1. Introduction
Une des questions fondamentales de l’analyse multivoque est de relier celle-ci `a l’analyse univoque. Cela peut se faire grˆace `a la notion de s´election.
On appelle s´election de la multi-application F sur X `a valeurs dans Y , toute application f v´erifiant : f (x)∈ F (x), pour tout x dans X.
L’existence de s´elections est assur´ee par l’axiome de choix, mais l’existence seule n’est pas en g´en´eral porteuse de renseignements suffisants. Aussi, est-il souhaitable de pouvoir identifier des s´elections qui h´eriteront des propri´et´es de la multi-application originelle. S’agissant ici d’analyse, ces propri´et´es seront des propri´et´es de continuit´e, de diff´erentiabilit´e, de mesura- bilit´e etc.... Pour ce qui est de continuit´e, un des r´esultats les plus connus est le th´eor`eme de E.Michael [10].
Th´eor`eme 1.1 Soit X un espace m´etrique paracompact et Y un espace de Banach. Si F est une multi-application semi-continue inf´erieurement, d´efinie de X `a valeurs ferm´ees, convexes de Y , alors elle admet une s´election continue.
S’agissant de mesurabilit´e, citons le th´eor`eme de Ryll-Narzewski [8].
Th´eor`eme 1.2 Si F est une multi-application `a valeurs ferm´ees dans IRn tel que, ∀ x ∈ IRn
, l’application qui `a w associe dF(w)(x) est mesurable, alors il existe une application
f mesurable tel que, ∀ w, f(w) ∈ F (w).
Un des moyens pour d´efinir une s´election est d’ˆetre capable d’identifier un point ”remar- quable” pour chaque valeur prise par la multi-application F (x). Ceci ne peut ˆetre possible que si l’on poss`ede suffisamment de renseignements sur cet ensemble. Pour notre part, nous nous sommes int´eress´es au cas assez courant, o`u F (x) est un convexe compact en dimension finie. En effet, dans ce cas, la notion de ”centre” nous fournit un moyen naturel pour choisir un point remarquable. De nombreuses possibilit´es sont offertes, citons `a titre d’exemple le centre barycentrique, le centre de Chebischev, le centre analytique, le centre de Steiner ... Nous nous proposons dans ce travail d’´etablir que la s´election obtenue par le choix du centre de steiner est celle qui h´erite le mieux des propri´et´es de la multi-application. En effet, nous ´etablirons que cette s´election conserve le caract`ere lipschitzien, que si la multi-application est en un certain sens diff´erentiable, il en est de mˆeme de la s´election de Steiner, qui lui est associ´ee et que le centre de Steiner d’une int´egrale n’est autre que l’int´egrale de la s´election de Steiner, etc ....
Ensuite nous ´etablirons quelques comparaisons avec les s´elections obtenues par le choix des autres centres, notamment celles obtenues par le choix des centres barycentrique et de che- bischev. Enfin, nous proposerons un algorithme de minimisation d’une fonction convexe.
2.Notations et rappels
Dans ce qui suit, on adoptera les notations suivantes : CK(IRn) d´esigne l’ensemble des com-
pacts, convexes, non vides de IRn,
h.,.i le produit scalaire usuel de IRn et
k.k la norme qui lui est associ´ee.
B et S d´esignent respectivement la boule unit´e et la sph`ere unit´e de IRn. Pour une partie
A born´ee de IRn, nous noterons
kAk = sup
x∈Ak.k. La distance de x `a K ∈ CK(IR
n) est d´efinie
par :
dk(x) = inf
y∈K kx − yk
L’exc`es de K sur L, ´el´ements de CK(IRd) est donn´e par :
e(K,L) = sup
x∈K
dL(x).
On appelle distance de Hausdorff not´eeH entre deux ´el´ements K et L de CK(IRn), le nombre
d´efini par :
H(K,L) = max[e(L,K); e(K,L)].
Pour une multi-application F d´efinie de IRn `a valeurs dans IRn, notons gr(F ) le graphe de F et dom(F )={x ∈ IRn / F (x)6= ∅} son domaine.
On rappelle maintenant les notions de continuit´e que l’on va utiliser par la suite : voir par exemple le livre d’Aubin et Cellina [1].
