Ensembles caractéristiques

Les ensembles caractéristiques jouent un rôle important en démonstration automa- tique comme l'atteste la littérature en ce domaine [Wu84, Wu86, Wu94, Cho88, CG90]. Nous présentons ici rapidement les principes de construction des ensembles caractéris- tiques ainsi que leurs utilisations pour la démonstration automatique.

Construction des ensembles caractéristiques

Nous commençons par décrire les éléments de base de la construction. Tout d'abord, nous dénissons un ordre sur les variables et pour un polynôme p 2 K[x], nous avons

l'existence d'une plus grande variable que nous appelleronsclass(p), d'un initialinit(p)

qui est le coecient du terme de plus haut degré de p vu comme un polynôme par rapport à la variableclass(p).

Proposition-dénition 6

Soient A et B deux polynômes de K[x] et y2fx

1;:::;xn g

une variable. Soitm = deg(B;y), supposons quem6= 0alors le polynômeBpeut s'écrire

B = bmym+bm 1y

m 1+


+b

0

Il existe deux polynômesQ et R deK[x] et un entier naturel s tels que:

1.1. Avec un système de coordonnées 121 avecdeg(R;y) < m.

De plus, sis est minimal alorsQ etR sont uniques à une constante multiplicative près et cette opération s'appelle la pseudo-division de Apar B et R s'appelle le pseudo-reste deA par B. Nous noterons R = prem(A;B;y).

Démonstration :

Voir [CLO92] page 297. 2

Dénition 16

Soient P et Q deux polynômes de K[x], P est dit réduit par rapport à

Qsi et seulement si:

P = prem(P;Q;class(Q)):

À partir de l'ordre sur les variables, nous pouvons dénir un ordre partiel sur les polynômes en comparant leur plus grande variable puis en cas d'égalité en comparant le degré des polynômes par rapport à cette variable. Deux polynômes sont comparables si ils sont de même classe et de même degré par rapport à leur classe. Nous sommes alors en mesure de construire des séquences de polynômes qui sont des ensembles ordonnés de polynômes.

Dénition 17

SoitA=A

1;:::;Ar une séquence :

 A est une chaîne ascendante si et seulement si:         r = 1 etA1 6 = 0 8 < : r > 1 0< class(A1)< ::: < class(Ar) 8i < j Aj réduit par rapport àAi

 Une chaîne sera dite contradictoire si elle contient uniquement un polynôme constant non nul.

Remarque 25

Une chaîne ascendante forme un système triangulaire.

Dénition 18

Soient deux chaînes ascendantes A = A

1;:::;Ar et B = B 1;:::;Bs. A<B si et seulement si:      

9j 2f1;::: ;min(r;s)g tel que 

8i < j; Ai etBi sont comparables

Aj < Bj

r > s et 8iAi et Bi sont comparables

Lemme 23

Toute suite décroissante de chaîne ascendante stationne à partir d'un cer- tain indice [Wu86].

Démonstration :

Cette démonstration s'eectue par récurrence sur les polynômes successifs des chaînes ascendantes. Soit 1;:::;q;::: la suite de chaînes ascendantes.

L'hypothèse de récurrence est la suivante:

 Soit A_ri, ler-ième polynôme de la chaînei.

 Pour tout indice k, il existe un indice qk à partir duquel la suite Aki

stationne, c'est-à-dire que lesA_ki sont comparables à partir d'un certain rang.

122 Chapitre 1. Démonstration automatique

Étape

1

:

Soit Ai le premier polynôme de i. La suite de (Ai) décroît d'après la dé- nition de l'ordre sur les chaînes ascendantes, et comme la suite(Ai) est minorée par le polynôme nul, cette suite stationne à partir d'un certain rang.

