Electrode avec blindage

Il s’agit d’un problème d’optimisation de forme analogue à celui présenté par [Mukherjee 96] ; l’auteur propose une solution à partir d’un paramétrage direct de la forme (voir Figure 53).

V.5.3.1. Définition du problème

Un problème équivalent est défini à partir du gabarit géométrique et des conditions aux limites de la Figure 73. Il s’agit de minimiser le champ électrique sur le contour d’une électrode satisfaisant le gabarit géométrique imposé. La difficulté du problème est liée à la présence de la condition de Dirichlet homogène V=0 pour r=2.5.

0.0 0.5 1.0 1.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 ¶ ¶ V n = 0 V=0 V=0 frontière interne frontière externe r z forme d'électrode quelconque s

Figure 73. Electrode avec blindage

V.5.3.2. Résolution numérique

Six charges placées à l’intérieur de la zone délimitée par la frontière interne du gabarit simulent l’équipotentielle représentant le profil de l’électrode. Six autres charges caractérisées par r Î[ . , ]2 5 5 et z Î[ , .0 1 85 permettent d’assurer la condition de Dirichlet homogène en] r=2.5. Comme précédemment, la valeur et la position des charges sont déterminées par un algorithme génétique. Le problème d’optimisation résultant est de dimension n=36. Le calcul des grandeurs électriques est réalisé en axisymétrique en considérant 12 anneaux chargés auxquels sont ajoutés 12 autres anneaux pour assurer approximativement la condition de Neuman homogène en z=1.85 et 24 autres pour garantir de façon exacte la condition de Dirichlet homogène en z=0.

Outre la contrainte géométrique relative au respect du gabarit exprimée par l’équation (141), le potentiel doit être nul en r=2.5. Cette condition est testée à partir des points de contrôle placés sur la ligne correspondante (voir Figure 73) et exprimée sous la forme d’une contrainte d’inégalité :

maxV r =( 2 5. ) £1% (158) qui garantit un potentiel nul sur l’ensemble des points de contrôle avec une erreur maximale de 1%.

Lorsqu’un individu ne satisfait pas la contrainte géométrique (141), sa fonction d’adaptation est calculée de façon similaire à (148) en prenant en compte la deuxième contrainte :

( )

1 l l_{1 2}( _max^ext _min^int) l₃max , max (0 2 5. ) 0 01. ⁽¹⁵⁹⁾ où l2 >>l3 pour les raisons que nous avons évoquées au paragraphe V.5.2.2.

Dans le cas où la contrainte géométrique est satisfaite, la normalisation du potentiel est effectuée par rapport à la valeur du potentiel maximal sur la frontière externe V^~_obj =V_maxext

. Après identification de l’équipotentielle avec une grille de coté 2x=0.01, le champ électrique maximal sur le profil est estimé. En prenant en compte la contrainte liée au potentiel en r=2.5, nous définissons la fonction d’adaptation des individus de la façon suivante :

( )

1 _max l₃max , max (0 2 5. ) 0 01. ⁽¹⁶⁰⁾ où E_max désigne le champ électrique maximal sur l’équipotentielle.

Trois algorithmes génétiques multimodaux sont testés sur ce problème. La taille de la population est fixée à 100 et le nombre de générations à 200. Les paramètres sont codés chacun dans une chaîne binaire de 10 bits avec décodage dynamique. Les probabilités de croisement et de mutation sont respectivement p_c = 1 et pm = 0 001. . Le critère de distance utilisé est de type d^¥ normalisé (voir chapitre III). Les coefficients de pénalité ont été fixés suivant l1 =l3 =100 et l₂ =10⁵. Quatre exécutions sont effectuées avec une population initiale différente générée aléatoirement. Le Tableau 34 compare les résultats obtenus avec les algorithmes génétiques multimodaux et une méthode purement aléatoire. Les taux d’individus satisfaisant au cours des exécutions, la contrainte géométrique uniquement, et les deux contraintes simultanément, sont désignés respectivement par T1 et T12.

