Charles Sanders Peirce (1839-1914) é considerado o pai da semiótica, pretendia uma teoria geral da representação. Em seu livro Semiótica218 e em seus textos, observamos a divisão dos Signos em Ícone, Índice e Símbolo.
Inicialmente, Peirce classificou os signos pelo tipo de suas relações com os próprios objetos. Assim:
[..] uma progressão regular de um, dois, três pode ser observada nas três ordens de signos – Ícone, Índice, Símbolo. O Ícone não tem qualquer conexão dinâmica com o objeto que representa, simplesmente acontece que suas qualidades se assemelham às do objeto e excitam sensações análogas na mente para a qual é uma semelhança. Mas, na verdade, não mantém conexão com elas. O Índice está fisicamente conectado ao seu objeto: formam ambos, um par orgânico, porém a mente interpretante nada tem a ver com esta conexão, exceto o fato de registrá-la depois de ser estabelecida219.
O ícone é um signo, cujas condições de significação prescinde da existência de seu objeto, isto é, o ícone pode significar quer seu objeto quer seja uma existência ou realidade.
Otte explicita que:
Os ícones substituem tão completamente seus objetos que dificilmente podem ser distinguidos deles. Assim são os diagramas de álgebra e geometria. Os diagramas são essencialmente ícones, e ícones ou imagens são particularmente adequados a tornar apreensível e concebível o possível e o potencial, mais que o real e factual. A matemática tem sido sempre chamada de a ciência do possível ou do logicamente possível, e para verificar se alguma combinação de asserções é consistente ou logicamente possível, ela deve ser visualizada, porque a dificuldade reside na interação entre as várias afirmações, mais do que em significados particulares como tais220.
218 PEIRCE. Semiótica. São Paulo: Ed. Perspectiva, 1999. 219 Ibid., p. 73.
Assim, nenhuma análise de significados conceituais irá, em geral, responder à pergunta se duas afirmações relacionais diferentes ou derivações chegam ao mesmo resultado ou não.
O Ícone não representa inequivocamente esta ou aquela coisa existente, como o faz o Índice. Seu objeto pode ser uma pura ficção, assim como a sua existência. Muito menos é seu Objeto necessariamente uma coisa de um tipo habitualmente encontrado. Mas há uma certeza que o Ícone proporciona em seu mais alto grau. E o que é mostrado diante do olhar mental – a Forma do Ícone, que é também seu objeto – deve ser logicamente possível221.
Por ser um objeto de uma pura ficção, Peirce destaca a importância dos ícones no raciocínio matemático e lógico:
[...] uma fórmula algébrica é um ícone, tornada tal pelas regras de comutação, associação e distribuição dos símbolos. À primeira vista, pode parecer uma classificação arbitrária denominar uma expressão algébrica de ícone: e que ela poderia ser da mesma forma ou com mais razão, ainda, considerada como um signo convencional composto. Mas não é assim, pois uma importante propriedade peculiar ao ícone é a de que, através de sua observação direta, outra verdade relativa a seu objeto pode ser descoberta além das que bastam para determinar sua construção. Assim, através de duas fotografias pode-se desenhar um mapa etc. Dado um signo convencional ou um outro signo geral de um objeto, para deduzir-se qualquer outra verdade, além da que ele explicitamente significa, é necessário, em todos os casos, substituir esse signo por um ícone. Esta capacidade de revelar verdades insuspeitadas é exatamente aquela na qual consiste a utilidade das fórmulas algébricas, de tal modo que o caráter icônico é que prevalece222.
O valor de um Ícone é destacado exatamente por salientar as características de um fato, considerando-as como se fossem puramente imaginárias, e o raciocínio deve se relacionar com as formas que são os principais elementos de criação racional. Por isso os ícones são fundamentais para o raciocínio matemático.
A Matemática, assim como a arte, tem construído um universo possível, o jogo também lida com a construção de possibilidades, o ícone é possibilidade e desempenha um papel fundamental. Desse modo Peirce esclarece que,
221 OTTE. Epistemologia da matemática de um ponto de vista matemático. 2001, p. 39. 222 PEIRCE. Semiótica. 1999, p. 65.
[...] em álgebra, escrevemos equações uma sob a outra, numa disposição regular, particularmente, quando utilizamos letras semelhantes para coeficientes correspondentes, a disposição obtida é um ícone por exemplo: a|x + b|y = n|
a2x + b2y = n2223.
