Sur des problèmes de viabilité du premier et du second ordre et sélection de Steiner

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UNIVERSITÉ MOHAMMED V – AGDAL

FACULTÉ DES SCIENCES

Rabat

Faculté des Sciences, 4 Avenue Ibn Battouta B.P. 1014 RP, Rabat – Maroc Tel +212 (0) 37 77 18 34/35/38, Fax : +212 (0) 37 77 42 61, http://www.fsr.ac.ma

Numéro d’ordre : 2304

THÈSE DE DOCTORAT DE DOCTORAT D’ETAT ES SCIENCES

Présentée par

Radouan MORCHADI

Discipline :

Mathématiques

Spécialité :

Equations Différentielles et Analyse non linéaire

SUR DES PROBLEMES DE VIABILITE DU PREMIER ET DU

SECOND ORDRE ET SELECTION DE STEINER

Soutenue le

29 Avril 2006 devant le jury

Président :

A SAYEH Professeur à la faculté des sciences de Rabat

Examinateurs :

M. El KADIRI Professeur à la faculté des sciences de Rabat A. SOUISSI Professeur à la faculté des sciences de Rabat A. ZINE EL ABIDINE Professeur à la faculté des sciences de Rabat S. SAJID Professeur à la faculté des sciences et techniques de Mohammedia

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UNIVERSITÉ MOHAMMED V – AGDAL

FACULTÉ DES SCIENCES

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Remerciements

Mes remerciements iront tout d’abord à Mr le professeur Mohammed El KADIRI de la faculté Mohammed V de Rabat et Mr le professeur Saïd SAJID de la faculté des sciences et techniques de Mohammedia, pour le soutien et l’intérêt qu’ils ont apporté à cette thèse. Leurs conseils furent toujours précieux aussi bien sur le fond que sur la forme.

Mes vifs remerciements vont également à Mme Awatif SAYAH, pour avoir accepté de présider le jury. Merci.

J’exprime toute ma gratitude à Mr le professeur Gulio PIANIGIANI Professeur de l’Université des Sciences de Florence (Italie), Mr le professeur Serge Gautier professeur de l’Université de Pau et des Pays de l’Adour (France), Mr le professeur Brahim AGHEZZAF de la Faculté des Sciences de Casa, Mr le professeur Saïd SAJID de la Faculté des Sciences et Techniques de Mohammedia, qui ont accepté d’être rapporteurs de ce travail. Merci d’avoir donné de votre temps. Vos conseils et vos orientations ont été d’un grand bénéfice. Mes respects.

Je voudrais remercier Mrs le professeur Ali SOUSSI et Zine ELABIDINE Abdelali, professeurs à la faculté Mohammed V de Rabat, pour le temps qu’ils ont consacré à examiner cette thèse, je suis également honoré par leurs présences parmi les membres du jury.

Ma reconnaissance va aussi à Mr Mounir Rhazi et Mr Mounir El Figuigui, pour leur amitié et leur soutien.

Par ce travail, je rends hommage à mon père Mr Haj Mohammed MORCHADI, à ma Mère Haja Saadia ALOUANI, à ma sœur Rachida MORCHADI, à mes frères et sœurs, sans qui tout ceci n’aurait jamais été possible. Un grand merci à tous.

A ma femme, à ma fille, un merci particulier. Merci d’être là.

Je tiens à remercier la famille AKHIYAT, pour leur sympathie. Mes respects.

Enfin, je remercie l’ensemble des collègues du département de mathématiques de la faculté des sciences et techniques de Mohammedia.

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Table des matières

01 02 05 06 16 16 17 18 29 29 30 30 32 34 46 47 52 53 55 58 62 Introduction générale

Un résultat de viabilité pour une inclusion différentielle du premier ordre

Introduction Résultat principal

Preuve du résultat principal

Perturbation de Carathéodory d’une inclusion différentielle cycliquement monotone du second ordre avec contrainte

Introduction Résultat principal

Preuve du résultat principal

Un résultat de viabilité pour une inclusion différentielle non convexe du second ordre

Introduction

Notations, Définitions et résultat principal Résultat principal

Fonctionnelles semi-continues supérieurement Preuve du résultat principal

Sélection de multifonctions à valeurs convexes compactes : sélection de Steiner

Introduction

Notations et rappels

Centre de Steiner et différentiabilité Centre de Steiner et intégrabilité Centre de Steiner et multi-mesures Centre de Steiner et optimisation Remarques sur d’autres centres

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Introduction G´

en´

erale

Cette thèse est une contribution à la théorie de la viabilité et à l’étude de sélections de multifonctions, notamment la sélection de Steiner. Elle comporte deux parties.

La première partie s’intéresse à certains problèmes relevant du domaine de la théorie de la viabilité multivoque. Elle porte sur l’existence de solutions avec contrainte sur l’état de certaines classes d’inclusions différentielles du premier et du second ordre et dont le second membre n’est pas nécessairement convexe.

L’étude des problèmes de viabilité occupe une place importante grâce à leurs applications à diverses disciplines : l’économie mathématique, la théorie des jeux et la théorie de contrôle. Dans la plupart des travaux concernant les inclusions différentielles, bien que le champ de vecteurs, soit en général, seulement semi-continu supérieurement, la convexité et la compa-cité s’avèrent des conditions incontournables.

Le concept de la viabilité a été introduit par Nagumo [12] et depuis il a connu une très large extension. Il s’agit d’établir la condition nécessaire et suffisante pour qu’une équation différentielle admette une trajectoire viable (i.e. qui demeure localement dans un sous-ensemble donné à priori); cette condition est que la fonction demeure dans le cône contingent à l’espace des états. Ce résultat a été étendu au cas multivoque par Haddad en 1981 [9]. Concernant le cas de la viabilité multivoque du second ordre, la littérature est à notre connaissance très pauvre. Citons par exemple, les résultats de Haddad [4], Auslender et Me-chler [3], Lupulescu [10,11] et Aghazzaf et Sajid [1].

Dans la présente thèse, on s’intéresse à l’existence de solutions viables en l’absence, en général, de la convexité du second membre.

