Comparaisons des principales méthodes de nichage

Nous comparons enfin la performance de la méthode de partage standard associée à un tri d’assortiment avec trois autres techniques de nichage : l’éclaircissement (CL), la sélection par tournoi restreint (RTS) et le surpeuplement déterministe (DC).

Le croisement uniforme standard est utilisé dans les deux méthodes de surpeuplement. L’éclaircissement est combiné à la sélection stochastique universelle et à une stratégie élitiste conforme à celle décrite au paragraphe III.5.3. La capacité des niches est fixée à 10 pour le test 1 et 2 pour le test 2 lors de l’optimisation des fonctions M3et M4. Les valeurs des critères de performance obtenues pour ces deux fonctions sont présentées dans le Tableau 16 et le Tableau 17.

Tableau 16. Méthodes de nichage comparées - fonction test M3

Critères de performance moyennés sur 10 exécutions Méthode de

nichage

Nombre de sommets maintenus q

TDS TDP moyen TDP final

test 1 test 2 test 1 test 2 test 1 test 2 test 1 test 2 tri + partage 5 4.8 0.999 0.947 1.287 2.839 0.740 1.972 CL 5 5 1.000 0.990 0.293 1.045 0.212 0.129 DC 5 5 1.000 0.999 5.683 3.537 5.820 3.155 RTS (w=30%N) 5 4.8 1.000 0.958 2.839 2.743 2.520 3.763

Tableau 17. Méthodes de nichage comparées - fonction test M4

Critères de performance moyennés sur 10 exécutions Méthode de

nichage

Nombre de sommets maintenus q

TDS TDP moyen TDP final

test 1 test 2 test 1 test 2 test 1 test 2 test 1 test 2 tri + partage 4.8 4.4 0.984 0.920 2.041 2.712 1.380 1.826 CL 5 4.8 1.000 0.933 1.448 2.397 1.354 1.477 DC 4 4 0.778 0.768 9.582 5.263 10.83 5.264 RTS (w=30%N) 5 5 1.000 0.998 6.516 3.698 6.279 2.924

L’efficacité de la méthode de nichage est liée à sa capacité de trouver des niches nouvelles en produisant de nouveaux individus tout en préservant les niches déjà identifiées. L’éclaircissement semble être la méthode qui réalise le mieux ce compromis. Il produit une grande quantité d’individus nouveaux en recombinant des éléments de niches différentes et contrôle cette production, parallèlement à la dérive génétique causée par la sélection, en réinitialisant la performance des individus peu adaptés. En outre, la stratégie élitiste préserve les individus dominants des effets destructifs des divers opérateurs génétiques.

L’éclaircissement surpasse toutes autres techniques de nichage en présentant à la fois un fort taux de détection des sommets et un excellent critère de distribution proportionnelle. Les méthodes de surpeuplement ont plus de difficultés à répartir les individus proportionnellement à l’adaptation des niches en raison de leur caractère stationnaire. En effet, elles utilisent une stratégie de replacement qui minimise les changements dans la population [Miller 95b]. Par conséquent, la distribution de la population dans les diverses niches à la dernière génération dépend fortement de la répartition initiale des individus. C’est pourquoi le critère de distribution proportionnel évolue aussi lentement pour les méthodes de surpeuplement et reste finalement assez médiocre. La Figure 35 illustre cette caractéristique pour la fonction M4et le test 1. SH + tri d'assortiment RTS (CF=30) DC CL (k=10) C ri tè re d e d is tr ib u ti o n p ro p o rt io n n el le (T D P ) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 50 100 150 200 Génération (w = 30) (k = 10)

Par ailleurs, des erreurs de replacement peuvent se produire et conduire à l’abandon d’une niche par les individus de la population. Dans le cas du surpeuplement déterministe notamment, il n’est pas impossible que les deux enfants créés soient localisés dans une niche différente de celle de leurs parents respectifs. La dérive résultante peut aboutir à la disparition d’une sous-population et à l’augmentation de la densité de population dans les autres niches.

