. Un point d’arrˆet. On appel un point d’arrˆet tout point o`u ~v = ~0. Dans les exemples (1)-(3) les points (0,0, z) sont des points d’arrˆet.
2.1.2.4. Description Eul´erienne. La vitesse −→v (~r, t) en un point fixe de l’espace varie au cours du temps t. ´Evidemment cela correspond aux arrangements exp´erimentaux utilis´es au laboratoire o`u les appareils de mesures sont fixes, c’est-`a-dire y li´es au mˆeme sens que le laboratoire au r´ef´erentiel galil´een. Dans cette description la vitesse est une fonction de la position de mesure et du temps, c’est-`a-dire (~r, t) :
On appel (~r, t) les variables d’Euler.
Par ailleurs, il est parfois utile de suivre une particule fluide dans son mouvement pour pouvoir connaˆıtre ce qui aurait lieu dans son voisinage; par exemple dans l’´ecoulement at-mosph´erique, on s’int´eresse plutˆot `a l’histoire d’une masse d’air au cours de son mouvement pour pouvoire estimer s’il y aurait de pluie ou de neige (par exemple), qu’`a la s´equence des masses d’air qui passent sur un point de mesure m´et´eorologique. Et cela est en d´epit du fait que tout les deux sont li´es. Cela nous am`ene `a la description Lagrangienne.
2.1.2.5. Description Lagrangienne. Dans cette description on s’int´eresse aux grandeurs physiques associ´ees `a une particule donn´ee au cours de son mouvement. Ainsi, la vitesse est exprim´ee par
−
→v (−→r(−→r0, t), t)≡ −→v(−→r0, t)
o`u−→r0 est la position de la particule `a l’instantt= 0. La description lagrangienne est difficile car on doit suivre toutes les particules dans leurs mouvements, mais il est souvent fructueux de consid´erer l’histoire de vie de particule fluide afin de comprendre l’´ecoulement. Dans l’atmosph`ere on utilise un ballon-sonde pour l’acquissions de donn´ees type Lagrangiennes, tandis que dans les courants estuariens on utilise de sondes flottants.
On appel (−→r0, t) les variables de Lagrange.
Consid´erons l’exemple (3) avec a(t) = constante. La trajectoire de particule, dans ce cas, est
x=x0eat, y =y0e−at, z =z0
ce qui est une description Lagrangienne car elle d´epend de la position initiale. Pour calculer la vitesse en coordonn´ees Lagrangienne on cherche la d´eriv´ee par rapport au temps t avec
−
→r0 = (x0, y0, z0) fixe car il s’agit de la mˆeme particule :
~v = ∂~r
∂t
−
→r0
= (ax0eat,−ay0e−at,0).
Maintenant, consid´erons l’acc´el´eration :
(i) Description Lagrangienne : (∂~v/∂t)−→r0 = (a2x0eat, a2y0e−at,0) =a2~r;
(ii) Description Eul´erienne : (∂~v/∂t)~r = ~0 car ~v = (ax,−ay,0) ne contient pas t explicitement.
2.1 Vitesse et Trajectoire de Particule 27 Il est imm´ediat que ‘la particule s’acc´el`ere, mais le courant, lui mˆeme, demeure `a vitesse constante’. Par exemple, consid`ere une pi`ece de bois (un rondin) emport´ee par le courant d’un rivi`ere ayant une section rapide : la pi`ece s’acc´el`ere d´es qu’elle entre dans la section rapide. D’une mani`ere approch´ee, ce comportement repr´esente une acc´el´eration Lagrang-ienne car on suit le rondin, la ‘particule’, dans son mouvement. Mais un observateur se trouvant au bord du rivi`ere verrait une succession de rondins passant devant lui `a la mˆeme vitesse, simplement parce que le courant, dans sa totalit´e, ne s’acc´el`ere pas : l’acc´el´eration Eul´erienne `a un point fixe,en ce qui concerne cet exemple, est `egale `a z´ero.
2.1.3. Lignes de courant. Tubes de courant. Pour visualiser un ´ecoulement donn´e, supposez qu’il existe un nombre important de particules marqu´ees d’une mani`ere appro-pri´ee : prenez deux photos `a deux instants successifs s´epar´e par un petit intervalle, et puis les superposez l’une sur l’autre. Il vous est possible maintenant de dessiner une fl`eche liant la premi`ere et deuxi`eme position de chaque particule. Cet ensemble des fl`eches indique alors un ensemble de courbes appel´eeslignes de courants, qui sont diff´erentes detrajectoires. Pour tracer ces derni`eres on a besoin d’un grand intervalle du temps; pour cela on pourrait faire un filme permettant de suivre les particules dans leur mouvement. Pourtant, dans le cas d’un ´ecoulement permanent (stationnaire), les deux courbes se confondent.