La deuxième partie traite des proptiétés de la sélection de Steiner. Lorsque nous considérons une multifonction F à valeurs convexes compactes, l’identification d’un centre pour chaque valeur prise par F nous fournit une sélection. L’existence de sélections est assurée par l’axiome de choix, mais l’existence seule, n’est pas en générale porteuse de renseignements suffisants. Il est clair qu’il est souhaitable de pouvoir identifier des sélections qui hériteront des propriétés de la multifonction originale, notamment, la mesurabilité, la continuité, la différentiabilité...

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Le pr´esent travail regroupe quatre chapitres :

1) Un Résultat de Viabilité pour une Inclusion Différentielle Cycliquement Monotone du Premier ordre.

2) Perturbation de Carath´eodory d’une Inclusion Diff´erentielle Cycliquement Monotone du Second ordre avec Contrainte.

3) Un Résultat de Viabilité pour une Inclusion Différentielle non Convexe du Second ordre. 4) Une Sélection Remarquable de Multifonctions à Valeurs Convexes Compactes: Sélection de Steiner.

Le chapitre 1 s’inscrit dans la lignée des travaux de Bressan, Cellina et Colombo [4], An-cona et Colombo [2]. Ces derniers ont prouvé l’existence de solutions pour des inclusions différentielles du premier ordre, de type cycliquement monotone. Le résultat principal de cette section, consiste à étendre leurs travaux au domaine de la viabilité. Ainsi, on démontre l’existence de solutions viables pour une inclusion différentielle de type :

(1.1)    . x_{∈ f(t,x) + F (x),} p.p. t_{∈ [0,T ];} x(0) = x0 ∈ K; x(t)_{∈ K} _{∀t ∈ [0,T ].}

Où le champ F est cycliquement monotone, semi-continu supérieurement à valeurs non nécessairement convexes, perturbé par un champ univoque f mesurable en temps et continu en espace et K est un fermé de IRn.

Dans la littérature, si F est une multi-application définie de K à valeurs convexes compactes non vides dans IRn_{; alors d’une manière abstraite, une solution viable est obtenue en ajoutant}

aux conditions entraˆınant l’existence de solutions, une hypoth`ese sur la direction du champ multivoque dite condition tangentielle de type :

F (x)_{∩ T}K(x)6= Ø,

TK(x) désigne le cône contingent à K en x. Cependant, cette condition s’est avérée jusqu’à

pr´esent insuffisante dans le cas non convexe.

Dans le pr´esent travail, la condition de tangence adopt´ee est la suivante : ∀ (t,x) ∈ IR × K, ∃v ∈ F (x) telle que : (CT1) lim h→0+inf 1 hdK(x + hv + Rt+h t f (τ,x)dτ ) = 0.

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Les techniques de démonstration reposent sur la méthode d’Euler : on construit une suite de solutions approchées et, via le théorème d’Ascoli, on montre qu’on peut en extraire une sous-suite qui converge vers une solution du problème (1.1).

Le chapitre 2 consiste à établir l’existence de solutions viables pour une classe d’inclusions différentielles du second ordre de type :

(1.2)    .. x(t) ∈ f(t,x(t), ˙x(t)) + F (x(t), ˙x(t)) p.p. t∈ [0,T ]; (x(0); ˙x(0)) = (x0,y0)∈ K × U x(t)_{∈ K} _{∀t ∈ [0,T ].}

Où F est une multifonction définie de IR× K × U semi-continue supérieurement, cyclique-ment monotone à valeurs compactes dans IRn. U est un ouvert de IRn, K est un fermé de IRn. f est de Carathéodory. Moyennant la condition de tangence suivante :

∀(t,x,v) ∈ IR × K × U, ∃w ∈ F (x,v) telle que (CT2) lim h→0+inf 1 h2dK(x + hv + h2 2 w + Rt+h t f (τ,x,v)dτ ) = 0.

Le chapitre 3, s’inscrit dans la même optique que plusieurs travaux de De Blasi, Pianigiani [6,7,8,13] et Sajid [14], dans la mesure où le champ multivoque n’est ni convexe ni compact et dont l’enveloppe convexe fermée est d’intérieur non vide dans un espace de Hilbert séparable. On démontre l’existence de solutions viables du problème :

(1.3)    .. x ∈ extF (t,x) p.p. t∈ [0,T ]; (x(0); ˙x(0)) = (x0,y0); x(t)_{∈ K} _{∀t ∈ [0,T ].}

Sous une nouvelle condition de tangence. Plus precisément, soient H un espace de Hilbert, K un convexe fermé non vide de H et F une multifonction de [0,T ]× K à valeurs convexes faiblement compactes d’intérieurs non vides dans H. On suppose que F vérifie la condition de tangence suivante : Il existe un convexe compact D tel que pour tout (t,x)_{∈ [0,T ]×K, on ait}

(CT3)

intF (t,x)]_{∩ T}K(x)∩ D 6= ∅;

co[(extF (t,x))_{∩ T}K(x)∩ D] = F (t,x) ∩ TK(x)∩ D.

TK(x) désigne le cône contingent à K en x, co, int et ext désignent réspectivement

l’enve-loppe convexe ferm´ee, l’int´erieur dans H et l’ensemble des points extremaux.

Notons que dans la littérature, pour une multifonction continue, uniformément bornée à valeurs non convexes, une solution viable est obtenue grâce à la condition F (x) _{⊂ T}K(x).

Cette condition est plus forte que la condition (CT3)

Les techniques de démonstrations reposent sur le théorème de Baire.

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convexes compactes. Etant donné un convexe compact K de IRn, il existe plusieurs approches pour définir un point de K que l’on appelle centre. On montre qu’en général la sélection cor-respondante au centre de Steiner, hérite des propriétés de mesurabilité, de différentiabilité et de comportement lipschitzien. Une analyse détaillée sur le centre de Steiner est donnée dans dans l’article de Saint. Pierre [15].

[1] B. Aghezaaf and S. Sajid. On the Second Order Contingent Set and Differential In-clusions, Journal of Convex Analysis, 7:183-195, (2000).

[2] F. Ancona, G. Colombo, Existence of Solutions for a class of Nonconvex Differential Inclusions, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, Vol. 83 (1990)

[3] A. Auslender and J. Mechler, Second Order Viability Problems for Differential In-clusions, Academic Press, Inc.(1994).

[4] A. Bressan, A. Cellina, G. Colombo, Upper Semicontinuous Differential Inclusions Without Convexity, Proc. Am. Math. Soc. 106, 771-775 (1989).

