Chapitre 1: PROBLÉMATIQUE
1.3. CONTEXTE PARTICULIER BENINOIS DE LA PRESENTE RECHERCHE
1.3.2 Environnement béninois de l’enseignement secondaire
Anak¨utle ortalamasını tahmin etmek i¸cin n g¨ozlemli bir rassal
¨
orneklemde nokta t.e. olarak bu ¨orneklem de˘gerlerinden sadece birini, mesela X1, kullandı˘gımızı d¨u¸s¨unelim. Bu durumda
¨
orneklem bilgisinin tamamının kullanılmadı˘gına dikkat edin.
Bu tahmin edicinin sapmasız oldu˘gunu ancak ¨orneklem ortalamasına g¨ore varyansının ¸cok b¨uy¨uk oldu˘gunu daha ¨once g¨orm¨u¸st¨uk. ¨Orneklemin boyutu ne olursa olsun bu tahmin edicinin varyansı de˘gi¸smeyecektir.
C¸ o˘gu durumda g¨ozlem sayısı n arttık¸ca tahmin s¨urecinin daha iyi sonu¸clar vermesini bekleriz.
Orne˘¨ gin,n b¨uy¨urken,X’ın varyansı k¨u¸c¨ul¨ur, b¨oylece µ’ya belli bir hızda yakla¸sır.X1 gibi bir t.e. isen b¨uy¨ud¨uk¸ce de˘gi¸smez.
X1 gibi aptalca tahmin edicileri bunların asimptotik
¨
ozelliklerini inceleyerek eleyebiliriz.
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 35
OZELL˙IKLER˙I ¨
Anak¨utle ortalamasını tahmin etmek i¸cin n g¨ozlemli bir rassal
¨
orneklemde nokta t.e. olarak bu ¨orneklem de˘gerlerinden sadece birini, mesela X1, kullandı˘gımızı d¨u¸s¨unelim. Bu durumda
¨
orneklem bilgisinin tamamının kullanılmadı˘gına dikkat edin.
Bu tahmin edicinin sapmasız oldu˘gunu ancak ¨orneklem ortalamasına g¨ore varyansının ¸cok b¨uy¨uk oldu˘gunu daha ¨once g¨orm¨u¸st¨uk. ¨Orneklemin boyutu ne olursa olsun bu tahmin edicinin varyansı de˘gi¸smeyecektir.
C¸ o˘gu durumda g¨ozlem sayısı n arttık¸ca tahmin s¨urecinin daha iyi sonu¸clar vermesini bekleriz.
Orne˘¨ gin,n b¨uy¨urken,X’ın varyansı k¨u¸c¨ul¨ur, b¨oylece µ’ya belli bir hızda yakla¸sır.X1 gibi bir t.e. isen b¨uy¨ud¨uk¸ce de˘gi¸smez.
X1 gibi aptalca tahmin edicileri bunların asimptotik
¨
ozelliklerini inceleyerek eleyebiliriz.
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 35
OZELL˙IKLER˙I ¨
Anak¨utle ortalamasını tahmin etmek i¸cin n g¨ozlemli bir rassal
¨
orneklemde nokta t.e. olarak bu ¨orneklem de˘gerlerinden sadece birini, mesela X1, kullandı˘gımızı d¨u¸s¨unelim. Bu durumda
¨
orneklem bilgisinin tamamının kullanılmadı˘gına dikkat edin.
Bu tahmin edicinin sapmasız oldu˘gunu ancak ¨orneklem ortalamasına g¨ore varyansının ¸cok b¨uy¨uk oldu˘gunu daha ¨once g¨orm¨u¸st¨uk. ¨Orneklemin boyutu ne olursa olsun bu tahmin edicinin varyansı de˘gi¸smeyecektir.
C¸ o˘gu durumda g¨ozlem sayısı n arttık¸ca tahmin s¨urecinin daha iyi sonu¸clar vermesini bekleriz.
Orne˘¨ gin,n b¨uy¨urken,X’ın varyansı k¨u¸c¨ul¨ur, b¨oylece µ’ya belli bir hızda yakla¸sır.X1 gibi bir t.e. isen b¨uy¨ud¨uk¸ce de˘gi¸smez.
X1 gibi aptalca tahmin edicileri bunların asimptotik
¨
ozelliklerini inceleyerek eleyebiliriz.
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 35
OZELL˙IKLER˙I ¨
Anak¨utle ortalamasını tahmin etmek i¸cin n g¨ozlemli bir rassal
¨
orneklemde nokta t.e. olarak bu ¨orneklem de˘gerlerinden sadece birini, mesela X1, kullandı˘gımızı d¨u¸s¨unelim. Bu durumda
¨
orneklem bilgisinin tamamının kullanılmadı˘gına dikkat edin.
