Soit A une partie de K[X1, . . . , Xn]. On note V(A) l’ensemble V(A) ={M ∈Cn | ∀P ∈S P(M) = 0}.
Une partie V de Cn est une K-vari´et´e alg´ebrique de Cn si il existe une partie A de K[X1, . . . , Xn] telle que V =V(A) (lorsqu’il n’y a pas d’ambiguit´e sur le corps de base, on dira que V est une vari´et´e alg´ebrique).
On d´efinit de mani`ere similaire les ensembles alg´ebriques r´eels de Rn. Si A est une partie de K[X1, . . . , Xn], on note VR(A) l’ensemble
VR(A) ={M ∈Rn | ∀P ∈A P(M) = 0}=V(A)\Rn. SiV est une partie de Rn, on note
I(V) ={P ∈K[X1, . . . , Xn]| ∀M ∈V P(M) = 0} Les ensembles alg´ebriques de Rn sont les partiesV de Rn telles que
VR(I(V)) =V.
On dira que V est une vari´et´e alg´ebrique r´eelle irr´eductible si I(V) est irr´eductible.
Ensembles alg´ebriques r´eels 25 Dans ce document, on entendra par((dimension de l’ensemble des solutions d’un syst`eme d’´equations)), la dimension de l’ensemble des solutions du syst`eme dansCn.
D´efinition 1.7 Soit V une vari´et´e alg´ebrique de Cn irr´eductible, on pose I = I(V).
La dimension de V est la dimension de K[X1, . . . , Xn]/I. La dimension d’une vari´et´e alg´ebrique quelconque est le maximum des dimensions de ses composantes irr´eductibles.
D´efinition 1.8 Soit V une vari´et´e alg´ebrique irr´eductible de dimension d d´efinie par P1 = . . . = Pk = 0 o`u (P1, . . . , Pk) sont des polynˆomes de K[X1, . . . , Xn] tels que
qhP1, . . . , Pki = hP1, . . . , Pki. L’ensemble des points singuliers de V est l’ensemble des points M ∈V tels que l’espace vectoriel Vect(grad−→ M (P1), . . . ,grad−→ M (Pk)) est de dimen-sion strictement inf´erieure `a n−d.
D´efinition 1.9 Soit V une vari´et´e alg´ebrique d´efinie par P1 = . . . = Pk = 0 o`u les po-lynˆomes(P1, . . . , Pk)appartiennent `aK[X1, . . . , Xn]tels queqhP1, . . . , Pki=hP1, . . . , Pki. L’espace tangent de Zariski `a V en M ∈V est l’espace vectoriel TMZ(V):
TMZ(V) =
\k j=1
{N = (ν1, . . . , νn)∈Cn | ∂Pj
∂X1 (M)ν1+. . .+ ∂Pj
∂Xn(M)
νn= 0}.
L’espace tangent de Zariski ne d´epend pas du choix des g´en´erateurs de l’id´ealhP1, . . . , Pki. Notons que l’espace tangent de Zariski est d´efini mˆeme en un point singulier de V.
Soit f une application r´eguli`ere d’une vari´et´e alg´ebrique V dans un espace vectoriel E. On dit qu’un pointM deV est un point critique de f si et seulement si la diff´erentielle def en M est de rang strictement inf´erieur `a la dimension de E. Une valeur critique de f est un point de E qui est la valeur prise par f en un point critique de f.
Lemme 1.2 (Lemme de Sard) Avec les notations ci-dessus, l’ensemble des valeurs cri-tiques de f est de dimension strictement inf´erieure `a celle de E.
Enfin, le r´esultat ci-dessous nous sera utile.
Lemme 1.3 [22] La fonction distance est une fonction semi-alg´ebriquement continue.
27
Chapitre 2
Suite des sous-r´ esultants
R´esum´e
Dans ce chapitre, nous rappelons la d´efinition de la suite des sous-r´esultants as-soci´ee `a un couple de polynˆomes. Puis, nous rappelons comment on peut en d´eduire le degr´e du pgcd de ce couple ainsi que les propri´et´es de sp´ecialisation de cette suite.