D´efinition 2.1 Une multi-application F d´efinie de IRndans IRn `a valeurs compactes est dite semi-continnue sup´erieurement au sens de Hausdorff (s.c.s) si : pour tout x0 de IRn on a: ∀
ε > 0 ∃ η > 0 tel que : F (x0+ ηB)⊂ F (x0) + εB
Proposition 2.2 En dimension finie, si F est une multi-application `a valeurs compactes, non vides, alors F est semi-continue sup´erieurement si et seulement si elle est de graphe ferm´e.
D´efinition 2.3 Une multi-application F d´efinie de IRndans IRn `a valeurs compactes est dite semi-continue inf´erieurement au sens de Hausdorff (s.c.i) si : pour tout x0 de IRn on a :
∀ ε > 0 ∃ η > 0 tel que : F (x0)⊂ F (x0+ ηB) + εB.
D´efinition 2.4 Une multi-application F de IRn dans IRn est dite continue si elle est `a la fois s.c.s et s.c.i .
Pour K ´el´ement de CK(IRn), on d´efinit la fonction d’appui de K not´ee σ(K,.) par : Pour tout p dans IRn
La proposition suivante pr´esente quelques propri´et´es fondamentales de la fonction d’appui : Proposition 2.5 L’application qui `a p on associe σ(K,p) est sous-lin´eaire. Si pour tout p de IRn et pour tout K,L dans CK(IRd) elle v´erifie les assertions suivantes :
i) σ(K,p) = σ(−K, − p);
ii) σ(K + L,p) = σ(K,p) + σ(L,p); iii) σ(λK,p) = λσ(K,p) ∀ λ ≥ 0.
Pour une ´etude d´etaill´ee de la fonction d’appui, on pourra consulter [7], [4] et [2] 3. Le centre de Steiner
Le centre de Steiner d’un convexe compact de IRn admet de nombreuses caract´erisations,
et de riches propri´et´es. Pour une ´etude d´etaill´ee, on pourra consulter le livre d’Aubin et Frankowska [2] ainsi que l’article de Saint-Pierre [12] qui offre une fine analyse et une riche bibliographie sur le sujet.
D´efinition 3.1 Pour K ´el´ement de CK(IRn), on appelle centre de Steiner de K le point de
K not´e St(K) donn´e par la formule suivante :
St(K) = n Z
s
p σ(K,p) α(dp)
α ´etant la mesure de Lebesgue sur la sph`ere S telle que α(S) = 1.
Cette d´efinition n’est pas la d´efinition originelle mais celle due `a Shepard [13]. C’est la mieux adapt´ee `a notre propos.
Rappelons quelques unes des propri´et´es du centre de Steiner.
Proposition 3.2 [2] Le centre de Steiner poss´ede les propri´et´es suivantes : i) Si K est sym´etrique (K =−K), St(K) = 0;
ii) L’application s, qui a K ´el´ement de CK(IRn) associe St(K) centre de Steiner de K est additive et pour tout λ∈ IR s(λK) = λs(K);
iii) L’application s : K −→ St(K) d´efinie de CK(IRn
) muni de la distance de Hausdorff H, `a valeurs dans IRn, est n-Lipschitzienne;
iiii) Pour tout K ´el´ement de CK(IRn), le centre de Steiner St(K) est un ´el´ement K.
Une autre caract´erisation du centre de Steiner s’obtient `a partir du sous-diff´erentiel de la fonction d’appui. Rappelons que le sous-diff´erentiel d’une fonction convexe v not´e ∂v(.) est d´efini par :
∂v(p) ={γ ∈ IRn,
∀q ∈ IRn v(q)
On d´esigne par m(∂σ(K,p)), l’´el´ement de norme minimale du sous-diff´erentiel en p de la fonction d’appui. Le centre de Steiner est alors caract´eris´e par :
Proposition 3.3 [5] Pour K ´el´ements de CK(IRn), le centre de Steiner de K est caract´eris´e
par :
St(K) = n Z
B
m(∂σ(K,p))dp
Pour un convexe compact K, et pour tout p∈ IRn, d´esignons par FK(p) l’ensemble :
FK(p) ={x ∈ K : hx,pi = σ(K,p)}
Le sous-diff´erentiel ∂σ(K,p) en p de la fonction d’appui est ´egal `a FK(p); cet ensemble est
presque partout r´eduit `a un point, ce qui nous permet d’obtenir la caract´erisation du centre de Steiner suivante :
Proposition 3.4 [12] Pour K ´el´ement de CK(IRn), le centre de Steiner de K est caract´eris´e par : St(K) = Z s FK(p) dα(p) Remarque
Cette forme peut ˆetre int´eressante pour la d´etermination explicite du centre de Steiner, dans le cas o`u K est un poly`edre.