Bu tahmin edicinin sapmasız oldu˘gunu ancak ¨orneklem ortalamasına g¨ore varyansının ¸cok b¨uy¨uk oldu˘gunu daha ¨once g¨orm¨u¸st¨uk. ¨Orneklemin boyutu ne olursa olsun bu tahmin edicinin varyansı de˘gi¸smeyecektir.
C¸ o˘gu durumda g¨ozlem sayısı n arttık¸ca tahmin s¨urecinin daha iyi sonu¸clar vermesini bekleriz.
Orne˘¨ gin,n b¨uy¨urken,X’ın varyansı k¨u¸c¨ul¨ur, b¨oylece µ’ya belli bir hızda yakla¸sır.X1 gibi bir t.e. isen b¨uy¨ud¨uk¸ce de˘gi¸smez.
X1 gibi aptalca tahmin edicileri bunların asimptotik
¨
ozelliklerini inceleyerek eleyebiliriz.
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 35
OZELL˙IKLER˙I ¨
Anak¨utle ortalamasını tahmin etmek i¸cin n g¨ozlemli bir rassal
¨
orneklemde nokta t.e. olarak bu ¨orneklem de˘gerlerinden sadece birini, mesela X1, kullandı˘gımızı d¨u¸s¨unelim. Bu durumda
¨
orneklem bilgisinin tamamının kullanılmadı˘gına dikkat edin.
Bu tahmin edicinin sapmasız oldu˘gunu ancak ¨orneklem ortalamasına g¨ore varyansının ¸cok b¨uy¨uk oldu˘gunu daha ¨once g¨orm¨u¸st¨uk. ¨Orneklemin boyutu ne olursa olsun bu tahmin edicinin varyansı de˘gi¸smeyecektir.
C¸ o˘gu durumda g¨ozlem sayısı n arttık¸ca tahmin s¨urecinin daha iyi sonu¸clar vermesini bekleriz.
Orne˘¨ gin,n b¨uy¨urken,X’ın varyansı k¨u¸c¨ul¨ur, b¨oylece µ’ya belli bir hızda yakla¸sır.X1 gibi bir t.e. isen b¨uy¨ud¨uk¸ce de˘gi¸smez.
X1 gibi aptalca tahmin edicileri bunların asimptotik
¨
ozelliklerini inceleyerek eleyebiliriz.
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 35
OZELL˙IKLER˙I ¨
Asimpototik ¨ozelliklerin incelenme nedenlerinden biri de, bazı durumlarda tahmin edicilerin k¨u¸c¨uk ¨orneklem ¨ozelliklerinin a¸cık¸ca ifade edilememesidir.
B¨oyle bir durumda, tahmin ediciler arasında sapmasızlık ve etkinlik bakımından kar¸sıla¸stırma yapmak olanaklı olmaz.
C¸ o˘gu durumda tahmin edicilerin ¨orneklem b¨uy¨ukl¨u˘g¨u artarken (n sonsuza giderken)ki davranı¸slarını incelemek daha kolay olabilir.
Asimptotik ¨ozellikler: tutarlılık, asimptotik etkinlik
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 36
OZELL˙IKLER˙I ¨
Asimpototik ¨ozelliklerin incelenme nedenlerinden biri de, bazı durumlarda tahmin edicilerin k¨u¸c¨uk ¨orneklem ¨ozelliklerinin a¸cık¸ca ifade edilememesidir.
B¨oyle bir durumda, tahmin ediciler arasında sapmasızlık ve etkinlik bakımından kar¸sıla¸stırma yapmak olanaklı olmaz.
C¸ o˘gu durumda tahmin edicilerin ¨orneklem b¨uy¨ukl¨u˘g¨u artarken (n sonsuza giderken)ki davranı¸slarını incelemek daha kolay olabilir.
Asimptotik ¨ozellikler: tutarlılık, asimptotik etkinlik
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 36
OZELL˙IKLER˙I ¨
Asimpototik ¨ozelliklerin incelenme nedenlerinden biri de, bazı durumlarda tahmin edicilerin k¨u¸c¨uk ¨orneklem ¨ozelliklerinin a¸cık¸ca ifade edilememesidir.
B¨oyle bir durumda, tahmin ediciler arasında sapmasızlık ve etkinlik bakımından kar¸sıla¸stırma yapmak olanaklı olmaz.
C¸ o˘gu durumda tahmin edicilerin ¨orneklem b¨uy¨ukl¨u˘g¨u artarken (n sonsuza giderken)ki davranı¸slarını incelemek daha kolay olabilir.
Asimptotik ¨ozellikler: tutarlılık, asimptotik etkinlik
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 36
OZELL˙IKLER˙I ¨
Asimpototik ¨ozelliklerin incelenme nedenlerinden biri de, bazı durumlarda tahmin edicilerin k¨u¸c¨uk ¨orneklem ¨ozelliklerinin a¸cık¸ca ifade edilememesidir.