[5] B. Cornet and G. Haddad,Théorème de Viabilité pour les Inclusions Différentielles du Second Ordre, Isr.J.Math. vol.57,2(1989), 225-238 (1989).

[6] F.S. De Blasi and G. Pianigiani, The Baire Category Approach to the Existence of Solutions of Multivalued Differential Inclusions in Banach Spaces, Funkcial. Ekvac. (2)25, 153-162 (1982).

[7] F.S. De Blasi and G. Pianigiani, A Baire Category Method in Existence Problems for a Class of Multivalued Differential Equations with Nonconvex right-hand side, Funkcial. Ekvac. (2) 28, 139-156 (1985).

[8] F.S. De Blasi and G. Pianigiani, Differential Inclusions in Banach Spaces, J. Diff. Eq. 66, 208-229 (1987).

[9] G. Haddad, Monotone Trajectories of Differential Inclusions and Functional Differen-tial Inclusions with Memory, Isr.J. Math., 39 , 83-100 (1981).

[10] V.Lupulescu, Existence of solutions for nonconvex second-order differential inclusions, Applied Mathematics E-notes, 3, 115-123 (2003).

[11]V.Lupulescu, A Viability Result for Second-Order Differential Inclusions, ejde, No. 76 pp1-12 (2002).

[12]M. Nagumo, ¨Uber die Lage der Integralkurven gew¨ohnlicher Differentialgle-iIchungen, Proc. phys. math. soc. Japan 24, 551-559 (1942).

[13] G. Pianigiani, Differential inclusions, the Baire Category Method, in: Method of non-convex analysis, Ed. A. Cellina, Springer-Verlag, Berlin , 1446, 104-136 (1989).

[14] S. Sajid. Solution Viable d’une Inclusion Diff´erentielle non Convexe. C.R. Acad. Sci. Paris,I 143-147 (1997).

[15] J. Saint-Pierre, Point de Steiner et Sélection Lipshitzienne, Travaux du Séminaire d’analyse convexe, Montpellier, Exposé 7, (1985).

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Chapitre I

Un R´

esultat de Viabilit´

e pour une Inclusion

Diff´

erentielle du Premier ordre

Résumé. Dans ce chapitre, on prouve l’existence de solutions viables pour une inclusion différentielle du premier ordre de type :

.

x _{∈ f(t,x) + F (x), x(t) ∈ K}

où K est un fermé de IRn, F est une multifonction semi-continue supérieurement, cyclique-ment monotone à valeurs compactes non vides de IRn et f une fonction de Carathéodory.

1. Introduction

Dans ce travail, on présente un résultat d’existence de solutions locales d’une inclusion différentielle du premier ordre avec contrainte sur l’état et dont le second membre est une multifonction cycliquement monotone, perturbée par une fonction de Carathéodory.

Plus précisément, soient K une partie non vide, fermée de IRn, F : K → IRn

une multifonc-tion cycliquement monotone, semi-continue sup´erieurement `a valeurs compactes dans IRn et soit f : IR× K → IRn

une fonction de Carath´eodory. On prouve l’existence de solutions du probl`eme :

(1.1)    . x_{∈ f(t,x) + F (x), p.p t∈ [0,T ];} x(0) = x0 ∈ K; x(t)∈ K ∀t ∈ [0,T ].

Des résultats d’existence pour cette classe d’inclusions différentielles ont été obtenus par Bressan, Cellina, Colombo [1] et Colombo, Ancona [2]. Notre travail consiste à étendre leurs travaux aux problèmes de la viabilité.

Dans la littérature, une solution viable pour une équation différentielle multivoque du pre-mier ordre, dont le second membre n’est pas convexe, est obtenue en ajoutant aux conditions assurant l’existence de solutions, une condition supplémentaire dite, condition de tangence. Dans ce travail, la condition de tangence adoptée est donnée comme suit :

∀ (t,x) ∈ IR × K, ∃v ∈ F (x), telle que : lim h→0+inf 1 hdK(x + hv + Z t+h t f (τ,x)dτ ) = 0

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2. R´esultat principal

On munit l’espace IRn du produit scalaireh.,.i et la norme k.k. Soient K un ferm´e de IRn

, F une multifonction d´efinie de K `a valeurs compactes non vides dans IRn _{et f une fonction}

d´efinie de IR_{× K `a valeurs dans IR}n_.

On suppose que F et f v´erifient les conditions suivantes :

A1 F est semi-continue sup´erieurement, i.e.∀x ∈ IRn et pour tout ε > 0, il existe δ > 0, tel

que F (x0₎

⊆ F (x) + εB, d`es que kx − x0

k ≤ δ, B est la boule unit´e de IRn_.

A2 Il existe une fonction convexe, propre et semi-continue inf´erieurement V : IRn → IR, telle

que F (x)_{⊂ ∂V (x), ou ∂V est le sous-diff´erentiel de V , d´efini par :} ∂V ={z ∈ IRn

/V (y)− V (x) > hz; y − xi ∀y ∈ IRn

}

A3 f : IR× K → IRn est de Carath´eodory, i.e. pour tout (x)∈ K, t → f(t,x) est mesurable

et pour tout t∈ IR, x → f(t,x) est continue. A4 Il existe m∈ L2(IR), tel que :

kf(t,x)k ≤ m(t) ∀(t,x) ∈ IR × K A5 (condition de tangence) ∀ (t,x) ∈ IR × K, ∃v ∈ F (x), telle que :

lim h→0+inf 1 hdK(x + hv + Z t+h t f (τ,x)dτ ) = 0

Soit x0 ∈ K. Sous ces hypoth`eses , on a le r´esultat principal suivant :

Th´eor`eme 2.1 Il existe T > 0 et x(.) : [0,T ]→ IRn

absolument continue, tel que :    . x(t)∈ f(t,x(t)) + F (x(t)) p.p. sur [0,T ] ; x(0) = x0 ∈ K; x(t)_{∈ K ∀t ∈ [0,T ] .} 3. Preuve du r´esultat principal

Lemme 3.1. Soit V une fonction convexe, propre et semi-continue inf´erieurement telle que pour tout x_{∈ IR}n_{, F (x)}

⊂ ∂V (x). Alors il existe rx, Mx > 0, tel que :

kF (x)k = sup

z∈F(x)kzk ≤ M x

sur B(x,rx) et V soit Mx-Lipschitzienne sur B(x,rx).

