Dans notre contexte

1.2.3 Mourrain

C'est en dénissant une généralisation des opérateurs d'union et d'intersection dans l'algèbre extérieure, que nous pouvons aborder les problèmes de généricité [Mou91a, Mou91b].

1.3 Dans notre contexte

Nous commençons par rappeler le contexte dans lequel nous voulons utiliser ces techniques. Nous avons pour point de départ une description géométrique de la scène (un ensemble d'objets ainsi que des contraintes). Notre but est premièrement, de vérier la cohérence de cette description; deuxièmement, d'en calculer son degré de liberté ainsi qu'une paramétrisation minimale.

Les méthodes de démonstration automatique telles que les ensembles caractéris- tiques ou les réécritures de Chou-Gao-Zhang, permettent de répondre en partie à nos espérances.

1.3.1 Comment mettre en évidence les incohérences

Une des techniques possible pour extraire des propriétés géométriques de manière automatique consiste à vérier que certaines équations prennent une valeur inférieure à un seuil que nous nous xons. Par exemple, si nous souhaitons trouver les segments parallèles, il sut de se xer un seuilet de sélectionner tous les couples de segments

([AB];[CD]) tels que:

abs(det(A B;C D)) < :

Que se passe-t-il si nous avons la photographie d'un objet circulaire? La segmentation13

nous fournit un ensemble de petits segments qui forment le contour de notre objet. Si le travail de segmentation est assez n, même pour des valeurs  assez petites, deux segments consécutifs seront parallèles. La description géométrique suivante est donc tout à fait réaliste: soientS1;S2;S3;S4 quatre segments tels que:

 Si et Si+1 sont parallèles pour i

2f1;2;3g,

 S1 et S4 sont orthogonaux.

Dans un repère quelconque de plan, nous pouvons associer à chaque segment deux coordonnées à chaque extrémité (g. 1.8). Dans ce repère, les hypothèses deviennent:

8 > > < > > : (x3 x1)(x6 x4) (x4 x2)(x5 x3) = 0 (x5 x3)(x8 x6) (x6 x4)(x7 x5) = 0 (x7 x5)(x10 x8) (x8 x6)(x9 x7) = 0 (x3 x1)(x9 x7) + (x4 x2)(x10 x8) = 0

L'inter-réduction des hypothèses nous permet d'obtenir que:



x4 =x2

x3 =x1

136 Chapitre 1. Démonstration automatique S1 S3 (x3,x4) (x1,x2) (x5,x6) (x7,x8) (x9,x10) S4 S2

Fig. 1.8  Segmentation d'un objet circulaire

c'est-à-dire que les extrémités du premier segment sont confondues. Cette conguration est dégénérée.

Dans le cas où la description géométrique est incohérente, l'inter-réduction des hypo- thèses permet de mettre en évidence que les seules composantes valides sont dégénérées.

1.3.2 Les limitations naturelles

En vision articielle, nous étudions souvent des scènes dont la modélisation nécessite au moins une centaine d'objets tridimensionnels. Malheureusement, aussi bien pour les méthodes utilisant des coordonnées que pour les méthodes dites intrinsèques (méthodes utilisant des déterminants), la représentation des contraintes sur ces objets est un en- semble de polynômes avec beaucoup d'indéterminées. Même si ces contraintes sont très simples, la construction d'un ensemble triangulaire n'est pas simple et la réduction par rapport à un tel ensemble est extrêmement coûteuse14.

137

Chapitre 2

Ordre constructif et ensemble

réducteur

Nous rappelons que nous avons à notre disposition un modèle approché et une des- cription géométrique de la scène à modéliser. La description géométrique est restreinte à un ensemble d'objets tels que des points, des droites ou segments, des plans ou po- lygones, ainsi qu'un ensemble de contraintes entre ces objets. Mais contrairement à la plupart des énoncés des théorèmes géométriques, nous ne connaissons pas d'algorithme permettant de construire la conguration décrite. Or, nous avons vu dans le chapitre précédent que l'ordre et la construction des objets jouent un rôle essentiel dans la re- cherche des conditions de dégénérescence et des diérentes composantes de la variété des hypothèses. De plus, ils agissent aussi de façon non négligeable sur la complexité. Des approches basées sur l'utilisation des graphes existent [HV95] pour la géométrie plane essentiellement.