B¨oyle bir durumda, tahmin ediciler arasında sapmasızlık ve etkinlik bakımından kar¸sıla¸stırma yapmak olanaklı olmaz.
C¸ o˘gu durumda tahmin edicilerin ¨orneklem b¨uy¨ukl¨u˘g¨u artarken (n sonsuza giderken)ki davranı¸slarını incelemek daha kolay olabilir.
Asimptotik ¨ozellikler: tutarlılık, asimptotik etkinlik
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 36
Tanım: ˙Ilgilendi˘gimiz bilinmeyen populasyon parametresiθ olan bir anak¨utleden ¸cekilmi¸sn boyutlu bir rassal ¨orneklemX1, X2, . . . , Xn
olsun. Bu rassal ¨ornekleme dayanarakθ’nın ˆθn gibi bir t.e.
tanımlanıyor. ˙Istedi˘gimiz kadar k¨u¸c¨uk se¸cebilece˘gimiz her > 0 de˘geri i¸cin ko¸sulu sa˘glanıyorsa ˆθn,θ’nın tutarlı bir tahmin edicisidir. Bu ko¸sul sa˘glandı˘gında θ, ˆθn’nın olasılık limitidir denir ve kısaca ¸s¨oyle g¨osterilir:
plim(ˆθn) = θ
θˆn’nın ¨ornekleme da˘gılımı b¨uy¨uk ¨orneklemlerde (n sonsuza giderken) bilinmeyen anak¨utle parametre de˘geriθ etrafında
yo˘gunla¸sır. Tutarlı bir tahmin edici i¸cin, n b¨uy¨urken do˘gru anak¨utle de˘gerinden uzakla¸sma olasılı˘gı azalır, limitte sıfır olur.
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 37
Law of Large Numbers:X1, X2, . . . , Xn ortalaması µ, varyansı σ2 olan bir anak¨utleden ¸cekilmi¸s rassal bir ¨orneklem (iid) olsun. B¨uy¨uk sayılar yasasına g¨ore
plim(Xn) = plim 1
V ar(Xn) limitte sıfıra yakınsadı˘gından ¨orneklem ortalaması limitte beklenti de˘geri olan µ’ya yakınsar. G¨ozlem sayısı arttık¸ca X’lerin anak¨utle ortalaması hakkında daha fazla bilgi toplanmı¸s olur.
Sonu¸cta bireysel olarakX’lerdeki rassallık ortadan kalkar ve
¨
orneklem ortalaması pop¨ulasyon ortalamasına yakınsar.Bunun ger¸cekle¸sebilmesi i¸cin i.i.d. varsayımı yeterlidir.n b¨uy¨ud¨uk¸ce varyansları k¨u¸c¨ulen (limitte sıfır olan) t.e. tutarlıdır.
Tutarlılık ¨ozelli˘gini sa˘glamayan tahmin edicilere tutarsız (inconsistent) t.e. denir. E˘ger bir t.e. tutarsız ise sonsuz sayıda
¨
orneklem de˘gerleri olsa bile anak¨utle parametresi hakkında bilgi sahibi olmamıza imkan tanımaz.
Tutarlı bir tahmin edici sapmalı olabilece˘gi gibi tersi de do˘gru olabilir.
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 38
Bir tahmin edicinin tutarlı olabilmesi i¸cin a¸sa˘gıdaki iki ko¸sulu sa˘glaması yeterlidir:
1. lim
n→∞E(ˆθn) = θ 2. lim
n→∞V ar(ˆθn) = 0
Birinci ko¸sula g¨ore, g¨ozlem sayısı arttık¸ca tahmin edicinin beklenen de˘geri limitte bilinmeyen do˘gru de˘gere yakınsar. Bir ba¸ska deyi¸slen sonsuza giderken sapma sıfıra yakınsar.
˙Ikinci ko¸sula g¨ore, g¨ozlem sayısı arttık¸ca anak¨utle parametresinin do˘gru de˘geri ¸cevresindeki de˘gi¸skenlik azalır, limitte sıfır olur. E˘ger bu ko¸sul sa˘glanmıyorsa, diyelim ki g¨ozlem sayısı arttık¸ca tahmin edicinin varyansı artıyor ya da sabit kalıyorsa tutarlılık sa˘glanmaz.
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 39
ORNEK: Ortalaması¨ µ, varyansı σ2olan bir populasyondann boyutlu bir ¨orneklem ¸cekilmi¸stir:X1, X2, . . . , Xn. ¨Orneklem ortalamasıXn’ın yanı sıra a¸sa˘gıdaki tahmin ediciler tanımlanıyor:
ˆ
Bu tahmin edicilerin sapmasız ve tutarlı olup olmadıklarını g¨osterin.
Birinci tahmin edici sapmalı ancak tutarlıdır.