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Le résultat suivant jouera un rôle important dans la preuve du théorème 2.1. Lemme 3.2 On suppose que F et f vérifient les conditions A1,...,A5. Alors ∀ε > 0

∃η > 0 (η < ε) ∀(t,x) ∈ [0,T ] × K0, ∃u ∈ F (x,v) + ε TB et h∈ [η,ε] , tel que : x + hu + Z t+h t f (s,x) ds∈ K.

Preuve. Soient (t,x) _{∈ [0,T ] × K}0 et ε > 0. Puisque F est semi-continue sup´erieurement,

alors, il existe δx > 0, tel que :

F (y)_{⊂ F (x) + εB, ∀y ∈ B(x,δ}x)

Soit (s,y)∈ [0,T ]×K. En vertu de la condition de tangence, il existe hs,y ∈ ]0,ε] et v ∈ F (y),

tel que : dK(y + hs,yv + Z s+hs,y s f (τ,y) dτ ) < hs,y ε 4T Consid´erons les ensembles d´efinis par :

N (s,y) = (t,z)∈ IR × IRn / dK z + hs,yv + Z t+hs,y t f (τ,z)dτ < hs,y ε 4T Puisque : kf(s,z)k ≤ m(s) p.p sur [0,T ] , ∀z ∈ IRn ,

alors le théorème de convergence dominée, appliqué à la suite de fonctions (χ[t,t+hτ]f (.,.))t

entraˆıne la continuit´e de la fonction :

(l,z) _{→ z + h}s,yv + +

Z l+hs,y

l

f (τ,z) dτ

Par cons´equent, la fonction :

(l,z) _{→ d}K z + hs,yv + Z l+hs,y l f (τ,z)dτ

est continue. On en d´eduit que l’ensemble N (s,y) est un ouvert.

De plus, puisque (s,y)_{∈ N(s,y), il existe une boule B((s,y),η}τ,y) de rayon η(τ,y) < δx incluse

dans N (s,y). Par cons´equent, on peut recouvrir le compact [0,T ]× K0 par un nombre fini de

boules B((si,yi),ηsi,yi), i = 1,....,q. Pour simplifier, notons hsi,yi = hi, i = 1,...,q. Posons :

η = min

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Soit (t,x) ∈ [0,T ] × K0. Puisque (t,x) ∈ B((si,yi),ηsi,yi) qui est incluse dans N (si,yi), alors

il existe xi ∈ K et ui ∈ F (yi), tel que :

ui− 1 hi (xi− x − Z t+hi t f (s,x) ds) ≤ 1 hi dK x + hiui+ Z t+hi t f (τ,z)dτ + ε 4T ≤ ε 2T. Posons : u = 1 hi (xi− x − Z t+hi t f (s,x) ds) donc x + hiu + Z t+hi t f (s,x) ds∈ K et kui− uk ≤ ε 2T Comme kx − yik < η(τ,y) < δx alors F (yi)⊂ F (x) + ε 2TB, par cons´equent u∈ F (x) + ε TB. Ceci compl`ete la preuve du Lemme 3.2.

Notre approche repose sur la méthode d’Euler : on construit une suite de solutions ap-prochées, via le théorème d’Ascoli, on montre qu’on peut en extraire une sous-suite qui converge vers une solution du problème (1.1).

Construction de solutions approch´ees

Soient x0 ∈ K0 et ε < T . D’apr`es le Lemme 3.2, il existe η > 0, h0 ∈ [η,ε] et

u0 ∈ F (x0) + ε TB, tel que : x1 = x0+ h0u0+ Z h0 0 f (s,x0) ds∈ K Alors, si h0 ≤ T , on a :

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d’o`u x1 ∈ K0.

Pour (h0,x1), en utilisant le Lemme 3.2, il existe h1 ∈ [η,ε] et u1 ∈ F (x1) +

ε TB, tel que : x2 = x1+ h1u1+ Z h0+h1 h0 f (s,x1) ds∈ K On a : kx2 − x0k = h0u0+ Z h0 0 f (s,x0) ds + h1u1+ Z h0+h1 h0 f (s,x1) ds Alors, si h0+ h1 < T, on obtient : kx2 − x0k ≤ Z T 0 (M + 1 + m(s)) ds ≤ r 2 Donc, x2 ∈ K0.

Posons h−1 = 0, puisque hi ∈[η,ε] , il existe un entier s tel que : s−1 P i=0 hi < T ≤ s P i=0 hi

En vertu du Lemme 3.2, on construit par r´ecurrence les suites finies (hp)p ⊂ [η,ε], (xp)p ⊂ K0, et (up)p, tel que pour tout p = 0,...,s− 1, on a :

xp+1 = xp + hpup + Z hp−1+hp hp−1 f (s,xp) ds∈ K up ∈ F (xp) + ε TB.

V´erifions que pour tout p_{≥ 2 (x}p)p ⊂ K0.

On a : xp = x0+ i=p−1 P i=0 hiui+ i=p−1 P i=1 Z i P j=0 hj i−1 P j=0 hj f (τ,xi) dτ up ∈ F (xp) + ε TB

(14)

Ensuite, on a l’égalité kxp − x0k = i=p−1 P i=0 hiui+ i=p−1 P i=0 Z i P j=0 hj i−1 P j=0 hj f (τ,xi) dτ ≤ (M + 1) i=p−1 P i=1 hi+ Z T 0 m(τ ) dτ Puisque i=p−1 P i=0 hi ≤ T , alors, on a kxp − x0k ≤ r 2. Par conséquent xp ∈ K0. Pour tout entier k, q = 0,...,s, notons hk

q le réel associé à ε =

1

k et x = xq donné par le Lemme 3.2. Considérons la suite (τ_kq)_k définie par :

τ0

k = 0 , τks = T

τ_kq= hk

0 + ... + hkq−1

Puis, on d´efinit sur τkq−1,τ q

k la suite de fonctions (xk(.))k par :

   xk(t) = xq−1+ (t− τkq−1)uq−1+ Z t τ_kq−1 f (s,xq−1)ds xk(0) = x0

En d´erivant par rapport au temps, on obtient :

˙xk(t) = uq−1+ f (t,xq−1 )

Convergence de solutions approch´ees

Par d´efinition de la suite (xk(.))k, on a les relations :

1)_{k ˙x}k(t)k ≤ kuq−1k + kf(t,xq−1 )k ≤ M + 1 + m(t); 2)_kxk(t)k = xk(τkq−1) + Z t τ_kq−1 ˙xk(τ )dτ ≤ kxq−1k + Z T 0 (M + 1 + m(t))dτ ≤ kx0k + r 2 + r 2 ≤ kx0k + r. Donc

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La suite ( ˙xk(.))k est int´egralement born´ee dans L2([0,T ] ,IRn) et pour tout t ∈ [0,T ],

l’en-semble {xk(t), k ∈ IN} est relativement compact. D’après le théorème d’Ascoli, il existe

une sous-suite encore not´ee (xk(.))k et une fonction absolument continue x(.): [0,T ] → IRn,

telles que :

i) xk(.) converge uniform´ement vers x(.);

ii)x.k(.) converge faiblement dans L2([0,T ] ,IRn) vers ˙x(.).