9q 1 j 8q 0> q 1; Aq 0 Aq 1:

Si toutes les chaînes sont de longueur 1, la démonstration est terminée. Sinon, comme les chaînes les plus courtes sont les plus grandes, il existe un indiceq1 > qtel que:

8q 0> q

1 Longueur(q 0)> 1:

Étape

r + 1

:

D'après l'hypothèse de récurrence,

8q > qr 8k r; AkqAkqr:

Donc tous ces polynômes ne rentrent pas en compte pour déterminer l'ordre sur les chaînes i. Si toutes les chaînes sont de longueur r, la démonstration est terminée (puisque toutes les chaînes sont équivalentes pourq > qr). Sinon, comme les chaînes les plus courtes sont les plus grandes, il existe un indiceqr0 > q

r tel que:

8q > qr

0; Longueur(

q)> r:

Pour q > qr0, nous considérons la suite des(ri) où ri est construit à partir de 

i en lui enlevant sesr premiers polynômesA_ki, pour k2f1;:::;rg. Nous pouvons alors faire

le même raisonnement qu'à l'étape 1 pour rétablir l'hypothèse de récurrence à l'étape

r + 1. 2

Lemme 24

Soitun ensemble ni de polynômes. L'ensemble des chaînes ascendantes construites suradmet un élément minimal qui peut être construit de façon mécanique.

Démonstration :

Soit A1 un des éléments minimaux de . Il sut de considérer les

chaînes commençant par A1 5:

 soitclass(A1) = 0: nous avons une chaîne contradictoire et minimale.

 soitclass(A1)> 0: nous considérons alors l'ensemble

0 =

fP 2; P est réduit par rapport àA 1

g:

0 est l'ensemble des polynômes de  qui peuvent participer à une chaîne as-

cendante après A1. Comme A1 62 

0; 0

( . De plus, 

0 (s'il est non vide) ne

contient que des polynômes supérieurs à A1.

 Si0 =

;alors A

1 est une chaîne minimale.

 Sinon, A1 est le premier polynôme d'une chaîne minimale.

1.1. Avec un système de coordonnées 123

2

Lemme 25

Soient A = A

1;:::;Ar la chaîne ascendante minimale construite sur 

avec class(A1)> 0 et B un polynôme non nul réduit par rapport à tous les Ai.  [B

admet une chaîne ascendante minimale plus petite que A.

Démonstration :

Le principe de la preuve est d'exhiber dans les diérents cas, une chaîne de0 plus petite que

A.

 si class(B) < class(A1) alors l'ensemble minimal de 

0 commence par B et sera

plus petit que A 6

 9 itel que class(Ai)< class(B)class(Ai +1).

Soit class(B) < class(Ai+1), soit class(B) = class(Ai+1) et alors deg(B) <

deg(Ai+1)carB est réduit par rapport àAi+1. De plus,B est réduit par rapport

auxAk;k = 1:::i, donc A1;:::;Ai;B < A.

 si class(Ar)< class(B), alors A1;:::;Ar;B < A.

2

Théorème 10 (Ritt)

Soit  un ensemble ni. En un nombre ni d'étapes, on peut trouver :

 Soit A avec class(A) = 0 etV  K() =

V K(A) =

;.

 Soit il existe un chaîne ascendante non contradictoire  =1;:::;p telle que : V  K() V  K() et V  K() nV  K(I) V  K(); où I =finit(i);i 2g.

Dénition 19

est appelé un ensemble caractéristique de .

Démonstration :

1. Démontrons la construction de. SoitA

1 une chaîne minimale de1 = (cette

chaîne existe d'après le lemme 24) et R 1 = fprem(B;A 1); B 2 1 gnf0g.  SiR 1 = ;alors  =A 1.

 Sinon, nous considérons 2=1 [R

1 et nous recommençons le processus.

D'après le lemme 25, ce processus se termine en un nombre ni d'étapes puisque lesAiforment une suite strictement décroissante de chaînes ascendantes et d'après

le lemme 23, cette suite stationne. De plus, au point de stationnement, Rstat=;,

alors  =Astat.

2. Démontrons queV K()

V 

K(). Nous allons faire une récurrence sur la suite des

i construite ci-dessus.

 2 est formé des polynômes de et de leurs restes par A

1 =A1;:::;Ar. Si

R = prem(B;A

1) est un tel reste alors par dénition:

R = PB Xr

i=1

PiAi ;

124 Chapitre 1. Démonstration automatique où P = Qr

i=1init(Ai)

si_{. Donc} R _{s'annule sur} V K( 1) et V  K( 1) V K( 2). Or, 1  2, donci V  K( 2) V  K( 1). Il en résulte V  K( 1) = V  K( 2).