E(ˆµ1n) = E 1
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 40
ORNEK: ˙Ikinci tahmin edici sapmalı ve tutarsızdır:¨ U¸c¨¨ unc¨u tahmin edici sapmasız ve tutarsızdır:
E(ˆµ3n) = 0.01E(X1)+ 0.99
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 41
ORNEK: Anak¨¨ utle varyansı σ2’yi tahmin etmek i¸cin a¸sa˘gıdaki iki
σ2’nın sapmalı oldu˘gunu g¨ostermi¸stik. Acaba tutarlı mı? Bunu g¨ormek i¸cinn sonsuza giderken sapmanın sıfıra, varyansın da sıfıra yakınsadı˘gını g¨ostermek yeterlidir:
n −→ ∞,
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 42
Konuyu daha iyi anlamak i¸cin bilgisayarda ¸su Monte Carlo deneyini yapalım: Uniform(0,1) da˘gılımına uyan anak¨utledenn boyutlu rassal ¨orneklemler ¸cekti˘gimizi ve her ¨orneklem i¸cin a¸sa˘gıdaki t.e.
de˘gerlerini hesapladı˘gımızı d¨u¸s¨unelim.
ˆ
Orneklem b¨¨ uy¨ukl¨uklerini ¸su ¸sekilde belirleyelim:
n = {2, 5, 10, 15, 20, 50, 100, 1000, 5000, 10000}. Bu deneyi her bir
¨
orneklem i¸cin 10000 kere tekrarlayalım. Her ¨orneklem b¨uy¨ukl¨u˘g¨u i¸cin bu 10000 sayının ortalamasını ve varyansını hesaplayalım.
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 43
n = [2 5 10 15 20 50 100 1000 5000 10000]’;
N = 10000;
for i=1:N
for j=1:length(n);
x = rand(n(j),1);
xbar = mean(x);
ssqdev = sum((x-xbar).^2);
sigmahat2(i,j) = ssqdev/n(j);
s2(i,j) = ssqdev/(n(j)-1);
end end
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 44
Yaniσˆ sapmalı, s ise sapmasız bir tahmin ediciydi. Bu iki tahmin edicinin varyansları:
V ar(ˆσ2) = 2(n − 1)σ4
n2 , V ar(s2) = 2σ4 n − 1 G¨or¨uld¨u˘g¨u gibiσˆ2,s2’den daha etkin bir tahmin edici ancak sapmalı.s2 ise sapmasız fakat ¨ozellikle k¨u¸c¨uk ¨orneklemlerde di˘ger t.e.ye g¨ore daha b¨uy¨uk varyanslıdır. Ayrıca, ortalama hata kareleri:
M SE(ˆσ2) = (2n − 1)
n2 σ4, M SE(s2) = 2 n − 1σ4
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 45
¨
ozellikleri teorik olarak ¸s¨oyle hesaplanabilir:
n n−1n (n−1)σn 2 −σn2 2(n−1)σn2 4 2σ4
n−1
2 0.500000000 0.041666667 -0.041666667 0.000024113 0.000096451 5 0.800000000 0.066666667 -0.016666667 0.000015432 0.000024113 10 0.900000000 0.075000000 -0.008333333 0.000008681 0.000010717 15 0.933333333 0.077777778 -0.005555556 0.000006001 0.000006889 20 0.950000000 0.079166667 -0.004166667 0.000004581 0.000005076 50 0.980000000 0.081666667 -0.001666667 0.000001890 0.000001968 100 0.990000000 0.082500000 -0.000833333 0.000000955 0.000000974 1000 0.999000000 0.083250000 -0.000083333 0.000000096 0.000000097 5000 0.999800000 0.083316667 -0.000016667 0.000000019 0.000000019 10000 0.999900000 0.083325000 -0.000008333 0.000000010 0.000000010
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 46
n σ’in Ort.ˆ s2’nin Ort. Sapma(ˆσ) Sapma(s2) 2 0.0412110 0.0824221 -0.0421223 -0.0009113 5 0.0672237 0.0840296 -0.0161097 0.0006963 10 0.0746397 0.0829330 -0.0086937 -0.0004004 15 0.0779410 0.0835082 -0.0053924 0.0001748 20 0.0794739 0.0836568 -0.0038594 0.0003234 50 0.0817036 0.0833711 -0.0016297 0.0000377 100 0.0825385 0.0833722 -0.0007948 0.0000389 1000 0.0832348 0.0833181 -0.0000986 -0.0000153 5000 0.0832990 0.0833157 -0.0000343 -0.0000176 10000 0.0833205 0.0833289 -0.0000128 -0.0000045
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 47
n V ar(ˆσ) V ar(s2) Fark 2 0.0023832456 0.0095329825 -0.0071497368 5 0.0011553665 0.0018052601 -0.0006498937 10 0.0005573343 0.0006880671 -0.0001307327 15 0.0003806150 0.0004369305 -0.0000563155 20 0.0002934125 0.0003251109 -0.0000316983 50 0.0001116555 0.0001162593 -0.0000046039 100 0.0000551609 0.0000562809 -0.0000011200 1000 0.0000054411 0.0000054520 -0.0000000109 5000 0.0000011273 0.0000011278 -0.0000000005 10000 0.0000005534 0.0000005535 -0.0000000001
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 48
Olasılık Limitinin ¨Ozellikleri: Bir rassal de˘gi¸skenin olasılık limiti g¨ozlem sayısı arttık¸ca r.d.’nin yakınsadı˘gı de˘ger olarak
tanımlanmı¸stı:
plim(Yn) = α
plim’in en ¨onemli ¨ozelli˘gi ¸sudur: Yn’nin herhangi g(Yn) bir do˘grusal olmayan s¨urekli fonksiyonu i¸cin
plimg((Yn)) = g(plim(Yn)) = g(α)
Orne˘¨ gin, ¨orneklem ortalamasının s¨urekli bir fonksiyonu,Xn> 0 i¸cing(Xn) = ln(Xn) olarak tanımlansın. Beklenti operat¨or¨un¨un do˘grusal olmayan fonksiyonlara uygulanamadı˘gını biliyoruz.