A partir de la proposition 3.4 ci-dessus, on peut voir le centre de Steiner comme ´etant le centre de gravit´e de la mesure µK, image par FK de la mesure de lebesgue α sur S ; on a
alors la caract´erisation suivante :
Proposition 3.5 Pour K ´el´ement de CK(IRn), le centre de Steiner de K est caract´eris´e
par :
St(K) = Z
∂K
xdµK (x)
C’est d’ailleurs en tant que centre de gravit´e de la mesure de courbure que le centre de Steiner fut introduit en 1840 par J. Steiner pour une courbe plane convexe de classe C2 [14].
Nous pouvons pr´eciser le r´esultat (iiii) de la proposition 3.2
Proposition 3.6 Soit K est un ´el´ement de CK(IRn). Si K est d’int´erieur non vide, alors
le centre de Steiner de K est dans l’int´erieur de K.
D´emonstration
Montrons qu’elle est de graphe ferm´e.
Soit (xn,yn) une suite convergente vers (x,y) et qui v´erifie yn ∈ FK(xn), pour tout n ∈ IN.
Montrons que y ∈ FK(x).
Puisque yn∈ FK(xn) ∀ n ∈ IN, on a l’´egalit´e suivante :
∀ n ∈ IN hxn,yni=σ(K,xn).
Soit
∀ n ∈ N hxn,yni≥hxn,pi ∀ p ∈ K.
Par passage `a la limite dans l’expression ci-dessus, on obtient :
hx,yi≥hx,pi ∀ p ∈ K. alors
hx,yi≥σ(K,x) K ´etant ferm´e donc y ∈ K. On en d´eduit que :
σ(K,x) ≥ hx,yi ≥ σ(K,x). Par cons´equent, y ∈ FK(x). Ce qui conclut la preuve du lemme.
Soit hp(.) l’application d´efinie sur IRn `a valeurs dans IR par :
hp(q) = inf x∈FK(q)
hp,xi.
Le lemme qui va suivre nous fournira une propri´et´e de continuit´e de l’application hp(.).
Lemme 3.8 L’application hp(.) est semi-continue inf´erieurement.
D´emonstration Soit λ < hp(q). Alors pour tout x∈ FK(q), on a λ <hp,xi, et donc
hp,FK(q)i ⊂ ]λ, + ∞[
Pour p∈ IRn l’application qui `a x associe hp,xi est continue. D’apr`es le lemme 3.7 la multi- application FK(.) est semi-continue sup´erieurement. Ce qui entraˆıne par composition que la
multi-application hp,FK(.)i est semi-continue sup´erieurement.
Par cons´equent, il existe un voisinage Vq de q tel que, pour tout z ∈ Vq
i.e. ∀ x ∈ FK(z), λ < hp,xi, en prenant la borne inf´erieure sur les ´el´ements de FK(z), on
d´eduit que λ < hp(z)
On conclut que, pour λ < hp(q). Il existe un voisinage Vq de q tel que :
∀ z ∈ Vq hp,FK(z)i ⊂ ]λ, + ∞[.
i.e. λ < hp(z) ∀ z ∈ Vq, l’application hp(.) est donc semi-continue inf´erieurement. Ceci
ach`eve la preuve du lemme.
D´emonstration de la proposition 3.6
Par translation, on peut se ramener au cas o`u St(K) = 0. Supposons que 0 est un ´el´ement de la fronti`ere de K. Soit P un hyperplan d’appui de K en 0.
Alors, il existe p de norme 1 tel que :
P ={x ∈ IRn
/hp,xi = 0} , et pour tout q∈ K on a : hp,qi ≥ 0. Alors
hp(q) = inf z∈FK(q)
hp,zi = σ(K,p) ≥ 0.