Ce phénomène est particulièrement visible lors de la recherche des optima de la fonction M4. L’algorithme du surpeuplement déterministe détecte dès les premières générations les cinq sommets de la fonction, mais est incapable de les maintenir pendant les générations suivantes. Les individus situés sur le troisième sommet d’abscisse x=0.451 migrent progressivement sur le sommet suivant. Ceci se traduit par une augmentation du critère de distribution proportionnelle (voir Figure 35). A la dernière génération, les individus de la population ont totalement déserté le troisième sommet. Le Tableau 18 présente la répartition finale des individus dans les différentes niches, obtenue avec le surpeuplement déterministe pour le test 1. Ces résultats peuvent être comparés à ceux calculés dans le cas d’une distribution proportionnelle idéale.

Tableau 18. Répartition finale des individus de la population (test 1) - fonction test M4

Résultats moyennés sur 10 exécutions

Niche ^{Nombre d’individus dans la niche à} la dernière génération

Distribution proportionnelle idéale (voir Tableau 9)

1er sommet 30.2 28.797 2ème sommet 21 27.318 3ème sommet 0 22.194 4ème sommet 40 14.492 5ème sommet 8.8 7.200 hors sommet 0 0

La sélection par tournoi restreint semble plus robuste mais son efficacité dépend fortement du choix de la fenêtre de nichage comme le montre l’optimisation sur la fonction M6

(Tableau 20). La méthode de partage est relativement performante lorsqu’elle est appliquée à ces fonctions "faciles".

Tableau 19. Méthodes de nichage comparées - fonction test M5- test 2 Critères de performance moyennés sur 100 exécutions

Méthode de nichage Nombre de sommets maintenus TDS moyenne confiance (95%) ^moyenne confiance (95%) DC 3.97 ± 0.033 0.992 ± 0.008 RTS (w=30%N) 4 ± 0.000 1.000 ± 0.000 CL (k=1) 4 ± 0.000 0.998 ± 0.000 partage standard 4 ± 0.000 0.986 ± 0.002

Tableau 20. Méthodes de nichage comparées - fonction test M6- test 2 Critères de performance moyennés sur 100 exécutions

Méthode de nichage Nombre de sommets maintenus TDS moyenne confiance (95%) ^moyenne confiance (95%) DC 7.960 ± 0.403 0.322 ± 0.016 RTS (w=30%N) 7.890 ± 0.370 0.318 ± 0.015 RTS (w=50%N) 12.190 ± 0.373 0.490 ± 0.015 RTS (w=80%N) 17.500 ± 0.289 0.703 ± 0.012 RTS (w=100%N) 21.830 ± 0.305 0.874 ± 0.012 CL (k=1) 16.380 ± 0.599 0.654 ± 0.024 partage standard 15.530 ± 0.585 0.607 ± 0.023

Les tests suivants concernent la recherche des optima de la fonction M7 massivement multimodale et trompeuse. Ce problème a déjà été résolu par Goldberg [Goldberg 92] au moyen de la méthode de partage en utilisant une population de très grande taille (N=5000) et un réajustement en puissance de la fonction objectif fortement élitiste (b=15). Mahfoud a montré que le surpeuplement déterministe nécessitait environ 100 000 évaluations de fonction et 20 individus par niche pour converger vers les 32 optima globaux. Ces paramètres sont bien évidemment prohibitifs lorsque l’estimation de la qualité d’un individu est coûteuse en temps CPU. C’est pourquoi nous choisissons d’étudier la convergence des diverses techniques multimodales en prenant une taille de population limitée à N=100 individus et un nombre de générations G=200. Le critère de similarité utilisé pour différencier les sous-populations est la

distance de Hamming normalisée par la valeur maximale correspondante dans l’espace de recherche. Le rayon de niche est fixé à 0.2 conformément à [Goldberg 92].

Nous comparons aussi l’efficacité des méthodes à voisinage explicite (à savoir le partage et l’éclaircissement) avec et sans mise à l’échelle en puissance de la fonction objectif. Deux formes de réajustement sont étudiées. La première, statique, emploie un paramètre de mise à l’échelle constant (b=15). La seconde, dynamique, modifie la valeur de ce même paramètre au cours des générations. Une valeur de b égale à 1 est prise jusqu’à la 50ème génération, puis celle-ci est linéairement augmentée jusqu’à 15 pendant les générations suivantes.

Le Tableau 21 présente le nombre de sommets effectivement maintenus après 200 générations. Les résultats sont moyennés sur 100 exécutions.