E(ln(Xn)) 6= ln(E(Xn)) Ancak Plim kavramını kullanarak
plim(ln(Xn)) = ln(plim(Xn)) = ln(µ) yazabiliriz.
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 49
Olasılık Limitinin ¨Ozellikleri: plim i¸slemini ilgilendi˘gimiz tahmin edicinin s¨urekli ve do˘grusal olmayan fonksiyonları i¸cin de kullanabilece˘gimizi g¨ord¨uk. Daha ¨once ¨orneklem varyansının sapmasız oldu˘gunu g¨ostermi¸stik:
s2n= 1
Bu tahmin edici tutarlıdır: plims2n= σ2. Anak¨utle standart sapmasınınσ tahmin edicisi olarak sn=ps2n tanımlansın. Bu tahmin edici sapmalıdır:
E(sn) 6=pE(s2n)
Ancak plim kavramını kullanarak,n sonsuza giderken plim(sn) =p
plim(s2n) =
√ σ2= σ sn,σ’nın tutarlı bir tahmin edicisidir.
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 50
Olasılık Limitinin ¨Ozellikleri:Yn veWniki tahmin edicisi olsun.
Bunların olasılık limitleri plim(Yn) = α ve plim(Wn) = β olarak tanımlansın. ¨Oyleyse
plim(Yn+ Wn) = plim(Yn) + plim(Wn) = α + β plim(YnWn) = plim(Yn)plim(Wn) = αβ
plim(Yn/Wn) = plim(Yn)/plim(Wn) = α/β
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 51
Olasılık Limitinin ¨Ozellikleri:Yn veWniki tahmin edicisi olsun.
Bunların olasılık limitleri plim(Yn) = α ve plim(Wn) = β olarak tanımlansın. ¨Oyleyse
plim(Yn+ Wn) = plim(Yn) + plim(Wn) = α + β plim(YnWn) = plim(Yn)plim(Wn) = αβ
plim(Yn/Wn) = plim(Yn)/plim(Wn) = α/β
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 51
Olasılık Limitinin ¨Ozellikleri:Yn veWniki tahmin edicisi olsun.
Bunların olasılık limitleri plim(Yn) = α ve plim(Wn) = β olarak tanımlansın. ¨Oyleyse
plim(Yn+ Wn) = plim(Yn) + plim(Wn) = α + β plim(YnWn) = plim(Yn)plim(Wn) = αβ
plim(Yn/Wn) = plim(Yn)/plim(Wn) = α/β
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 51
Bu ¨ozellikler kullanılarak tutarlı t.e.lerin ¸ce¸sitli
fonksiyonlarından hareketle yeni tutarlı t.e.ler t¨uretilebilir.
Orne˘¨ ginY1, Y2, . . . , Yn lise e˘gitimine sahip ¸calı¸sanlardan olu¸san bir anak¨utleden ¸cekilmi¸s yıllık ¨ucretleri ifade eden n boyutlu bir rassal ¨orneklem olsun.Bunların anak¨utle ortalaması µY olsun.
Benzer ¸sekilde,Z1, Z2, . . . , Zn ¨universite e˘gitimine sahip
¸calı¸sanlardan olu¸san bir anak¨utleden ¸cekilmi¸s yıllık ¨ucretleri ifade eden n boyutlu bir rassal ¨orneklem olsun.
Bunların anak¨utle ortalamasına daµZ olsun.
Bu iki grup arasındaki y¨uzde ¨ucret farkınıα = (µZ− µY)/µY, tahmin etmek istedi˘gimizi d¨u¸s¨unelim.