En effet : hp(q) > 0, car sinon pour tout x ∈ K, hp,xi = 0, ce qui contredit le fait que K est
d’int´erieur non vide; du fait de la semi-continuit´e inf´erieure de hp(.), il existe un voisinage
Vq de q tel que :
∀ x ∈ Vq hp(x) > 0.
Les ensembles FK(.) sont presque partout r´eduits `a un point. Alors hp(.) est presque partout
´egal `a hp, FK(.)i. Par d´efinition du centre de Steiner, on a :
hp ,St(K)i = hp, Z s FK(q) dα(q)i d’o`u hp ,St(K)i = hp, Z s hp(q) dα(q)i > 0.
Ceci contredit le fait que hp ,St(K)i = 0. Ce qui compl`ete la preuve.
Nous proposons ici quelques r´esultats li´es `a la diff´erentiabilit´e, `a l’int´egration, aux multi- mesures et `a l’optimisation.
4. Centre de Steiner et diff´erentiabilit´e
De mˆeme que la s´election de Steiner conserve les propri´et´es de tangence.
Soit X une partie d’un espace norm´e. x0 ∈ X, on d´esigne par F un filtre plus fine que le
filtre des voisinages de x0.
D´efinition 4.1 Soient F et G deux multi-applications d´efinies sur X `a valeurs dans un espace norm´e Y . F et G sont dites F-tangentes en x0 si :
lim
F
H[F (x),G(x)] kx − x0k
= 0.
Nous avons alors la propri´et´e suivante :
Proposition 4.2 Soient F et G deux multi-applications d´efinies sur une partie X d’un espace norm´e, `a valeurs convexes, compactes, non vides de IRn et F-tangentes en x0, alors
les applications centre de Steiner sF(.) et sG(.) sont F-tangentes en x0.
D´emonstaration
Le r´esultat d´ecoule de mani`ere imm´ediate de la majoration suivante :
k sF(x)− sG(x)k≤ n H[F (x),G(x)].
Un moyen usuel pour d´efinir une notion de diff´erentiabilit´e pour les (multi) applications, est de d´efinir une notion de tangence et de choisir une classe de (multi) applications ap- proximantes. Dans [5], S. Gautier a propos´e le choix suivant pour les multi-applications approximantes.
D´efinition 4.3 une multi-application A: IRn →−→IRn est dite affine si :
∀x, x0
∈ domA et λ ∈ [0,1] on a
A(λx + (1− λ)x0) = λA(x) + (1
− λ)A(x0).
Proposition 4.4 Si A est une multi-application affine alors la s´election de Steiner sA(.) est
la restriction au domaine de A d’une application affine. D´emonstration
Pour tout x, x0
dans le domaine de A et pour tous λ dans [0,1], on a par d´efinition
sA(λx + (1− λ)x0) = St(A(λx + (1− λ)x0))
La multi-application A ´etant affine, on a donc l’´egalit´e suivante :
sA(λx + (1− λ)x0) = St(λA(x) + (1− λ)A(x0))
Compte tenu de l’additivit´e du centre de Steiner, on obtient :
sA(λx + (1− λ)x0) = λSt(A(x)) + (1− λ)St(A(x0)),
ce qui entraˆıne l’´egalit´e :
Par cons´equent, la s´election de Steiner sA(.) est la restriction au domaine de A d’une
application affine.
D´efinition 4.5 une multi-application F d´efinie de X `a valeurs dans IRn est dite
F-diff´erentiable en x0 s’il existe une multi-application affine A d´efinie, sur X `a valeurs
ferm´ees dans IRn, continue en x0 et tangente `a F en x0.
La proposition suivante d´ecoule directement des propositions 4.2 et 4.4. Proposition 4.6 Soit F : X −→ CK(IRn
) une multi-application F-diff´erentiable en x0
et soit A la multi-application affine tangente. Alors la s´election centre de Steiner sF(.) est
F-diff´erentiable en x0 et admet comme application affine tangente la s´election sA(.).
Remarque
En particulier, si X est ouvert et siF est le filtre des voisinages de x0, la s´election de Steiner
est Fr´echet-diff´erentiable en x0.
Rappelons qu’un vecteur v est un vecteur du cˆone contingent `a X en x0 si et seulement si
pour tout ε > 0, G(x0,v,ε)∩ X 6= ∅ o`u :
G(x0,v,ε) ={x0+ t(v + εu) , 0≤ t ≤ ε , u ∈ B} .