On démontre que la famille des solutions approchées (xk(t))k vérifie la propriété suivante :

Proposition 3.3 Pour tout t_{∈ [0,T ], il existe q ∈ {1,...,s} , telle que :} lim

k→∞dgrF((xk(t); .

xk(t)− f(t,xk(τkq−1))) = 0

Preuve. Pour t ∈ [0,T ] . Par construction de la suite τkq, il existe q, tel que t∈τ q−1 k ,τ q k et (τ_kq)k converge vers t. Puisque . xk(t)− f(t,xk(τ_kq−1)) = uq−1 ∈ F (xk(τ_kq−1)) + 1 kTB alors lim k→∞dgr(F )((xk(t); . xk(t)− f(t,xk(τkq−1))) ≤ lim k→∞( xk(t)− xk(τkq−1) + 1 kT) Ce qui implique : lim k→∞dgr(F )((xk(t), . xk(t)− f(t,xk(τkq−1))) = 0

Ceci compl`ete la preuve de la proposition 3.3.

Puisque xk(.) converge uniform´ement vers x(.) , ˙xk(.) converge faiblement dans L2([0,T ] , IRn)

vers ˙x(.), ( f (.,xk(.), ˙xk(.) )k et ( f (.,xk(τkq−1), ˙xk(τkq−1) )k convergent vers f (.,x(.), ˙x(.)) dans

L2_{([0,T ] ; IR}n

). Comme F est semi-continue supérieurement alors, en appliquant le théorème 1.4.1 dans [3], x(.) est une solution du problème convexifié suivant :

. x(t)_{∈ f(t,x(t)) + coF (x(t))} x(0) = x0 Par cons´equent, _{∀ t ∈ [0,T ] on a :} . x(t)− f(t,x(t)) ∈ ∂V (x(t)) (3.1)

(16)

Preuve. Tout d’abord, on montre que (kx.kk₂)k converge vers k .

xk2. Puisque les fonctions

x(.) et V (x(.)) sont absolument continues, de la relation (3.1) et du Lemme 3.3 dans [4], on obtient : d dtV (x(t)) =h . x(t);x(t). − f(t,x(t))i p.p. sur [0,T ] Donc, on a l’´egalit´e : V (x(T ))_{− V (x}0) = Z T 0 k . x(s)_k2ds₋ Z T 0 h . x(s), f (s,x(s))_{i ds} (3.2) D’autre part, pour tout q = 1,...,s

. xk(t)− f(t,xk(τkq−1) = . xk(t)− f(t,xq−1)∈ ∂V (xk(τkq−1)) + 1 kTB, il existe bq ∈ B, tel que :

. xk(t)− f(t,xq−1) + 1 kTbq ∈ ∂V (xk(τ q−1 k ))

Par d´efinition du sous-diff´erentiel, on a, pour tout z ∈ ∂V (xk(τkq−1))

V (xk(τkq))− V (xk(τkq−1))≥< xk(τkq)− xk(τkq−1); z > (3.3) en particulier pour z =x.k(t)− f(t,xq−1) + 1 kTbq, donc : V (xk(τ q k))− V (xk(τkq−1)) ≥ < Z τ_kq τ_kq−1 . xk(s)ds ; . xk(t)− f(t,xq−1) + 1 kTbq > Par suite V (xk(τ q k))− V (xk(τkq−1)) ≥ Z τ_kq τ_kq−1 <x.k(s); . xk(s) > ds + Z τ_kq τ_kq−1 <x.k(s); 1 kTbq > ds − Z τ_kq τ_kq−1 <x.k(s); f (s,xk(τ_kq−1)) > ds

(17)

En faisant une sommation sur q, on obtient : V (xk(T ))− V (x0)≥ Z T 0 k . xk(s)k 2 ds₋ s X q=1 Z τ_kq τ_kq−1 <x.k(s) , f (s,xk(τkq−1)) > ds + s P q=1 1 kT Z τ_kq τ_kq−1 <x.k(s) ; bq> ds (3.4) Proposition 3.5 La suite s P q=1 Z τ_kq τ_kq−1 <x.k(s); f (s,xk(τkq−1)) > ds ! k converge vers Z T 0 <x(s) ; f (s,x(s)) > ds..

Preuve. On a les in´egalit´es suivantes :

s P q=1 Z τ_kq τ_kq−1 <x.k(s); f (s,xk(τkq−1)) > ds− Z T 0 <x(s); f (s,x(s))) > ds. = s P q=1 Z τ_kq τ_kq−1 <x.k(s); f (s,xk(τkq−1)) >− < . x(s); f (s,x(s)) > ds ≤ s P q=1 Z τ_kq τ_kq−1 < . xk(s); f (s,xk(τkq−1)) > − < . x(s); f (s,x(s)) > ds ≤ s P q=1 Z τ_kq τ_kq−1 <x.k(s); f (s,xk(τkq−1)) >− < . xk(s); f (s,xk(s)) > ds + s P q=1 Z τ_kq τ_kq−1 k<x.k(s); f (s,xk(s)) >− < . xk(s); f (s,x(s)) >k ds + s P q=1 Z τ_kq τ_kq−1k< . xk(s); f (s,x(s)) >− < . x(s); f (s,x(s)) >_{k ds} = s P q=1 Z τ_kq τ_kq−1 <x.k(s); f (s,xk(τkq−1)) > − < . xk(s); f (s,xk(s)) > ds + Z T 0 k< . xk(s); f (s,xk(s)) > − < . xk(s); f (s,x(s)) >k ds + Z T 0 k< . xk(s); f (s,x(s)) >− < . x(s); f (s,x(s)) >k ds