Yn,µY’ın, Zn de, µZ’nin tutarlı bir t.e. oldu˘gundan (Zn− Yn)/Yn,α’nın tutarlı bir t.e.dir.
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 52
Bu ¨ozellikler kullanılarak tutarlı t.e.lerin ¸ce¸sitli
fonksiyonlarından hareketle yeni tutarlı t.e.ler t¨uretilebilir.
Orne˘¨ ginY1, Y2, . . . , Yn lise e˘gitimine sahip ¸calı¸sanlardan olu¸san bir anak¨utleden ¸cekilmi¸s yıllık ¨ucretleri ifade eden n boyutlu bir rassal ¨orneklem olsun.Bunların anak¨utle ortalaması µY olsun.
Benzer ¸sekilde,Z1, Z2, . . . , Zn ¨universite e˘gitimine sahip
¸calı¸sanlardan olu¸san bir anak¨utleden ¸cekilmi¸s yıllık ¨ucretleri ifade eden n boyutlu bir rassal ¨orneklem olsun.
Bunların anak¨utle ortalamasına daµZ olsun.
Bu iki grup arasındaki y¨uzde ¨ucret farkınıα = (µZ− µY)/µY, tahmin etmek istedi˘gimizi d¨u¸s¨unelim.
Yn,µY’ın, Zn de, µZ’nin tutarlı bir t.e. oldu˘gundan (Zn− Yn)/Yn,α’nın tutarlı bir t.e.dir.
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 52
Bu ¨ozellikler kullanılarak tutarlı t.e.lerin ¸ce¸sitli
fonksiyonlarından hareketle yeni tutarlı t.e.ler t¨uretilebilir.
Orne˘¨ ginY1, Y2, . . . , Yn lise e˘gitimine sahip ¸calı¸sanlardan olu¸san bir anak¨utleden ¸cekilmi¸s yıllık ¨ucretleri ifade eden n boyutlu bir rassal ¨orneklem olsun.Bunların anak¨utle ortalaması µY olsun.
Benzer ¸sekilde,Z1, Z2, . . . , Zn ¨universite e˘gitimine sahip
¸calı¸sanlardan olu¸san bir anak¨utleden ¸cekilmi¸s yıllık ¨ucretleri ifade eden n boyutlu bir rassal ¨orneklem olsun.
Bunların anak¨utle ortalamasına daµZ olsun.
Bu iki grup arasındaki y¨uzde ¨ucret farkınıα = (µZ− µY)/µY, tahmin etmek istedi˘gimizi d¨u¸s¨unelim.
Yn,µY’ın, Zn de, µZ’nin tutarlı bir t.e. oldu˘gundan (Zn− Yn)/Yn,α’nın tutarlı bir t.e.dir.
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 52
Bu ¨ozellikler kullanılarak tutarlı t.e.lerin ¸ce¸sitli
fonksiyonlarından hareketle yeni tutarlı t.e.ler t¨uretilebilir.
Orne˘¨ ginY1, Y2, . . . , Yn lise e˘gitimine sahip ¸calı¸sanlardan olu¸san bir anak¨utleden ¸cekilmi¸s yıllık ¨ucretleri ifade eden n boyutlu bir rassal ¨orneklem olsun.Bunların anak¨utle ortalaması µY olsun.
Benzer ¸sekilde,Z1, Z2, . . . , Zn ¨universite e˘gitimine sahip
¸calı¸sanlardan olu¸san bir anak¨utleden ¸cekilmi¸s yıllık ¨ucretleri ifade eden n boyutlu bir rassal ¨orneklem olsun.
Bunların anak¨utle ortalamasına daµZ olsun.
Bu iki grup arasındaki y¨uzde ¨ucret farkınıα = (µZ− µY)/µY, tahmin etmek istedi˘gimizi d¨u¸s¨unelim.
Yn,µY’ın, Zn de, µZ’nin tutarlı bir t.e. oldu˘gundan (Zn− Yn)/Yn,α’nın tutarlı bir t.e.dir.
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 52
Bu ¨ozellikler kullanılarak tutarlı t.e.lerin ¸ce¸sitli
fonksiyonlarından hareketle yeni tutarlı t.e.ler t¨uretilebilir.
Orne˘¨ ginY1, Y2, . . . , Yn lise e˘gitimine sahip ¸calı¸sanlardan olu¸san bir anak¨utleden ¸cekilmi¸s yıllık ¨ucretleri ifade eden n boyutlu bir rassal ¨orneklem olsun.Bunların anak¨utle ortalaması µY olsun.
Benzer ¸sekilde,Z1, Z2, . . . , Zn ¨universite e˘gitimine sahip
¸calı¸sanlardan olu¸san bir anak¨utleden ¸cekilmi¸s yıllık ¨ucretleri ifade eden n boyutlu bir rassal ¨orneklem olsun.
Bunların anak¨utle ortalamasına daµZ olsun.