Tableau 21. Méthodes de nichage comparées - fonction test M7

Critères de performance moyennés sur 100 exécutions

Méthode de nichage ^{Nombre de sommets} maintenus q Marge de confiance (95%) RTS (w=5) 1.63 ± 0.21 RTS (w=10) 2.28 ± 0.23 RTS (w=20) 1.64 ± 0.25 RTS (w=50) 0.56 ± 0.14 DC 0.43 ± 0.13 Partage standard 0.00 ± 0.00

Partage standard + mise à l’échelle statique 1.48 ± 0.17 Partage standard + mise à l’échelle dynamique 3.13 ± 0.32

CL (k=2) standard 14.10 ± 1.59

CL (k=2) standard + mise à l’échelle statique 15.58 ± 1.66 CL (k=2) standard + mise à l’échelle dynamique 14.06 ± 1.72

Aucune des méthodes étudiées n’a réussi à maintenir les 32 maxima globaux de la fonction. Néanmoins, l’éclaircissement surpasse toutes les autres techniques de nichage en trouvant et préservant entre 14 et 15 solutions. Comme le signale Goldberg [Goldberg 92], nous remarquons que le partage standard sans mise à l’échelle de la fonction est incapable de détecter un seul maximum global. Un réajustement de la fonction en puissance permet d’augmenter la différenciation des sommets locaux et globaux, et facilite de ce fait l’identification des solutions globales. Mais, l’utilisation d’une procédure de réajustement statique sévère (b=15) élimine un grand nombre d’individus et réduit donc considérablement

la diversité dans la population. De meilleurs résultats sont obtenus avec une mise à l’échelle dynamique.

Contrairement au partage standard combiné avec une procédure de réajustement de la fonction objectif, l’éclaircissement ne rejette pas un nombre important de solutions prometteuses mais écarte seulement les individus localisés dans le voisinage d’un dominant d’une sous-population. De cette façon, il préserve toujours les bonnes solutions. Par ailleurs, cette méthode ne requiert pas de mise à l’échelle hasardeuse de la fonction d’adaptation. Au contraire, un réajustement dynamique semble plutôt trompeur pour l’éclaircissement notamment pour les individus dominants de deux générations successives qui entrent en compétition à travers la procédure d’élitisme retenue.

III.7.5. Discussion

Le Tableau 22 résume les principales caractéristiques des méthodes multimodales présentées dans ce chapitre :

Les méthodes de nichage peuvent être classées en deux groupes selon qu’elles nécessitent ou non la définition explicite d’un seuil de voisinage pour différencier les individus similaires des individus non similaires dans la population. Les techniques à voisinage implicite telles les méthodes de surpeuplement ne requièrent aucune information sur l’espace à explorer. Par contre, les procédures à voisinage explicite comme le partage ou l’éclaircissement nécessitent de fixer un seuil de similarité, donc de pouvoir estimer a priori la distance entre deux optima de l’espace. Ceci est un inconvénient majeur car pour la plupart des problèmes d’optimisation réels, nous n’avons aucune connaissance de l’espace avant son exploration. Les méthodes de séparation de niches ou les techniques à seuil de similarité adaptatif permettent de résoudre partiellement ce problème mais leur implantation est plus complexe [Yin 93][Petrowski 97b].

Lorsque le rayon de niche est judicieusement choisi, l’éclaircissement se révèle supérieur à toutes les autres méthodes de nichage. Le partage, appliqué à des fonctions faciles, est assez efficace à condition d’utiliser la sélection stochastique universelle et des opérateurs de recombinaison peu destructifs pour stabiliser les sous-populations. Par contre, il est inefficace dans le cas général car l’équilibre entre les sous-populations peuplant les différentes niches est difficile à obtenir et la convergence vers les optima nécessite une taille de population très élevée. Il est possible d’augmenter la performance du partage en associant à la fonction d’adaptation une mise à l’échelle en puissance qui permet une meilleure différenciation des optima globaux et locaux. Néanmoins, le choix délicat et hasardeux du paramètre de mise à l’échelle peut entraîner une convergence prématurée de l’algorithme.

proportionnelle ne soit pas très bon, elles restent assez efficaces. La sélection par tournoi restreint est généralement supérieure au surpeuplement déterministe qui peut commettre des erreurs de replacement entre individus de niches différentes.