Puisque f est de Carath´eodory, xk(.)→ x(.) uniform´ement, k ˙xk(s)k ≤ M + 1 + m(s),

m(.)_{∈ L}2_{([0,T ] ,IR}n_{) et ˙x}

k(.)→ ˙x(.) faiblement dans L2([0,T ] ,IRn), le dernier terme converge

vers 0. Ceci compl`ete la preuve de la Proposition 3.5. De plus, puisque : lim k→∞ s P q=1 1 kT Z τ_kq τ_kq−1 <x.k(s) ; bq > ds = 0

(18)

En passant `a la limite pour k → ∞ dans la relation (3.4) et en utilisant la continuit´e de la fonction V sur la boule B(x0,r), on obtient l’estimation suivante :

V (x(T )_{− V (x}0)≥ lim k→∞sup Z T 0 k . xk(s)k 2 ds₋ Z T 0 <x(s) ; f (s,x(s)) > ds.. L’in´egalit´e (3.2) entraˆıne kx.k22 ≥ lim_k→∞supk . xkk 2 2

Par ailleurs, compte tenu de la semi-continuit´e inf´erieure de la norme, on obtient la relation :

kx.k22 ≤ lim_k→∞inf k .

xkk2₂

On en d´eduit que lim

k→∞k ˙xkk 2

2 =k ˙xk 2

2, i.e. ( ˙xk(.))kconverge fortement vers ˙x(.) dans L2([0,T ] ,IRn).

En cons´equence, il existe une sous-suite ˙xk(.) qui converge, presque partout, vers ˙x(.).

Compte tenu de la proposition 3.3, on conclue que :

dgrF((x(t); .

x(t)_{− f(t,x(t))) = 0 p.p. sur [0,T ]} Vu que le graphe de F est ferm´e, donc :

.

x(t)_{∈ f(t,x(t)) + F (x(t))} p.p sur [0,T ] . Pour finir, pour tout t_{∈ [0,T ] , il existe une suite (τ}_kq)_k, telle que lim

k→∞ τ q k = t. Puisque lim k→∞kx(t) − xk(τ q

k)k = 0, xk(τkq) ∈ K et K est ferm´e, en passant `a la limite pour

k _{→ ∞, on obtient x(t) ∈ K.}

(19)

Bibliographie

[1] A. Bressan, A. Cellina, G. Colombo, Upper Semicontinuous Differential Inclusions Without Convexity, Proc. Am. Math. Soc. 106 (1989) 771-775.

[2] F. Ancona, G. Colombo, Existence of Solutions for a Class of Nonconvex Differential Inclusions, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, Vol. 83 (1990).

[3] J. P. Aubin, A. Cellina,Differential Inclusions, Spring-Verlag, Berlin,1984.

[4] H. Brezis, Op´erateurs Maximaux Monotones et Semi-groupes de Contractions dans les Espaces de Hilbert, North-Holland, Amsterdam,(1973).

[5] P. Rossi, Viability for Upper Semicontinuous Differential Inclusions without convexity. Diff. Int. Eqs. 5 (1992), no. 2, 455-459.

(20)

Chapitre II

Perturbation de Carath´

eodory d’une Inclusion

Diff´

erentielle Cycliquement Monotone

du Second Ordre avec Contrainte

Résumé. On montre l’existence de solutions viables pour une inclusion différentielle du second ordre de type :

¨

x(t)_{∈ f(t,x(t), ˙x(t)) + F (x(t), ˙x(t)), x(t) ∈ K}

où K est une partie fermée de IRn, F est une multifonction semi-continue supérieurement, cycliquement monotone à valeurs compactes non vides et f une fonction de Carathéodory.

1. Introduction

Ce travail, présente un résultat d’existence de solutions locales d’une inclusion différentielle du second-ordre avec contrainte sur l’état et dont le second membre est une multifonction cycliquement monotone perturbée par une fonction de Carathéodory.

Plus précisément, soient K une partie fermée non vide de IRn_{, U une partie ouverte de}

IRn _{et soit F : K}

× U → IRn _{une multifonction cycliquement monotone semi-continue}

sup´erieurement `a valeurs compactes dans IRn _{et f : IR}n

× K × U → IRn _{une fonction de}

Carath´eodory.

On prouve l’existence de solutions du probl`eme (1.1) suivant :

(1.1)    .. x(t)∈ f(t,x(t), ˙x(t)) + F (x(t), ˙x(t)); (x(0), ˙x(0)) = (x0,y0)∈ K × U x(t)_{∈ K.}

Des résultats d’existence pour des inclusions différentielles semi-continues supérieurement et cycliquement monotones et sans contraintes du premier ordre ont été prouvés initialement par Bressan, Cellina et Colombo [7]. Leur approche est basée sur les propriétés du sous-différentiel et pour palier à la difficulté de la convergence faible, les auteurs ont utilisé la relation :

d

dt(V (x(t)) = k

.

(21)

D’autre part, pour des inclusions différentielles du second ordre semi-continues spérieurement dont le second membre n’est pas convexe, des résultats d’existence de solutions viables ont fait l’objet des travaux de Lupulescu [9,10]. Le premier prouve l’existence de solutions du problème (1.1) dans le cas où f _{≡ 0. Le second étudie le problème (1.1) dans le cas sans} contraintes, i.e. K = IRn_.

Rappelons que le premier résultat de viabilité pour une inclusion différentielle du second ordre, a été prouvé par Cornet et Haddad [8]. Les auteurs se sont intéressés au problème (1.1) dans le cas non cycliquement monotone mais convexe. Depuis, des recherches se sont poursuivis par Auslender et Mechler [4] et Aghezzaf et Sajid [1]. Dans la littérature, le point crucial pour l’étude des problèmes de viabilité du second ordre est la condition de tangence. Même si le champ de vecteurs est à valeurs convexes, elle fait appel à des concepts non explicites, tels le cône intérieur introduit par Duboviskij et Muljitin [11] et l’ensemble contingent du second ordre introduit par Ben Tal [5]. Pour plus de précisions, on se réfère aux travaux [1,3,4,12] .