Pour un tel vecteur v, si nous prenons pour F le filtre trace sur X du filtre engendr´e par les gouttes G(x0,v,ε), la proposition 4.4.6 nous indique que sF(.) est directionnellement
d´erivable dans la direction v.
5. Centre de Steiner et int´egrabilit´e
On va introduire des notions de mesurabilit´e et d’int´egrabilit´e de multi-applications dont on pourra trouver les d´efinitions dans les ouvrages de r´ef´erence suivants : le livre d’Aubin et Frankowska [2] et celui de castaing et Valadier [4].
Soit (Ω,Σ) un espace mesurable.
D´efinition 5.1 Une multi-application F de Ω vers IRn est dite mesurable si pour tout ouvert
O de IRn, on a :
F−1(O) ={x ∈ O F (x) ∩ O 6= ∅} ∈ Σ.
Il existe de nombreuses formulations ´equivalentes de cette notion, par exemple : Proposition 5.2 Les assertions suivantes sont ´equivalentes :
i) F est une multifonction mesurable.
ii) Pour tout ferm´e C de IRn F−1(C) est mesurable.
iii) ∀ x ∈ IRn l’application dF(.)(x) est mesurable.
une application `a valeurs dans l’espace m´etrique (CK(IRn),H).
La mesurabilit´e de F en tant que multi-application est alors ´equivalente `a la mesurabilit´e de l’application F .
D´efinition 5.3 [3] Soient (Ω,Σ,µ) un espace mesur´e, F une multi-application mesurable de Ω dans IRn. On d´efinit l’int´egrale de F par :
Z Ω F (ω) dµ(ω) = Z Ω f (ω)dµ(ω)/ f s´election int´egrable de F .
Dans le cas o`u la multi-application est `a valeurs dans CK(IRn) et la fonction d’appui de
l’int´egral est donn´ee par :
∀ p ∈ IRn σ( Z Ω F (ω) dµ(ω),p) = Z Ω σ(F (ω),p) dµ(ω).
D´efinition 5.4 une application ϕ : Ω x IRn −→ IRn
est dite de Carath´eodory si ϕ(.,.) est s´epar´ement mesurable par rapport `a la premi`ere variable, et continue par rapport `a la seconde.
Lemme 5.5 Soit ϕ : Ω x IRn
−→ IRn une application de Carath´eodory. Alors pour toute
application mesurable f : Ω−→ IRn, l’application ω
−→ ϕ(ω,f (ω)) est mesurable.
La d´emonstration de cette proposition est d´etaill´ee dans le livre d’Aubin et Frankowska [2]. D´efinition 5.6 Une multi-application F de Ω `a valeurs dans IRn est int´egrablement born´ee s’il existe une application g positive dans L1(Ω,Σ,µ) tel que :
∀ ω ∈ Ω F (ω) ⊆ g(ω)B. Le th´eor`eme principal de cette section est le suivant :
Th´eor`eme 5.7 Soient (Ω,Σ,µ) un espace mesur´e et F une multi-application de Ω `a valeurs dans CK(IRn), mesurable et int´egrablement born´ee. Alors, le centre de Steiner de l’int´egrale de F est l’int´egrale de la s´election centre de Steiner de F :
St( Z Ω F (ω) dµ(ω)) = Z Ω sF(ω) dµ(ω). D´emonstration
L’application qui `a K associe son centre de Steiner est Lipschitzienne par rapport `a la distance de Hausdorff. Ceci entraˆıne que l’application : sF(.) = St o F (.) est aussi mesurable.
La multi-application F ´etant int´egrablement born´ee, on en d´eduit que la s´election sF(.) est
int´egrable.
Par d´efinition du centre de Steiner, on obtient : l’´egalit´e suivante :
Z Ω sF(ω) dµ(ω) = n Z Ω [ Z s p σ(F (ω),p) α(dp)]dµ (ω).
Si nous posons f (ω,p) = p σ(F (ω),p), f est mesurable et on a pour tout p∈ S k f (ω,p) k≤ kF (ωk k p k2≤k g(ω) k .
