diffuse. Cette int´egration permet de tenir compte simplement de la contribution des
particules, et de traiter ainsi efficacement tous les cheminsL
(D
jS
)
D.
Pour l’affichage, une ´etape de lissage de la solution de radiosit´e est n´ecessaire.
Ensuite, la solution peut ˆetre rendue interactivement en utilisant OpenGL (solution
L
(D
jS
)
DE), ou par un lancer de rayons (solutionL
(D
jS
)E), ou une combinaison
des deux (un lancer de rayons ne calculant que
(L
jD
)S
E).
3 Int ´egration des deux algorithmes
Pour pouvoir lancer des particules afin de simuler des transferts non diffus, nous
al-lons introduire une ´etape modifi´ee de transfert, dans laquelle les particules sont ´emises
et propag´ees dans l’environnement, suivie d’une ´etape modifi´ee de “Push/Pull”, dans
laquelle les particules sont positionn´ees au juste niveau hi´erarchique. Comme les
par-ticules sont ´emises dans un espace restreint d´efini par un lien, il faut aussi pouvoir
d´eterminer le nombre de particules `a envoyer, ainsi que leur ´energie propre.
L’initialisation de l’algorithme est identique `a celle d’une m´ethode hi´erarchique
avec regroupement : la hi´erarchie avec groupes est tout d’abord construite en utilisant
l’approche pr´esent´ee dans le chapitre Chap. 3, puis un lien est cr´e´e du sommet de
la hi´erarchie vers lui-mˆeme[Sil95]. Pour pouvoir tenir compte des transferts non
dif-fus, une fonction de r´eflexion g´en´eralis´ee, ou BSDF [Vea97], est stock´ee sur chaque
´el´ement hi´erarchique. Nous utilisons la repr´esentation mixte diffus/directionnel du
mod`ele [LW94], qui permet de choisir stochastiquement si une r´eflexion sera diffuse
ou pas. Ce choix se fait sur le pourcentage diffus/directionnel d´efini par la propri´et´e
du mat´eriau. Seul un groupe (“cluster”) ne contenant que des ´el´ements diffus peut ˆetre
consid´er´e comme diffus.
3. Int´egration des deux algorithmes 53
3.1 Emission de particules´
Une grande partie de l’algorithme d´ecrit ci-dessus r´eside dans l’´emission et la
r´eflexion des particules. Nous allons maintenant d´ecrire comme prendre en compte
l’´energie qui passe `a travers un lien `a l’aide des particules. Ces particules vont devoir
repr´esenter une bonne estimation du flux circulant `a travers ce liens.
Pour estimer stochastiquement le flux ´emis par une surface (cf. Chap. 2-Eq. 2.4),
c’est `a dire
Φs
+S
= ZS
ZΩ
+ (s
)L
(s
;ω
)<ω
n
>dωds
ceci par npparticules ´emises selon une densit´e probabilit´e p
(s
;ω
), chacune d’elles doit
avoir une ´energie de[Vea97, Wal98]:
φi
=L
(si
;ωi
)<ωi
ns
i>np p
(si
;ωi
)(4.2)
Ainsi, l’estimateur du flux ´emisΦn
p = Pn
pi
=1φiest sans biais (cf. Chap. 2) :
E
[Φn
p] =E
h Pn
pi
=1L
(s
;ω
)<ω
n
s>n
pp
(s
;ω
) i = 1n
p Pn
pi
=1E
hL
(s
;ω
)<ω
n
s>p
(s
;ω
) i = 1n
p Pn
pi
=1 RS
RΩ
+ (s
)L
(s
;ω
)<ω
n
s>p
(s
;ω
)p
(s
;ω
)dµ
(x
;w
) = RS
RΩ
+ (s
)L
(s
;ω
)<ω
ns
>dωds
=Φs
+S
Consid´erons maintenant l’´energie L
(s
;r
)quittant le point s d’un ´emetteur S et
pas-sant au point r d’un r´ecepteur R. En utilipas-sant la notation de Sillion[Sil95], dans le cadre
d’une hi´erarchie g´en´erale, le flux entre deux ´el´ements hi´erarchiques est :
ΦRS
=FRFS
ZS
ZR
L
(s
;r
)τRrEs
ks
-r
k 2dr ds (4.3)
o`u Rr est
1pour les groupes et cosθi pour les surfaces, Es est
1pour les groupes et
cosθo pour les surfaces, FS, FR sont des facteurs d’´echelles pour tenir compte des
cas volumiques, valant
1pour les surfaces et
14
pour les groupes . Enfin, τ est
l’ab-sorption pour des milieux participants. Les valeurs cosθi et cosθo sont les cosinus de
l’angle entre la direction de propagation et la normale respectivement de l’´emetteur et
du r´ecepteur (cf. Chap. 2-Sec. 2.4 et Chap. 2-Tab. 2.2).
Dans le cadre d’un algorithme de radiosit´e, L
(s
;r
)s’exprime sous la forme :
L
(s
;r
) =BS
π (4.4)
54 Chapitre 4: Nouvelle m´ethode unifi´ee
Ainsi, l’´equation (4.3) devient
ΦRS
=BSFRSAR (4.5)
o`u BS est la radiosit´e de S et FRS, le facteur de forme (sans la visibilit´e) entre S et R.