Isso é um ícone, pelo fato de fazer com que se assemelhem quantidades que mantêm relações análogas com o problema. Com efeito, toda “equação algébrica é um ícone, na medida em que exibe, por meio de signos algébricos (que em si mesmos não são ícones), as relações das quantidades em questão”224.
Para este pensador, ícone é um signo que se refere ao objeto que indica os caracteres que ele igualmente possui, quer um tal objeto realmente exista, quer não, e o índice é o signo que significa só por meio de seu vínculo existencial com seu objeto. Após a explicitação sobre o ícone, passamos a destacar que nenhum fato pode ser afirmado sem o uso de algum signo que sirva como índice. O próprio Peirce cita que:
Em álgebra, as letras, tanto quantitativas quanto funcionais, são desta natureza. Mas os símbolos sozinhos não declaram qual é o tema do discurso; e isso não pode, de fato, ser descrito em termos gerais, pode somente ser indicado. O mundo real não pode ser distinguido de um mundo imaginário por nenhuma descrição. Daí a necessidade de pronomes e índices, e quanto mais complicado o assunto, maior a necessidade deles225.
Neste sentido, um ícone apresenta semelhança, enquanto o índice não precisa exprimir uma semelhança com seu objeto. A condição básica sobre um Índice é que ele tem uma conexão existencial direta com seu objeto. Em relação a este aspecto, Otte exemplifica que:
[...] os usos do inglês comum são confiáveis em nosso discurso sobre índices; o dedo indicador é usado para apontar alguma coisa, por exemplo. O apontar-se para é uma conexão existencial direta com aquilo que é apontado, e assim o é um índice no sentido de Peirce. Índices servem à identidade de referência226.
223
PEIRCE. Semiótica. 1999, p. 66.
224 Ibid., p. 66.
225PEIRCE, citado por OTTE. Revista educação matemática e pesquisa. 2001, p. 42. 226 OTTE. Epistemologia da matemática de um ponto de vista semiótico. 2001, p. 42
Assim, podemos ainda exemplificar:
[...] inchaço, dor, vermelhidão, calor, febre, são índices de inflamação. ‘Índices fornecem uma garantia positiva da realidade e da proximidade de seus objetos. Mas junto com a garantia não vai qualquer insight da natureza desses Objetos’. Alguém poderia, primeiramente, não saber nada sobre a doença que a febre indica. Quanto mais sintomas e reações se observam, mais claro se torna o quadro, porque os sintomas, como o inchaço ou a febre, não são puros índices, mas também fornecem informações. É importante notar que em geral os signos de modo algum necessitam ser puramente ícones ou índices (ou símbolos, também). O signo diante de uma loja é um índice por sua conexão com a loja. Mas pode ser também icônico, ao apresentar, por exemplo, a figura de um livro para indicar que a loja é uma livraria227.
Na visão de Peirce, índice não prescinde do objeto para significar. Ele afirma que “nenhuma questão de fato pode ser asseverada sem o uso de algum signo que sirva como índice”228. Por exemplo, os geômetras colocam letras em partes diferentes de seus diagramas e, a seguir, usam estas letras para indicar essas partes. Na construção de um triângulo, as letras A, B e C são índices porque indicam os vértices do triângulo construído. Peirce diz que:
Tudo o que atrai a atenção é índice. Tudo que nos surpreende é índice, na medida em que assinala a junção entre duas porções de experiência. Assim, um violento relâmpago indica que algo considerável ocorreu, embora não saibamos exatamente qual foi o evento229.
Muitos exemplos poderiam ser citados em relação aos índices. Assim, em “uma batida na porta se A diz a B Há um incêndio, B perguntará Onde? a partir do que A vê-se forçado a recorrer a um índice, mesmo que ele esteja fazendo referência a um lugar qualquer do universo real, passado e futuro230.
Na indicação do local de incêndio, A poderia dizer: a cerca de mil metros
daqui. A palavra aqui é um índice e a palavra metro, embora represente um objeto de uma classe geral, indiretamente, também é indicial.
227
OTTE. Epistemologia da matemática de um ponto de vista matemático. 2001, p. 42.