2.1 Composantes génériques, points génériques

Avant de décrire un algorithme permettant la construction d'une conguration, nous devons nous interroger sur la dénition même de générique.

De manière générale en mathématiques, nous disons qu'une situation est générique si elle est vraie presque partout. Plus précisemment, une situation est générique si elle appartient à un sous-ensemble dense des ensembles des situations possibles.

En conservant la même notion, nous dirons qu'une conguration géométrique est générique si elle appartient à un sous-ensemble dense de l'ensemble des congurations possibles. En d'autres termes, nous enlevons à la variété algébrique des congurations possibles, un ensemble fermé de plus petite dimension, c'est-à-dire dans une hypersur- face. L'ensemble des congurations non génériques peut donc être déterminé par un ensemble de relations1.

Dans la méthode de Chou [Cho88], la variété de dégénérescence est donnée par les polynômes en u apparaissant dans le calcul de l'ensemble caractéristique ou le cas

138 Chapitre 2. Ordre constructif et ensemble réducteur échéant dans la décomposition en variétés irréductibles. Cette variété de dégénérescence correspond au fait que les objets dénis par les paramètres u ne possèdent pas de

propriétés géométriques non spéciées par la conguration.

Il existe pour un problème donné plusieurs dénitions possibles de variété de dégé- nérescence. Étudions un exemple:

Exemple 7

Génériquement deux coniques homogènes se coupent en quatre points. Prenons les coniques d'équation :

c1 = a1x 2+b 1y 2+c 1xy + d1xz + e1yz + f1z 2 c2 = a2x 2 +b2y 2 +c2xy + d2xz + e2yz + f2z 2

 Pour toute forme linéairel, nous pouvons construire la matrice de Macaulay S de

fl;c 1;c2

g. Cette matrice se décompose en quatre blocs:

S =

A B C D



SiD est inversible alors les deux coniques d'équationsc1 etc2 se coupent en quatre

points. La variété de dégénérescence est dénie par l'équation det(D) = 0.  Si les deux coniques sont dégénérées2, elles se coupent en quatre points.

 Nous n'avons pas les mêmes notions de généricité, comme le montre les deux coniques suivantes:

x2 y2 = 0

x2+y2 r2z2 = 0

Ces deux coniques sont génériques dans le sens où le déterminant de la sous- matrice D de l'application de Macaulay est inversible, alors que la première co- nique est dégénérée dans le sens où sa matrice associée n'est pas de rang maximal. Pour notre problème, il ne serait pas raisonnable de demander à l'utilisateur une description géométrique exhaustive de la scène. Par conséquent, nous ne pouvons pas utiliser la notion de dégénérescence usuelle3 pour la géométrie. En eet, si l'utilisateur

omet une contrainte, c'est-à-dire que la scène vérie une contrainte géométrique qui n'est pas une conséquence des hypothèses de la description, alors la géométrie de la scène est dans une composante dégénérée de la description. C'est une des raisons qui nous a amené à choisir une dénition diérente.

Dénition 21

Pour une description géométrique D, une composante de la variété des

congurations est générique si et seulement si toutes les contraintes deDsont satisfaites

et que tous les objets deD sont distincts.

2. Une conique est dite dégénérée si et seulement si le déterminant de la matrice de la forme bilinéaire associée est nul.