AR est le facteur d’aire d´efini dans[Sil95](cf. Tab. 2.2). Si le fluxΦRSest estim´e avec
nRSparticules d’´energie constanteφct, sa valeur est alors :
ΦRS
=nRSφct (4.6)
Nous pouvons alors choisir le nombre de particules `a envoyer `a l’aide de l’´egalit´e
suivante :
nRS
=BSARFRS
φct
(4.7)
Pour un lien donn´e, le facteur de forme, le facteur d’aire, et la radiosit´e de la source sont
des donn´ees connues. Mais ce nombre ne permet pas de prendre en compte la totalit´e
du flux `a cause de l’approximation n´ecessaire vers une valeur enti`ere. Le r´esidu sur le
flux est alors
res
=BSARFRS
φct
-
nRS (4.8)
Nous pouvons constater ainsi que res appartient `a l’intervalle
[0;1[. Ce r´esidu est ainsi
consid´er´e comme la probabilit´e d’´emission d’une particule suppl´ementaire d’´energie
φct.
Dans le cas de particules d’´energie constante, la loi de probabilit´e d’´emission est
alors, en utilisant les ´equations Eq. (4.2) et (4.3), et dans le cas d’un radiosit´e constante
par ´el´ement :
p
(s
;r
) =L
(s
;r
)F
RF
SτR
rE
s ks
-r
k 2 1n
RSφ
ct = BS πF
RF
SτR
rE
sΦ
RSks
-r
k 2 =B
SF
RF
SτR
rE
sπB
SF
RSA
Rks
-r
k 2p
(s
;r
) =F
RF
SτR
rE
s ks
-r
k 2πF
RSA
R(4.9)
Deux lois d´erivent de cette derni`ere, une pour choisir un point s sur l’´emetteur S (p
0 (s
))
et l’autre pour choisir un point r sur le r´ecepteur R, connaissant d´ej`a le point s
0sur S,
soit p
0 (r
=s
=s
0 ):
8 > < > :p
0 (s
) =F
sRA
RF
RSp
0 (r
=s
=s
0 ) = <(r
-s
0 )n
s0 ><(s
0 -r
)n
r>πF
s Rkr
-s
0 k 4(4.10)
3. Int´egration des deux algorithmes 55
Dans ces ´equations, FsR est le facteur de forme du point s vers l’´el´ement R. Ces
´equations sont r´eciproques et il est possible de choisir d’abord un point r sur le
r´ecep-teur puis sur la source s. Les ´equations pr´ec´edentes deviennent :
8 > < > :
p
0 (r
) =F
rSA
SF
SR =F
rSA
RF
RSp
0 (s
=r
=r
0 ) = <(r
0 -s
)n
s><(s
-r
0 )n
r0 >πF
r0Skr
0 -s
k 4(4.11)
Malheureusement, l’utilisation de ces ´equations se r´ev`ele tr`es complexe, voire
im-possible. En effet, elles n´ecessitent la possibilit´e de pouvoir calculer de mani`ere exacte
le facteur de forme sur des objets quelconques. Dans ce contexte, il est pr´ef´erable
d’uti-liser des particules d’´energies diff´erentes. Mais cela cr´ee des solutions beaucoup plus
bruit´ees (la pr´ecision des m´ethodes de reconstruction ne d´epend en g´en´eral que de la
densit´e de particules).
Ainsi, pour chacune des nRSparticules, un point s et un point r sont d´etermin´es par
une loi uniforme sur respectivement S et R, p
(r
)=1
µ
(R
)et p
(s
)= 1µ
(S
)o`u µ
()est l’aire
pour une surface et le volume pour un groupe. Les deux tirages ´etant ind´ependants, la
probabilit´e de choisir un couple points
(r
;s
)est alors :
p
(r
;s
) = 1µ
(R
)µ
(S
)(4.12)
L’´energie de la particule devient ainsi (cf. Eq. 4.2) :
φrs
=L
(s
;r
)SRSSµ
(R
)µ
(S
)τRrEs
k
s
-r
k 2nRS (4.13)
Toutes les particules peuvent ˆetre absorb´ees ou r´efl´echies de mani`ere diffuse, si le
r´ecepteur poss`ede une composante diffuse et directionnelle dans sa BSDF. Ces
trans-ferts ´etant pris en compte par la radiosit´e, ces propagations ne sont pas effectu´ees. Nous
ne propageons et stockons que les particules qui sont r´efl´echies selon la composante
directionnelle.
3.2 Placement hi´erarchique des particules
Les effets sp´eculaires correspondent souvent `a des hautes fr´equences dans la
so-lution d’´eclairage. Intuitivement, cela correspond `a des zones de forte concentration
de particules. Pour les d´etecter, nous utilisons un “crit`ere d’´etalement” : si la
concen-tration ´energ´etique des particules repr´esente une faible proportion du facteur d’aire
de l’´el´ement les supportant (cf. Fig. 4.4), alors il faut descendre les particules dans la
hi´erarchie.
Lors de la travers´e de la hi´erarchie, pour un ´el´ement nous avons n particules,
cha-cune d’´energie φi et `a la position xi. Nous d´efinissons un centre c comme la
posi-tion moyenne pond´er´ee par l’´energie des particules. Nous d´efinissons aussi un “crit`ere
56 Chapitre 4: Nouvelle m´ethode unifi´ee
Dans le document
Contrôle Automatique de Qualité pour l' Éclairage Global
(Page 61-65)