En ce qui nous concerne, on suppose la condition de tangence suivante :∀ (t,x,v) ∈ IR×K×U, ∃w ∈ F (x,v), telle que : lim h→0+inf 1 h2dK(x + hv + h2 2 w + Z t+h t f (τ,x,v)dτ ) = 0 2. R´esultat principal

On munit l’espace IRn_{du produit scalaire}

h.,.i et de la norme k.k. Soient K un ferm´e de IRn_,

U un ouvert non vide de IRn _{et Ω = K}

× U. F une multifonction définie de Ω à valeurs compactes non vides dans IRn et f une fonction définie de IRΩ valeurs dans IRn.

On suppose que F et f v´erifient les conditions A1,...,A5 suivantes :

A1 F est semi-continue sup´erieurement, i.e. ∀(x,y) ∈ IRn× IRn et pour tout ε > 0 il existe

δ > 0 tel que on a F (x0_,y0₎ _{⊆ F (x,y) + εB, des que k(x,y) − (x}0_,y0_{k ≤ δ B ´etant la boule}

unit´e de IRn;

A2 Il existe une fonction convexe, propre et semi-continue inf´erieurement V : IRn→ IR tel

que : F (x,y)⊂ ∂V (y), où ∂V désigne le sous-différentiel de V ;

A3 f : IR× Ω → IRnest de Carath´eodory , i.e. pour tout (x,y)Ω, t → f(t,x,y) est mesurable

et pour tout t_{∈ IR, (x,y) → f(t,x,y) est continue;} A4 Il existe m∈ L2(IR) telle que :

kf(t,x,y)k ≤ m(t) ∀(t,x,y) ∈ IR × Ω; A5 (condition de tangence) ∀ (t,x,v) ∈ IR × Ω, ∃w ∈ F (x,v), telle que :

lim h→0+inf 1 h2dK(x + hv + h2 2 w + Z t+h t f (τ,x,v)dτ ) = 0.

(22)

Soit (x0,y0)∈ Ω. Sous ces hypoth`eses, on a le r´esultat principal suivant :

Théorème 2.1. Il existe T > 0 et x(.) : [0,T ]_{→ IR}n_{absolument continue avec ˙x(.)également}

absolument continue, tels que

(1.1)    .. x(t) _{∈ f(t,x(t), ˙x(t)) + F (x(t), ˙x(t));} (x(0), ˙x(0)) = (x0,y0)∈ Ω; x(t)_{∈ K.}

3. Preuve du r´esultat principal

Avant de démontrer le résultat principal, on commence tout d’abord, par donner les Lemmes suivants, qui joueront un rôle important dans la preuve du Théorème 2.1.

Lemme 3.1. Soit V une fonction convexe, propre et semi-continue inf´erieurement tel que pour tout (x,y)_{∈ Ω, F (x,y) ⊂ ∂V (y), alors il existe r}(x,y), M(x,y) > 0 telle que

kF (x,y)k = sup

z∈F(x,y)kzk ≤ M (x,y)

sur B((x,y),r(x,y)) et V soit M(x,y) Lipschitzienne sur B(y,r(x,y)).

Pour la démonstration de ce lemme, se référer à [7].

Dans la suite de ce chapitre, notons Ω0 le compact (K×B(y0,r))∩B((x0,y0),r), r = r(x0,y0)et

M = M(x0,y0), soient T1 > 0 tel que :

Z T1 0 (m(s)+M +1) ds < r 3, T2 = min r 3(M + 1), 2r 3 (_ky0k + r) et 0 < T _{≤ min (T}1,T2).

Lemme 3.2 On suppose que F et f v´erifient les conditions A1,...,A5. Alors ∀ε > 0

∃η > 0 (η < ε) ∀(t,x,v) ∈ [0,T ] × Ω0 ∃w ∈ F (x,v) + ε TB et h∈ [η,ε] tel que x + hv + h 2 2 w + Z t+h t f (s,x,v) ds _{∈ K.}

Preuve. Soient (t,x,v) _{∈ [0,T ] × Ω}0, ε > 0. Puisque F est semi-continue sup´erieurement,

alors Il existe δx,v > 0, tel que :

F (y,u) _{⊂ F (x,v) + εB, ∀(y,u) ∈ B((x,v),δ}(x,v))

Pour tout (s,y,u) ∈ [0,T ] × Ω0, en vertu de la condition de tangence, il existe hs,y,u ∈ ]0,ε]

et α∈ F (y,u), telle que :

dK(y + hs,y,uu + h2 s,y,u 2 α + Z s+hs,y,u s f (τ,y,u) dτ ) < h2s,y,u ε 4T

(23)

On introduit les ensembles d´efinis par : N (s,y,u) = (l,z,β)∈ IR × IRn × IRn ,dK(z + hs,y,uβ + h2 s,y,u 2 α + Z l+hs,y,u l f (τ,z,β) dτ ) < h2s,y,u ε 4T . Comme : kf(l,z,β)k ≤ m(l) p.p sur [0,T ] ,∀(z,β) ∈ IRn × IRn_,

alors le théorème de convergence dominée, entraˆıne que la fonction :

(l,z,β) → z + hs,y,uβ + h2 s,y,u 2 α + Z l+hs,y,u l f (τ,z,β) dτ

est continue. Il s’en suit que la fonction (t,z,β) → dK z + hs,y,uβ + h2 s,y,u 2 α + Z l+hs,y,u l f (τ,z,β) dτ

est continue. Par cons´equent N (τ,y) est un ouvert.

De plus, puisque (s,y,u) est dans N (s,y,u), il existe une boule B((s,y,u),η(s,y,u)) de rayon

η(s,y,u)< ε incluse dans N (s,y,u).

Par cons´equent on peut recouvrir le compact [0,T ] × Ω0 par un nombre fini de boules

B((si,yi,ui),ηsi,yi,ui), i = 1,....,q. Notons hsi,yi,ui = hi, i = 1,...,q. Posons η = min

i=1,...,qhi > 0.

Soit (t,x,v)∈ [0,T ] × Ω0.