Bu iki grup arasındaki y¨uzde ¨ucret farkınıα = (µZ− µY)/µY, tahmin etmek istedi˘gimizi d¨u¸s¨unelim.
Yn,µY’ın, Zn de, µZ’nin tutarlı bir t.e. oldu˘gundan (Zn− Yn)/Yn,α’nın tutarlı bir t.e.dir.
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 52
Bu ¨ozellikler kullanılarak tutarlı t.e.lerin ¸ce¸sitli
fonksiyonlarından hareketle yeni tutarlı t.e.ler t¨uretilebilir.
Orne˘¨ ginY1, Y2, . . . , Yn lise e˘gitimine sahip ¸calı¸sanlardan olu¸san bir anak¨utleden ¸cekilmi¸s yıllık ¨ucretleri ifade eden n boyutlu bir rassal ¨orneklem olsun.Bunların anak¨utle ortalaması µY olsun.
Benzer ¸sekilde,Z1, Z2, . . . , Zn ¨universite e˘gitimine sahip
¸calı¸sanlardan olu¸san bir anak¨utleden ¸cekilmi¸s yıllık ¨ucretleri ifade eden n boyutlu bir rassal ¨orneklem olsun.
Bunların anak¨utle ortalamasına daµZ olsun.
Bu iki grup arasındaki y¨uzde ¨ucret farkınıα = (µZ− µY)/µY, tahmin etmek istedi˘gimizi d¨u¸s¨unelim.
Yn,µY’ın, Zn de, µZ’nin tutarlı bir t.e. oldu˘gundan (Zn− Yn)/Yn,α’nın tutarlı bir t.e.dir.
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 52
Tutarlılık ¨ozelli˘gi tahmin edicinin yakınsayaca˘gı pop¨ulasyon parametresi hakkında bilgi verse de, bu de˘ger ¸cevresindeki da˘gılımın ¸sekli ile ilgili bilgi vermez. G¨uven aralıklarının
olu¸sturulabilmesi ve hipotez testlerinin yapılabilmesi i¸cin tahmin edicilerin limitteki da˘gılımlarının bilinmesi gerekir.
C¸ o˘gu tahmin edicinin limitteki (n sonsuza giderken) da˘gılımı normal da˘gılıma uyar. Buna asimptotik normallik denir:
{Zn: n = 1, 2, . . . , n} bir r.d. dizisi olsun. Φ(z) standart normal da˘gılım (cdf) olmak ¨uzere Herz sayısı i¸cin
n −→ ∞ P (Z ≤ z) −→ Φ(z)
ko¸sulu sa˘glanıyorsaZn asimptotik standart normal da˘gılıma sahiptir denir. Bu kısaca ¸s¨oyle g¨osterilir:
Zn∼ N (0, 1) veya Zn−→ N (0, 1)
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 53
Nokta tahmininde ilgilenilen anak¨utle parametresine ili¸skin
¨
orneklem bilgisinden hareketle tek bir sayı ¨uretilir.
Bir nokta tahmini ¸co˘gunlukla bilinmeyen parametreye ili¸skin olu¸sturaca˘gımız en iyi bahis olarak d¨u¸s¨un¨ulebilir.
Ancak bir nokta tahmini, bu tahminin bilinmeyen ger¸cek populasyon parametresine ne kadar yakın olabilece˘gine, ba¸ska bir deyi¸sle, do˘gru parametre de˘gerine hangi olasılıkla ve ne kadar yakın oldu˘guna ili¸skin bir ¸sey s¨oylemez.
Orne˘¨ gin b¨uy¨uk bir parti maldan rassal ¸cekilmi¸s par¸caların
%10’unun kusurlu oldu˘gu tahmini yapılmı¸s olsun. Aralık tahmininde ger¸cek kusurlu oranının %5 ile %15 ya da %8 ile
%12 gibi iki de˘ger arasında olmasından ne kadar emin olabiliriz sorusuna cevap aranır.
Aralık tahmini bilinmeyen parametreye ili¸skin belirsizli˘gi a¸cık olarak yansıtır.
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 54
Nokta tahmininde ilgilenilen anak¨utle parametresine ili¸skin
¨
orneklem bilgisinden hareketle tek bir sayı ¨uretilir.
Bir nokta tahmini ¸co˘gunlukla bilinmeyen parametreye ili¸skin olu¸sturaca˘gımız en iyi bahis olarak d¨u¸s¨un¨ulebilir.
Ancak bir nokta tahmini, bu tahminin bilinmeyen ger¸cek populasyon parametresine ne kadar yakın olabilece˘gine, ba¸ska bir deyi¸sle, do˘gru parametre de˘gerine hangi olasılıkla ve ne kadar yakın oldu˘guna ili¸skin bir ¸sey s¨oylemez.