 On montre de proche en proche que:

V K() = V  K( 1) =::: = V K(stat) =::: : Orstat donc V K() V  K(). 3. Démontrons que V  K() nV  K(I) V 

K(): par construction de, nous avons: 8B 2;IsB =

p

X

i=1

Qii ; carRstat=;. SiIs= 06 et i = 0alors B = 0 donc V

K() nV  K(I) V (). 2

Décomposition d'un variété en variétés irréductibles

Dans ce paragraphe, nous énoncerons seulement les théorèmes, propositions et lemmes importants pour le déroulement mécanique de la décomposition sans donner les démons- trations qui sont dans les deux articles [Wu86, CSY89].

Dans la suite,  =A1;:::;As sera une chaîne ascendante dans laquelle nous avons

eectué le renommage des variables suivant:

d + 1 = class(A1); s = n d 

8i2f1;::: ;dg; xi=ui 8i2fd + 1;:::;ng; xi =yi d

Proposition-dénition 7

Nous appelonsK0 = K(u

1;:::;ud)et pour touti

2f1;::: ;sg,

nous dénissons par récurrence les extensions de corps:

Ki= Ki 1[yi]

(Ai) si Ai est irréductible dans Ki 1[yi]:

Si tous les Ai sont irréductibles dans Ki 1[yi] alors la chaîne ascendante  est dite

irréductible.

Théorème 11

Soit  une chaîne ascendante irréductible, il existe alors un idéal pre- mier tel que soit un ensemble caractéristique de .

Théorème 12

Soient un idéal premier et un ensemble caractéristique de , alors

est irréductible.

Ces deux théorèmes établissent une sorte de correspondance entre les idéaux pre- miers et les chaînes ascendantes irréductibles.

Lemme 26

Soient un ensemble ploynômial et un ensemble caractéristique avec 

irréductible alors: V K() = V  K() [V  K( +I 1) [:::[V  K( +Is)

1.1. Avec un système de coordonnées 125

Lemme 27

Soient  un ensemble polynomial et  =A1;:::;As un ensemble caracté-

ristique de tel qu'il existe k 2f1;::: ;sg et: 

pour j < k;Aj irréductible dans Kj 1[yj]

Ak réductible dans Kk 1[yk]

alors il existe G1;:::;Gh des polynômes irréductibles dans Kk 1[yk] tels que :

I1 1


I k 1 k 1 G 1


Gh= Pk i=1QiAi V K() = V  K( +I 1) [


[V K( +Ik 1) [V K( +G 1) [


[V K( +Gk)

Théorème 13

Il existe un algorithme qui permet de donner pour un ensemble de po- lynômes, une décomposition en variétés irréductibles

V  K() = V  K( 1) [


[V  K( q)

où chaque i est un ensemble caractéristique de i qui est un idéal premier.

Les ensembles caractéristiques et la démonstration automatique

Comme nous l'avons déjà fait remarquer, choisir un repère adapté à la propriété à démontrer permet d'éliminer des composantes dégénérées. Soit  = A1;:::;Ar un

ensemble caractéristique des hypothèses.

 Si le polynôme c2K[x] représentant la conclusion se réduit à zéro par alors il

existe les polynômes Q1;:::;Qr de

K[x] et les entiers 1;:::;r tels que: c2V K() nV K(I) V K() avec I =< Q 1 1 ;:::;Q r r > :

Dans ce cas, la conclusion est une conséquence des hypothèses et le théorème est vraie sur  toute la variété  privée de l'ensemble des zéros des initiaux.

 Si le polynôme c ne se réduit pas à zéro par  alors nous ne pouvons rien dire. Nous devons calculer une décomposition en variétés irréductibles de V

 K() par l'algorithme du théorème 13. V K() = V  K( 1) [


[V  K( q)

où i est un ensemble caractéristique de chacune des composantes irréductibles de la variété. Or, pour une variété irréductible nous avons l'équivalence entre: un po- lynôme s'annule sur cette variété, et ce polynôme se réduit à zéro par un ensemble caractéristique de la variété. La propriété sera donc vraie sur une composante si et seulement si le polynômec se réduit à zéro par i.

Cette technique a été ensuite reprise an d'obtenir d'autres ensembles triangulaires plus ecaces par D. Wang [Wan95], D. Lazard, P. Aubry et M. Moreno Maza [AMM99, ALMM99].

126 Chapitre 1. Démonstration automatique

Dans le document Interaction entre symbolique et numérique : application à la vision artificielle (Page 137-143)