Dans la derni`ere section, nous rappelons un algorithme permettant de calculer cette suite. Les rappels contenus dans ce chapitre seront utilis´es dans le chapitre 3 de la partie I, ainsi que dans les chapitres 2 et 3 de la partie II. La r´edaction de ce chapitre est inspir´ee de [15].
Sommaire
2.1 D´efinitions . . . 28 2.2 Propri´et´es . . . 29
Introduction
Dans ce chapitre, nous rappelons quelques notions relatives `a la suite des sous-r´esul-tants associ´ee `a un couple de polynˆomes. La suite des sous-r´esulsous-r´esul-tants est un outil fonda-mental en Calcul Formel dont le champ d’application est tr`es vaste : en g´eom´etrie r´eelle, elle est utilis´ee pour compter et isoler le nombre de racines r´eelles d’un polynˆome univari´e [98, 64, 61, 95, 83], en th´eorie de Galois, elle est utilis´ee pour le calcul de r´esolvantes [102], et¸c.
Nous rappelons ci-dessous les propri´et´es de cette suite. Elle permet de d´eterminer le degr´e du pgcd de deux polynˆomes univari´es en n’effectuant les calculs que dans l’anneau des coefficients des polynˆomes. Elle b´en´eficie aussi de bonnes propri´et´es de sp´ecialisations [56, 57]. La premi`ere section de ce chapitre rappelle les d´efinitions et notations n´ecessaires.
Dans la deuxi`eme section, nous rappelons les propri´et´es de la suite des sous-r´esultants dont nous allons nous servir dans la suite de ce document.
2.1 D´ efinitions
SoitP =apXp+. . .+a0 etQ=bqXq+. . .+b0 deux polynˆomes non nuls de degr´es petq dans D[X] o`uD est un anneau int`egre. Consid´erons trois polynˆomesU,V etW tels que
U =uq−ℓ−1Xq−ℓ−1+. . .+u0,
V =vp−ℓ−1Xp−ℓ−1+. . .+v0, W =wp+q−ℓ−1Xp+q−ℓ−1+. . .+w0.
Si on consid`ere les polynˆomes P, Q, U, V, W comme des vecteurs de D[X] dans la base 1, X, . . . , Xp+q−ℓ, dire queUP +V Q=W c’est ´ecrire que les ´el´ements de D
uq−ℓ−1, . . . , u0, vp−ℓ−1, . . . , v0, wp+q−ℓ−1, . . . , w0
v´erifient le syst`eme d’´equations lin´eaires :
Propri´et´es 29 La transpos´ee de la matrice de ce syst`eme d’´equations lin´eaires (que l’on noteSHℓ(P, Q)) :
est une matrice extraite de la matrice de Sylvester (voir [75] pour plus de d´etails) associ´ee
`aP etQ. Aussi dire qu’il existe U etV deux polynˆomes non identiquement nuls de degr´es respectifs au plusq−ℓ−1 etp−ℓ−1 tels queP U+QV soit de degr´e strictement inf´erieur
`a ℓ, c’est dire que le d´eterminant de la matrice carr´ee obtenue en prenant les p+q−2ℓ premi`eres colonnes de SHℓ(P, Q) est nul.
Ce d´eterminant, que l’on note srℓ(P, Q) est le ℓ-i`eme coefficient sous-r´esultant sign´e associ´e `a P et Q. On appelle r´esultant de P et Q (et on note Res(P, Q)) le dernier coefficient sous-r´esultant sr0(P, Q). On appelleℓ-i`eme polynˆome sous-r´esultant le polynˆomePli=0srℓ,iXi o`u srℓ,i est le d´eterminant de la matrice carr´ee obtenue en prenant les p+q−2ℓ −1 premi`eres colonnes et la p+q −3ℓ+i-i`eme colonne de SHℓ(P, Q).
Le coefficient dominant du ℓ-i`eme polynˆome sous-r´esultant est donc le ℓ-i`eme coefficient sous-r´esultant.