Tableau 34. Comparaisons d’algorithmes génétiques multimodaux sur le problème de l’électrode à écran - 200 générations - 200 individus - 4 exécutions

Méthode

d’optimisation ^T1 (%) T12 (%)

Meilleure solution (Emax)

moy s moy s moy min s

Aléatoire 0.17 0.02 0 0 - -

-RTS (w = 30) 3.69 0.42 0.02 0.02 2.02 1.99 0.05 DC 2.64 0.59 0.01 0.00 2.16 1.99 0.29 CL (ss = 0 05. ) 14.29 4.86 2.49 0.81 1.85 1.83 0.02

Les résultats sont assez similaires à ceux obtenus pour le problème du condensateur à lames profilées. Ici encore, la difficulté est liée au respect des contraintes et en particulier de la condition de Dirichlet homogène en r=2.5. Avec 20 000 évaluations aléatoires des paramètres, aucune configuration satisfaisant cette contrainte n’a pu être trouvée.

Les méthodes de surpeuplement sont à peine plus efficaces puisqu’elles ne détectent qu’au maximum une dizaine de configurations réalisables et ne permettent donc pas l’optimisation du champ électrique sur le profil.

Seule la méthode d’éclaircissement réussit là où les autres techniques échouent mais, les faibles pourcentages obtenus pour T1 et T12 témoignent de la difficulté du problème. Avec cette approche, la prise en compte de conditions aux limites (ou de conditions d’interfaces) en un certain nombre de points est assez délicate en raison des contraintes sévères à respecter.

V.5.3.3. Profil optimal

La solution optimale obtenue avec la méthode d’éclaircissement après 20 000 évaluations est illustrée à la Figure 74 et comparée à deux profils quelconques. La solution donnée dans [Mukherjee 96] s’est avérée inexacte, comme l’a reconnu l’auteur, et ne peut donc malheureusement pas être présentée en comparaison!

0.0 0.5 1.0 1.5 0.0 0.5 1.0 optimisé quelconque quelconque (a) 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

abscisse curviligne normalisée

optimisé quelconque quelconque

C h am p él ec tr iqu e (b)

Figure 74. Electrode avec blindage (a) profil optimal

(b) champ électrique sur le profil

V.6. CONCLUSION

Dans ce chapitre, nous avons présenté et validé sur des cas simples une méthode d’optimisation de forme d’électrode à paramétrage indirect basée sur des distributions de charges fictives. La technique développée consiste à déterminer le contour de l’électrode à

partir d’une équipotentielle comprise entre deux frontières d’un gabarit géométrique prédéfini. L’application d’algorithmes génétiques multimodaux pour la détermination de la position et de la valeur des charges offre la possibilité de détecter des formes multiples distinctes lorsque plusieurs solutions optimales existent pour un gabarit donné. La procédure d’optimisation est extensible à des électrodes en contact avec plusieurs milieux diélectriques ou soumises à diverses conditions aux limites. Néanmoins, elle nécessite alors l’introduction de contraintes supplémentaires qui augmentent considérablement la difficulté du problème et pénalisent la résolution.

Parmi l’ensemble des algorithmes génétiques multimodaux testés, la méthode d’éclaircissement s’avère la plus performante en particulier lorsque les contraintes liées à la géométrie ou aux conditions aux limites sont sévères. Les techniques de surpeuplement sont dans ce cas incapables de converger rapidement vers l’espace réalisable en raison de leur caractère stationnaire. Plusieurs pistes sont envisageables pour augmenter l’efficacité de cette méthode :

· l’introduction du nombre de charges fictives comme paramètre supplémentaire au procédé d’optimisation

Le nombre de charges fictives simulant l’équipotentielle relative à l’électrode pourrait être codé dans le chromosome des individus afin d’être adapté de façon optimale au cours de la recherche des profils. Cela nécessiterait la définition d’opérateurs spécifiques de croisement capables de recombiner des configurations présentant un nombre de charges et des chromosomes différents. Le critère de distance employé par les algorithmes de nichage devrait par ailleurs être indépendant des charges mais lié directement à la forme de l’électrode pour la comparaison de profils distincts. A notre connaissance, l’optimisation à nombre variable de paramètres est un sujet encore vierge à ce jour.

· l’adaptation du gabarit géométrique et du positionnement des charges au cours de la recherche des profils optimaux

Il s’agirait d’adapter le gabarit et plus précisément l’espace de mobilité des charges pendant l’exécution de l’algorithme d’optimisation et non pas séquentiellement comme nous l’avons fait au paragraphe V.5.2.4.

· le couplage avec la méthode des charges équivalentes

Il faudrait pouvoir coupler la technique d’optimisation de forme à paramétrage indirect avec la méthode des charges équivalentes [Annexe V] pour traiter localement des conditions d’interface ou des conditions aux limites particulières. Cela permettrait d’envisager des problèmes plus complexes.