Tableau 22. Méthodes de nichage comparées - Avantages et inconvénients

Méthode Multimodale Avantages Inconvénients

Recherche locale parallèle (Parallel Hillclimbing)

· parallélisme possible · simplicité

· rapidité

· pas de comparaisons de distances

· aucune garantie de converger vers

les solutions globales

Surpeuplement Standard (Crowding)

· simplicité

· voisinage implicite · parallélisme possible

· O(CF·N) comparaisons de distances

· facteur de surpeuplement peu évident à fixer

· nombre d’optima détectés faible · mauvaise détection des solutions

locales

· mauvais critères de performance

Surpeuplement Déterministe (Deterministic Crowding) · simplicité · voisinage implicite · parallélisme possible · O N( ) comparaisons de distances

· bonne détection des solutions locales

· mauvais critère de distribution

pro-portionnelle

· dérive génétique possible due aux

éventuelles erreurs de replacement Sélection par tournoi

restreint (Restricted Tournament

Selection)

· voisinage implicite · parallélisme possible

· O(CF·N) comparaisons de distances · bonne détection des solutions locales

· facteur de surpeuplement peu évident à fixer

· mauvais critère de distribution

pro-portionnelle

Partage standard (Fitness Sharing)

· parallélisme possible

· efficace pour des problèmes "faciles"

· voisinage explicite

· O N( ² ) comparaisons de distances

· équilibre des sous-populations

dif-ficile à obtenir

· nécessite une taille de population

importante et une mise à l’échelle de la fonction objectif Partage dynamique (Dynamic Niching) Partage rapide (Fast Sharing) · O Nq( ) ou O(2Nq) comparaisons de distances

· efficace pour des problèmes "faciles"

· voisinage explicite

· parallélisme partiellement possible · équilibre des sous-populations

dif-ficile à obtenir

· nécessite une taille de population

importante et une mise à l’échelle de la fonction objectif

Méthode des sous-populations (Subpopulation Schemes)

· simplicité

· voisinage implicite · parallélisme possible

· mauvaise détection des solutions

locales

· deux sous-populations peuvent

con-verger une même solution Partage séquentiel

(Séquential Niching)

· adaptable à toute méthode

d’optimi-sation locale ou globale

· voisinage explicite · parallélisme impossible

· apparition de solutions inexistantes

due au réajustement utilisé Méthode d’éclaircissement (Clearing) · parallélisme possible · élitisme · O Nq( ) comparaisons de distances

· bons critères de performance

· voisinage explicite

· peu efficace pour des tailles de

III.8. CONCLUSION

Les méthodes génétiques multimodales offrent l’avantage d’une détection multiple de solutions optimales sans toutefois vraiment augmenter la complexité ou le temps de calcul des algorithmes. Le surcoût en temps CPU introduit par l’évaluation des distances entre individus est généralement négligeable par rapport au temps nécessaire pour estimer l’objectif. Ceci est le cas dans la majorité des problèmes réels et notamment en électromagnétisme où le calcul des fonctions objectif est souvent réalisé au moyen d’éléments finis.

Par ailleurs, l’introduction des mécanismes de nichage améliore considérablement l’exploration locale et rend inutile l’hybridation des algorithmes par une méthode d’optimisation locale. Comme nous l’avons signalé au chapitre précédent, il est toujours délicat pour des méthodes hybrides de déterminer le moment propice où l’on va effectuer la commutation entre l’algorithme génétique et la procédure d’optimisation locale.

Signalons enfin que dans les algorithmes génétiques multimodaux, l’équilibre entre la sélection et la recombinaison est naturellement assurée par les mécanismes de nichage. Cela évite de se poser la question du choix des valeurs des probabilités de croisement et de mutation. Une probabilité de croisement de 1 et des taux de mutation généralement faibles garantissent toujours une bonne robustesse à la recherche.

CHAPITRE IV

APPLICATIONS DES ALGORITHMES GENETIQUES

MULTIMODAUX A DES PROBLEMES D'ELECTROMAGNETISME

Dans ce chapitre, nous illustrons par deux problèmes simples d’électromagnétisme l’intérêt des algorithmes génétiques multimodaux et des méthodes de nichage. Ces problèmes ont été spécifiquement définis de façon à présenter un ensemble de solutions optimales, et ce dans le but de tester l’efficacité des divers algorithmes.

Le premier problème concerne une structure diélectrique stratifiée dont nous désirons fixer le comportement macroscopique. Le deuxième est relatif à l’optimisation d’un pôle d’inducteur.

IV.1. OPTIMISATION D’UN COMPOSITE DIELECTRIQUE