2.1.3.1. D´efinitions. A` un instantt0 fixe, on appelleligne de couranttoute courbe dont la tangente en chacun de ses points est parall`ele au vecteur vitesse. La tangente en (x1, x2, x3) est parall`ele `a d~x = (dx1,dx2,dx3). Alors, si~v = (v1, v2, v3) d´enote le vecteur vitesse en ce point, on tire alors que d~x∧~v =~0, soit
dx1
v1(x1, x2, x3, t0) = dx2
v2(x1, x2, x3, t0) = dx3
v3(x1, x2, x3, t0). (2.3) Les lignes de courant sont fournies par ces ´equations. Puisque la vitesse en un point donn´e
tube de courant
lignes lignes
de courant d’´emission
MM11′ M2 M3 M2′
M3′
P
c(t) c(t′) trajectoires
z }| {
Figure 2.1. Tube de courant, trajectoires, lignes d’´emission
change en g´en´eral avec le temps, il vient alors que les lignes de courant, elles aussi, changent avec le temps.
Soit C une courbe trac´ee dans le milieu fluide. On appelle surface de courant la surface engendr´ee par les lignes de courant qui s’appuient surC, si elles existent. Dans le cas ou C est une courbe ferm´ee, on appelle une telle surface tube de courant.
On appelle lignes d’´emission les courbe trac´ees, `a l’instant t, par toutes les particules qui ont pass´e par un point P.
On appelletrajectoirele lieu des positions successives d’une particule au cours du temps : dx1
v1(x1, x2, x3, t) = dx2
v2(x1, x2, x3, t) = dx3
v3(x1, x2, x3, t) = dt. (2.4) L’int´egration de (2.4) fait apparaˆıtretrois constantesqui sont d´etermin´ees par identifiant la particule en question en se donnant sa positions initiale −→r0.
2.2. La d´eriv´ee mat´erielle (ou particulaire)
Dans la description Eul´erienne, la variation d’une fonction scalaire F(~r, t) d´erivable au cours du temps est constitu´ee de deux parties : une variation locale li´ee `a la position o`u se trouve la particule `a l’instant donn´e, et une variation provenant de son mouvement en espace. Soit ~r la position de la particule `a l’instant t et ~r+△~r celle `a l’instant t+△t.
Notons la limite du taux de variation de la fonction F par dF/dt. Alors : dF
due `a la convection
(2.5)
On appelle la d´eriv´ee (2.5)d´eriv´ee mat´erielleoud´eriv´ee particulairecar il s’agit de la d´eriv´ee associ´ee `a une particule lors de son mouvementnt.
Pour ´etend la notion de d´eriv´ee mat´erielle `a une fonction vectorielle, il suffit d’appliquer la formule (2.5) aux trois composantes de cette fonction.
Appliquions cette formule `a l’acc´el´eration~γ = (γ1, γ2, γ3). Par d´efinition on a
2.2 La d´eriv´ee mat´erielle (ou particulaire) 29
qui est la d´eriv´ee mat´erielle de~v. D’apr`es (2.5) on trouve pour les composantes : γ1, γ2, γ3 : γ1 = ∂v1
∂t +v1
∂v1
∂x1
+v2
∂v1
∂x2
+v3
∂v1
∂x3
, (2.6a)
γ2 = ∂v2
∂t +v1
∂v2
∂x1
+v2
∂v2
∂x2
+v3
∂v2
∂x3
, (2.6b)
γ3 = ∂v3
∂t +v1
∂v3
∂x1 +v2
∂v3
∂x2 +v3
∂v3
∂x3. (2.6c)
Avec la convention de la sommation sur l’indice r´ep´et´e on peut ´ecrire (i= 1,2,3) : γj = ∂vj
∂t +vi
∂vj
∂xi
. (2.7a)
La formule (2.6) peut s’´ecrire sous la forme vectorielle
~γ = ∂~v
∂t +~v· ∇~v, (2.7b)
ou
~γ = ∂~v
∂t + rot~v×~v+∇ 1
2~v2
, (2.7c)
dite expression de Helmholtz, o`u l’op´erateur ∇=−−→grad.
CHAPITRE 3