2.1. Composantes génériques, points génériques 139 De plus, les descriptions géométriques que nous souhaitons étudier ont pour type d'objet des points, des droites et des plans; et pour type de contrainte de l'incidence, du parallélisme, de l'orthogonalité entre deux objets. Nous remarquons que ces contraintes sont linéaires par rapport à chacun des objets. Nous travaillerons avec la condition suivante:

Conditions 1

Les contraintes agissant sur un objet sont linéaires par rapport à cet objet.

Proposition 54

Si une description géométriqueDsatisfait la condition 1 alors un objet

O de D appartient à l'intersection d'un ensemble d'hyperplans dépendants uniquement

des objets deD déjà construits.

Démonstration :

Supposons queO1;:::;Oksoientk objets construits de

D. Appelons

hOk+1 l'ensemble des contraintes exercées par les objets O

1;:::;Ok sur Ok+1. Comme D vérie la condition 1, ces contraintes sont linéaires en Ok

+1. Chaque contrainte est

équivalente à un ensemble de formes linéaires ou bien à l'appartenance de Ok+1 à des

hyperplans. 2

Notation 6

Pour une description géométrique D:

 Nous appelons hO1;:::;Ok l'ensemble des contraintes de

D portant sur les objets

O1;:::;Ok.

 Nous appelons Vk la variété des congurations des objets O1;:::;Ok de

Dqui est

aussi la variété dénie par hO1;:::;Ok.

 Nous appelonsWk une composante générique de Vk.

 Nous appelonshOk+1 les contraintes exercées par les objetsO

1;:::;Ok sur Ok +1.

Remarque 28

Avec la dénition 21 de généricité, il peut exister plusieurs composantes génériques pour une même description géométrique vériant la condition 1.

Exemple 8

Soient P un point, L une droite et H un plan, avec P 2 L et P 2 H.

Supposons que H et L soient construits, alors nous avons deux cas possibles soit la droite est dans le plan, soit la droite coupe le plan en un point. Dans chacun des cas, la construction appartient à une composante générique. Dans un cadre plus général, nous pouvons construire ces composantes génériques pour chaque nouvel objet par un relèvement d'une composante générique des objets déjà construits (g. 2.1).

Théorème 14

Pour une description géométrique D vériant la condition 1, ! étant

une conguration générique de D, il existe une unique composante générique contenant

! de la variété des congurations de D.

Démonstration :

Cette démonstration se fait par récurrence sur les objets construits. Supposons que les objetsO1;:::;Ok de

D ont été construits et que Wk soit la com-

140 Chapitre 2. Ordre constructif et ensemble réducteur

Composante de Wk ou l’intersection des hyperplans est generique

Composante immergee de Wk ou

l’intersection des hyperplans n’est pas generique Relevement de la composante de Wk ou l’intersection des hyperplan n’est pas generique Relevement de la composante de Wk ou l’intersection des hyperplans est generique

Composantes ne rencontrant pas U Vk

Fig. 2.1  Les diérentes composantes génériques. Construisons l'objetOk+1. Comme

D vérie la condition 1,Ok

+1 appartient à l'in-

tersection nie d'hyperplans(Hi)i2I. Nous appelons dk+1 la dimension de l'intersection

des (Hi)i2I en !k et Uk = fy 2 Wkjdimy( T i2IHi) = dk +1 g un ouvert de Wk. Soit k : Vk+1

! Vk la projection sur les premières coordonnées. 8y 2 Uk;  1

k (y) est un espace vectoriel donc une bre irréductible de dimension la dimension de l'objet

Ok+1 moins dk+1. Comme Wk est irréductible alors Uk est un ouvert irréductible et

par le théorème des bres (voir théorème 8 page 61 de [Sha74]) adapté pour des ou- verts de variétés projectives, 1

k (Uk) est un ouvert irréductible. Nous en déduisons que

Wk+1 = 1

k (Uk) est la variété irréductible générique deVk+1 contenant wk+1.

2

Dans le document Interaction entre symbolique et numérique : application à la vision artificielle (Page 152-157)