Par cons´equent, l’application f est int´egrable par rapport aux deux variables et d’apr`es le th´eor`eme de Fubini n Z Ω [ Z s p σ(F (ω),p) α(dp)]dµ(w) = n Z s p σ( Z Ω F (ω)dµ (ω),p) α(dp) = St( Z Ω F (ω)dµ (ω)).
Ce qui ach`eve la d´emonstration du th´eor`eme.
Corollaire 5.8 Soit F une multi-application continue d´efinie sur IR `a valeurs dans CK(IRn). Soit G(t) =
Z t
a
F (u)du, alors l’application centre de Steiner sG(.) est d´erivable de d´eriv´ee
sF(.). D´emonstration On a : sG(.) = St(G(t)) = St( Z t a F (u) du). Le th´eor`eme 5.7 entraˆıne sG(.) = Z t a sF(u) du
F ´etant continue, alors sF(.) l’est aussi et par suite sG(.) est d´erivable de d´eriv´ee sF(.).
6. Centre de Steiner et multi-mesures
Le but de ce paragraphe est d’interpr´eter et de g´en´eraliser le th´eor`eme 5.7 en terme de multi- mesures.
Rappelons tout d’abord, quelques d´efinitions et r´esultats relatifs aux multi-mesures, figurant dans la th`ese de Godet-Thobie [6].
(Ω,Σ,µ) d´esigne un espace mesur´e, muni d’une mesure finie µ, (Ak)k≥1 d´esigne une suite de
parties non vides de IRn
Nous dirons que la s´erie de terme g´en´eral (Ak) est convergente, si toute s´erie de terme g´en´eral
(xk)k≥1 avec xk ∈ Ak, est convergente. L’ensemble des sommes de telles s´eries sera appel´e la
somme de la s´erie (Ak).
D´efinition 6.1 On appelle multi-mesure sur (Ω,Σ) toute multi-application `a valeurs non vides M de Σ dans IRn v´erifiant :
i− M(∅) = {0} ;
ii−Pour toute suite (Ak)k≥1 de parties de Σ deux `a deux disjointes, la s´erie de terme g´en´eral
M (Ak) est convergente et a pour somme M ( ∪ k≥1Ak).
Dans le cas o`u la multi-mesure M est `a valeurs convexes, compactes et non vides, on peut caract´eriser les multi-mesures en terme de fonction d’appui et on a la proposition suivante : Proposition 6.2 [6] Soit M une multi-application d´efinie sur Σ `a valeurs dans CK(IRn),
les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes : i− M est une multi-mesure
ii− ∀p ∈ IRn , l’application de Σ dans IR qui `a A dans Σ associe σ(M (A),p) est une mesure. Rappelons qu’une multi-mesure M est dite born´ee s’il existe un born´e Q de IRn tel que pour tout A de Σ, M (A) est inclue dans Q.
Enon¸cons le th´eor`eme de Radon-Nikodym pour les multi-mesures.
Th´eor`eme 6.3 [6] Soit M une multi-mesure sur (Ω,Σ,µ) `a valeurs dans CK(IRn) pour
laquelle il existe un born´e Q v´erifiant M (A) ⊂ µ(A)Q, pour tout A de Σ . Alors, il existe une multi-application Γ `a valeurs dans CK(IRn) tels que :
i− ∀p ∈ IRn ∀A∈ Σ σ(M (A),p) = Z A σ(Γ(ω),p)dµ(ω). ii− ∀ A ∈ Σ M (A) = Z A Γdµ = Z A f dµ f ∈ sΓ ,
o`u sΓ d´esigne l’ensemble des s´elections mesurables de Γ.
Consid´erons le centre de Steiner, pour ´etendre aux multi-mesures, le r´esultat du th´eor`eme 5.7.
Th´eor`eme 6.4 Soit M une multi-mesure born´ee `a valeurs dans CK(IRn) et soit ”m” l’ap- plication d´efinie de Σ `a valeurs dans IRn par :
∀ A ∈ Σ m(A) = St(M (A)). Alors, l’application ”m” est une mesure.
D´emonstration
On a m(∅) = St(M(∅) = St({0})) = 0.
Soient A,B ∈ Σ tel que A ∩ B = ∅. Comme M est une multi-mesure, on a : m(A∪ B) = St(M(A ∪ B).
L’additivit´e de l’application centre de Steiner entraˆıne :
m(A∪ B) = St(M(A) + St(M(B)) = m(A) + m(B).