Orne˘¨ gin b¨uy¨uk bir parti maldan rassal ¸cekilmi¸s par¸caların
%10’unun kusurlu oldu˘gu tahmini yapılmı¸s olsun. Aralık tahmininde ger¸cek kusurlu oranının %5 ile %15 ya da %8 ile
%12 gibi iki de˘ger arasında olmasından ne kadar emin olabiliriz sorusuna cevap aranır.
Aralık tahmini bilinmeyen parametreye ili¸skin belirsizli˘gi a¸cık olarak yansıtır.
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 54
Nokta tahmininde ilgilenilen anak¨utle parametresine ili¸skin
¨
orneklem bilgisinden hareketle tek bir sayı ¨uretilir.
Bir nokta tahmini ¸co˘gunlukla bilinmeyen parametreye ili¸skin olu¸sturaca˘gımız en iyi bahis olarak d¨u¸s¨un¨ulebilir.
Ancak bir nokta tahmini, bu tahminin bilinmeyen ger¸cek populasyon parametresine ne kadar yakın olabilece˘gine, ba¸ska bir deyi¸sle, do˘gru parametre de˘gerine hangi olasılıkla ve ne kadar yakın oldu˘guna ili¸skin bir ¸sey s¨oylemez.
Orne˘¨ gin b¨uy¨uk bir parti maldan rassal ¸cekilmi¸s par¸caların
%10’unun kusurlu oldu˘gu tahmini yapılmı¸s olsun. Aralık tahmininde ger¸cek kusurlu oranının %5 ile %15 ya da %8 ile
%12 gibi iki de˘ger arasında olmasından ne kadar emin olabiliriz sorusuna cevap aranır.
Aralık tahmini bilinmeyen parametreye ili¸skin belirsizli˘gi a¸cık olarak yansıtır.
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 54
Nokta tahmininde ilgilenilen anak¨utle parametresine ili¸skin
¨
orneklem bilgisinden hareketle tek bir sayı ¨uretilir.
Bir nokta tahmini ¸co˘gunlukla bilinmeyen parametreye ili¸skin olu¸sturaca˘gımız en iyi bahis olarak d¨u¸s¨un¨ulebilir.
Ancak bir nokta tahmini, bu tahminin bilinmeyen ger¸cek populasyon parametresine ne kadar yakın olabilece˘gine, ba¸ska bir deyi¸sle, do˘gru parametre de˘gerine hangi olasılıkla ve ne kadar yakın oldu˘guna ili¸skin bir ¸sey s¨oylemez.
Orne˘¨ gin b¨uy¨uk bir parti maldan rassal ¸cekilmi¸s par¸caların
%10’unun kusurlu oldu˘gu tahmini yapılmı¸s olsun. Aralık tahmininde ger¸cek kusurlu oranının %5 ile %15 ya da %8 ile
%12 gibi iki de˘ger arasında olmasından ne kadar emin olabiliriz sorusuna cevap aranır.
Aralık tahmini bilinmeyen parametreye ili¸skin belirsizli˘gi a¸cık olarak yansıtır.
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 54
Nokta tahmininde ilgilenilen anak¨utle parametresine ili¸skin
¨
orneklem bilgisinden hareketle tek bir sayı ¨uretilir.
Bir nokta tahmini ¸co˘gunlukla bilinmeyen parametreye ili¸skin olu¸sturaca˘gımız en iyi bahis olarak d¨u¸s¨un¨ulebilir.
Ancak bir nokta tahmini, bu tahminin bilinmeyen ger¸cek populasyon parametresine ne kadar yakın olabilece˘gine, ba¸ska bir deyi¸sle, do˘gru parametre de˘gerine hangi olasılıkla ve ne kadar yakın oldu˘guna ili¸skin bir ¸sey s¨oylemez.
Orne˘¨ gin b¨uy¨uk bir parti maldan rassal ¸cekilmi¸s par¸caların
%10’unun kusurlu oldu˘gu tahmini yapılmı¸s olsun. Aralık tahmininde ger¸cek kusurlu oranının %5 ile %15 ya da %8 ile
%12 gibi iki de˘ger arasında olmasından ne kadar emin olabiliriz sorusuna cevap aranır.
Aralık tahmini bilinmeyen parametreye ili¸skin belirsizli˘gi a¸cık olarak yansıtır.
Ekonometri: ˙Istatistiksel C¸ ıkarsama - H. Ta¸stan 54
Bir anak¨utle katsayısının aralık tahmin edicisi, o anak¨utle katsayısının i¸cine d¨u¸sebilece˘gi bir aralı˘gı ¨orneklem bilgisine dayanarak belirlemenin kuralıdır.
Bir anak¨utle katsayısının aralık tahmin edicisi, o anak¨utle katsayısının i¸cine d¨u¸sebilece˘gi bir aralı˘gı ¨orneklem bilgisine dayanarak belirlemenin kuralıdır.