228 PEIRCE. Semiótica. 1999, p. 74 229 Ibid., p. 67.
Para Peirce, os índices não se referem apenas aos objetos da experiência, pois caso contrário não “haveria uso para eles na Matemática pura, que lida, como o faz com criações idéias, sem se preocupar com o fato de elas serem ou não concretizadas em algum momento”231. Assim, podemos constatar que “os índices são absolutamente indispensáveis na Matemática; até que esta verdade fosse compreendida, fracassaram todos os esforços no sentido de reduzir as normas à lógica das relações triádicas e relações superiores, enquanto tão logo foi aprendida, resolveu-se o problema”232. Neste sentido:
Letras comuns da álgebra que não apresentam peculiaridade alguma são índices. Também o são as letras A, B, C etc. ligadas a uma figura geométrica. Advogados e outros profissionais que precisam lidar com casos complicados com precisão recorrem a letras para distinguir indivíduos. As letras assim usadas são meramente pronomes relativos melhorados. Assim, enquanto pronomes demonstrativos e pessoais são, como usados comumente, índices genuínos, pronomes relativos são
índices degenerados, pois embora possam acidental e indiretamente,
referir-se a coisas existentes, referem-se diretamente, e é tudo ao que precisam referir-se a imagens na mente que foram previamente criadas pelas palavras233.
A Matemática, por trabalhar intensamente com idéias e criações, e o índice, por ser indispensável, permitem a representação do fato pensado, tanto concretamente como de forma imaginada.
Segundo Otte, para Peirce:
[...] tem sido um enigma, há muito, como poderia ser que, por um lado, a matemática é puramente dedutiva em sua natureza, e tira suas conclusões de modo apodítico, enquanto, por outro lado, apresenta uma série tão rica e aparentemente interminável de descobertas surpreendentes como qualquer ciência empírica234.
Várias tentativas foram efetuadas para resolver esse paradoxo, quebrando uma ou outra dessas asserções, porém sem sucesso. Na realidade, parece que todo raciocínio envolve raciocínio dedutivo, até mesmo um simples silogismo envolve um elemento de observação. Assim, a dedução fundamenta a construção de um ícone ou diagrama em que as relações das partes dos objetos de raciocínio e de experimentação sobre a imagem na
231
PEIRCE. Semiótica. 1999, p. 75.
232 Ibid., p. 75. 233 Ibid., p. 75.
3 x
imaginação e na observação do resultado permitem a descoberta de relações despercebidas e escondidas entre as partes.
Neste sentido, Otte afirma:
[...] com relação à álgebra, a própria idéia da arte é que apresente fórmulas que possam ser manipuladas, e que pela observação dos efeitos de tal manipulação encontremos propriedades que não seriam discernidas de outra maneira. Em tal manipulação, somos guiados por descobertas prévias, que estão incorporadas em fórmulas gerais. Esses são padrões que temos o direito de imitar em nossos procedimentos, e são os ícones
par excellence da álgebra. As letras de álgebra aplicada são usualmente
símbolos, mas os x,y,z etc., de uma fórmula GERAL. Tal como (x+y)z = x z + y z são espaços a serem preenchidos com símbolos, eles são índices de símbolos. Uma tal fórmula pode, é verdade, ser substituída por uma regra abstratamente estabelecida (por exemplo, que a multiplicação é distributiva); mas nenhuma aplicação poderia ser feita de uma tal afirmação abstrata sem traduzi-la em uma imagem sensível235.
O índice mantém diferentes tipos de relações com seu objeto. No caso da Matemática ser uma regra abstrata, tal como no exemplo, a multiplicação é distributiva, e pode ser representada por:
a) uma fórmula geral (x + y) z = x z + y z; b) numericamente (2 +4) 3 = 3.2 + 3.4; c) por meio de um diagrama:
2 + 4
Figura 40
Mesmo que uma afirmação abstrata deva ser representada concreta ou mentalmente, um índice envolve a existência de seu objeto, mas não tem nenhuma semelhança significante com ele.
O índice é um signo cuja significação de seu objeto se deve ao fato de ele ter uma relação genuína com aquele Objeto, sem se levar em conta o interpretante. É o caso, por exemplo, da exclamação ‘Ei!’ como indicativa de perigo iminente ou uma batida na porta como indicativa de uma visita236.