On conclut que, pour une suite finie (Ak)1≤k≤n d’´el´ement deux `a deux disjoints de Σ on a :
m( ∪ 1≤k≤nAk) = n P k=1 m(Ak).
Montrons que m est σ−additive.
Soit (Ak)k≥1 une suite d’´el´ements de Σ disjoints deux `a deux. On a :
m( ∪ k≥1Ak) = St(M (k≥1∪ Ak)). soit m( ∪ k≥1Ak) = n Z s p σ(M ( ∪ k≥1Ak),p) α(dp). Donc m( ∪ k≥1Ak) = n Z s X k≥1 p σ(M (Ak),p)α(dp).
Comme pour tout n, on a la majoration :
n P p k=1 σ(M (Ak),p) ≤ kQk
le th´eor`eme de convergence domin´ee de Lebesgue nous donne alors
m( ∪ k≥1Ak) = n P k≥1 Z s p σ(M (Ak),p)α(dp) = P k≥1 St(M (Ak) = P k≥1 m(Ak).
Ainsi m est une mesure.
Soit F une multi-application de Ω `a valeurs dans CK(IRn), mesurable et int´egrablement
born´ee. D´efinissons la multi-application M sur Σ par
∀ A ∈ Σ M (A) = Z
A
F dµ.
Il est ais´e de montrer que M est une multi-mesure sur Σ. En appliquant le r´esultat du th´eor`eme 5.7, on obtient :
Le th´eor`eme 6.4 signifie que l’application m(.) = St(M (.)) est une mesure qui a pour densit´e l’application sF(.).
Plus g´en´eralement, on a le th´eor`eme suivant :
Th´eor`eme 6.5 Soit Q un born´e de IRn et soit M la multi-mesure d´efinie sur Σ `a valeurs
convexes, compactes, non vides de Q tel que :
∀ A ∈ Σ M (A)⊂ µ(A) Q.
Alors, l’application ”m” d´efinie dans IRn est une mesure s´election de M , et a pour densit´e l’application centre de Steiner de Γ. Γ ´etant la densit´e de M :
∀ A ∈ Σ m(A) = Z
A
sΓ(ω) dµ(ω).
D´emonstration
Γ est int´egrable born´ee. En effet, pour tout A∈ Σ on a M (A)⊂ µ(A) Q. et donc Z A Γ(ω) dµ(ω)⊂ Z A Q dµ(ω).
Il en r´esulte que pour tout A∈ Σ et p ∈ IRn
σ( Z A Γ(ω) dµ(ω),p)≤ σ( Z A Q dµ(ω),p).
Γ ´etant `a valeurs dans CK(IRn), on a par suite
Z A σ(Γ(ω),p) dµ(ω)≤ Z A σ(Q,p) dµ(ω)
L’in´egalit´e ayant lieu pour tout A de Σ, il existe Np ⊂ Ω de mesure nulle tel que
σ(Γ(ω),p)≤ σ(Q,p).
Pour tout ω de Ω\Np, compte tenu de la s´eparabilit´e de IRnet de la continuit´e en p de σ(.,.),
on obtient :
µ ´etant finie et Q born´e. Ceci prouve que Γ est int´egrablement born´ee. Le r´esultat ´enonc´e s’obtient alors en appliquant `a Γ le th´eor`eme 5.7 7. Centre de Steiner et optimisation
Dans ce paragraphe, nous allons donner une autre caract´erisation du centre de Steiner en utilisant les projections et d´efinir un algorithme qui converge vers le minimum d’une fonction convexe f sur IRn en utilisant le centre de Steiner.
Caract´erisation du centre de Steiner par la projection
L’ensemble CK(IRn) peut ˆetre plong´e, `a l’aide de la fonction d’appui, dans l’espace vectoriel H des fonctions d´efinies de IRn `a valeurs dans IRn continues et positivement homog`enes. On munit cet espace de la norme k.ks d´efinie par :
kfks = Z skf(x)k 2 α(dx) 12 .
Notons h.,.is le produit scalaire associ´e `a la norme k.ks:
∀ f,g ∈ H hf,gis=
Z
s
f g(x) α(dx).
H muni du produit scalaire h.,.is est un espace pr´ehilbertien.