Podemos, então, constatar que o índice é um signo que se refere ao objeto, tendo, necessariamente, alguma qualidade em comum com ele. O exemplo de uma pegada tem semelhança com o próprio pé, mas não é o pé sem ela, mas sua representação (índice).
Após este estudo, passamos a discernir o entendimento do que seja um símbolo na visão de Peirce, iniciando com o seguinte exemplo:
[...] assim como aquela famosa pegada que Robson Crusoe encontrou na areia foi um índice, para ele, de que alguma criatura estava em sua ilha, e, ao mesmo tempo, como um ícone, trouxe a idéia de um homem. O índice juntamente com o ícone resultaram na afirmação há um homem na ilha. Essa proposição é, como já foi dito, um símbolo237.
O símbolo é representado por meio de uma lei geral (regras), convencional ou semiconvencional, referindo-se à concretização da idéia ligada à palavra. Para ilustrar o tema em questão, faremos menção ao escrito de Peirce:
Uma progressão regular de um, dois, três, pode ser observada nas três ordens de signos, Ícone, Índice e Símbolo. O Ícone não tem conexão dinâmica alguma com o objeto que representa; simplesmente acontece que suas qualidades se assemelham às do objeto e excitam sensações análogas na mente para a qual é uma semelhança. Mas, na verdade, não mantém conexão com elas. O Índice está fisicamente conectado com seu objeto; formam, ambos, um par orgânico, porém a mente interpretante nada tem a ver com essa conexão, exceto o fato de registrá-la, depois de ser estabelecida. O Símbolo está conectado a seu objeto por força da idéia da mente-que-usa-o-símbolo, sem a qual essa conexão não existiria238. Este pensador, a respeito do símbolo, afirma que:
Um Símbolo é um Representâmen, cujo caráter representativo consiste exatamente em ser uma regra que determinará seu interpretante. Todas as palavras, frases, livros e outros signos convencionais são símbolos. Falamos em escrever ou pronunciar a palavra man (homem), mas isso é apenas uma réplica ou corporificação da palavra que é pronunciada ou escrita239.
236
PEIRCE, citado por SANTAELLA. 1995, p.160.
237, OTTE. Epistemologia da matemática de um ponto de vista semiótico. 2001, p. 44 238 PEIRCE. Semiótica. 1999, p. 73.
Os símbolos são signos muito mais complexos e não guardam qualquer relação de semelhança ou de contigüidade com a coisa representada. A relação é puramente cultural e arbitrária. Para compreender um símbolo, é necessário aprender o que ele significa, ou seja, interpretá-lo, e, para tal, é preciso recorrer ao raciocínio indutivo ou dedutivo, daí a importância da simbologia para a Matemática. As palavras, os símbolos matemáticos, os símbolos químicos, as bandeiras de países e clubes são exemplos de símbolos.
Para Peirce, “símbolo é um signo que se refere ao objeto que denota em virtude de uma lei, normalmente, uma associação de idéias gerais que opera no sentido de fazer com que o símbolo seja interpretado como se referindo àquele objeto”240. Por exemplo, quando digo cadeira, refiro-me não só a uma cadeira em particular (esta cadeira, por exemplo, seria um índice), mas a uma idéia geral de objeto composto de um assento sustentado a uma determinada distância do solo através de um ou mais pés e um encosto fixado angularmente em relação ao assento.
Quando alguém diz cadeira, está se reportando ao objeto geral cadeira, a qualquer cadeira, não a uma cadeira particular, e essa generalidade caracteriza sua natureza simbólica. Os símbolos são arbitrários, no sentido de que são socialmente convencionados e mutáveis (cadeira no Brasil, chair na Inglaterra e chaise na França), porém não absolutamente acidentais ou arbitrários. Os tipos, generalidades e idéias são signos simbólicos, pois não se restringem à singularidade. Peirce denomina cada singularização de um símbolo como réplica do tipo original.
Peirce distingue ícone (indicativo de possibilidade e relações), signo (algo que representa alguma coisa para alguém, por exemplo, o desenho), índice (indica alguma coisa, por exemplo, os vértices A, B, C de um triângulo) e símbolo que, socialmente convencionados, são arbitrários e referem-se a um objeto geral. Após este entendimento, passamos a apresentar a visão piagetiana em relação à função semiótica.