Puisque (t,x,v), _{∈ B((s}i,yi,ui),ηsi,yi,ui) et B((si,yi,ui),ηsi,yi,ui) ⊂ N(si,yi,ui) alors, il existe

xi ∈ K et αi ∈ F (yi,ui), telle que : αi− 2 h2 i (xi− x − hiv− Z t+hi t f (s,x,v) ds) ≤ 1 h2 i dK x + hiv + h2 i 2αi+ Z t+hi t f (τ,x,v) dτ + ε 4T ≤ ε 2T Posons, w = 2 h2 i (xi− x − hiv− Z t+hi t f (s,x,v) ds) donc x + hiv + h2 t 2 w + Z t+hτ t f (s,z,u)_{∈ K} et _kαi− wk ≤ ε 2T

(24)

Puisque (yi,ui) ∈ B((yi,ui),ηsi,yi,ui) ⊂ B((x,v),δx), on a ; F (yi,ui) ⊂ F (x,v) +

ε

2TB. Par cons´equent w _{∈ F (x,v) +} ε

TB. Ceci compl`ete la preuve.

Notre approche est basée sur la méthode d’Euler : on construit une suite de solutions ap-prochées et via le théorème d’Ascoli, on montre qu’on peut en extraire une sous-suite qui converge vers une solution du problème (1.1).

Construction de solutions approch´ees

Soient (x0,y0)∈ Ω0 et ε < T . D’apr`es le Lemme 3.2, il existe η > 0, h0 ∈ [η,ε] et

w0 ∈ F (x0,y0) + ε TB tels que : x1 = x0+ h0y0+ h2 0 2 w0+ Z h0 0 f (τ,x0,y0) dτ ∈ K, y1 = y0+ h0w0. On a : kx1− x0k = h0y0+ h2 0 2 w0+ Z h0 0 f (τ,x0,y0) dτ ≤ T ky0k + T 2 kw0k + Z h0 0 f (τ,x0,y0) dτ ≤ T ky0k + Z T 0 (M + 1 + m(τ ))dτ ≤ T ky0k + r 3 ≤ r, et ky1− y0k = kh0w0 k ≤ T kw0k < r 3 < r, donc (x1,y1)∈ Ω0. ε

(25)

x2 = x1 + h1y1+ h2 1 2w1+ Z h0+h1 h0 f (τ,x1,y1) dτ ∈ K y2 = y1+ h1w1

Pour ε assez petit, on a h0+ h1 ≤ T et

h2 0 2 + h2 1 2 ≤ T , on obtient : kx2− x0k = h0y0 + h2 0 2 w0+ Z h0 0 f (τ,x0,y0) dτ + h1y1+ h2 1 2 w1+ Z h0+h1 h0 f (τ,x1,y1) dτ ≤ (h0+ h1)(ky0k + r 3) + ( h2 0 2 + h2 1 2 )(M + 1) + Z T 0 m(τ )dτ ≤ T (ky0k + r 3) + Z T 0 (M + 1 + m(τ ))dτ _{≤ T (ky}0k + r 3) + r 3 ≤ r et ky2− y0k = (h0+ h1)(M + 1) < r 3 < r. Donc, on a (x2,y2)∈ Ω0.

Soit ε > 0. Notons h−1 = 0. En vertu du Lemme 3.2, on construit, par r´ecurrence, les suites

finies suivantes: (hp)p, avec hp ∈ [η ,ε] , (xp,yp)p et (wp)p ⊂ IRn, p = 1,...,s−1 o`u s est l’entier

naturel qui v´erifie

s−1 P i=0 hi < T ≤ s P i=0 hi, tels que xp = xp−1 + hp−1yp−1+ h2 p−1 2 wp−1+ Z hp−2+hp−1 hp−2 f (τ,xp,yp) dτ ∈ K yp = yp−1+ hp−1wp−1 wp ∈ F (xp,yp) + ε TB

Par r´ecurrence, pour tout p_{≥ 2 on obtient :}

xp = x0+ i=p−1 P i=0 hiyi+ i=p−1 P i=0 h2 i 2 wi+ i=p−2 P i=1 Z i P j=0 hj i−1 P j=0 hj f (τ,xi,yi) dτ yp = yp−1+ hp−1wp−1 wp ∈ F (xp,yp) + ε TB

(26)

Les suites (xp)n,(yp)n v´erifient les estimations suivantes : kyp− y0k ≤ i=p−1 X i=0 hiwi ≤ T (M + 1) ≤ r 3 ≤ r et kxp− x0k = i=p−1 P i=0 hiyi + i=p−1 P i=0 h2 i 2 wi+ i=p−2 P i=0 Z i P j=0 hj i−1 P j=0 hj f (τ,xi,yi) dτ ≤ (ky0k + r 3) i=p−1 P i=0 hi+ (M + 1) i=p−1 P i=0 h2 i 2 + Z T 0 m(τ ) dτ Et puisque i=p−1 P i=0 hi ≤ T et i=p−1 P i=0 h2 i 2 ≤ T On a : kxp− x0k ≤ (ky0k + r 3)T + Z T 0 ((M + 1) + m(τ )) dτ ≤ T (ky0k + r 3) + r 3 ≤ r Par cons´equent, pour tout 0_{≤ p < s, (x}p,yp)p ⊂ Ω0

Pour tout entier k et q _{∈ {0,...,s}. Soient h}k

q le r´eel associ´e ε =

1

k et (x,y) = (xq,yq) donné par le Lemme 3.2. Considérons la suite (τ_kq)_kdéfinie par :

τ0

k = 0 , τks= T

τ_kq = hk

0+ ... + hkq−1.

Consid´erons la suite de fonctions (xk(.))k d´efinie par ∀t ∈τ_kq−1,τ_kq

  x k(t) = xq−1+ (t− τkq−1)yq−1+ (t_{− τ}_kq−1)2 2 wq−1+ Z t τ_kq−1 (t− τ) f(τ,xq−1 ,yq−1)dτ

(27)

Convergence des solutions approch´ees Par d´efinition de xk(.), on a ∀t ∈ τ_kq−1,τ_kq ˙xk(t) = yq−1+ (t− τkq−1)wq−1+ Z t τ_kq−1 f (τ,xq−1 ,yq−1)dτ ¨ xk(t) = wq−1+ f (t,xq−1 ,yq−1)

En suite, on obtient les majorations suivantes :

1)k¨xk(τ )k ≤ kwq−1k + kf(t,xq−1 ,yq−1)k ≤ M + 1 + m(t); 2)k ˙xk(t)k = ˙xk(τkq−1) + Z t τ_kq−1 ¨ xk(τ ))dτ ≤ kyq−1k + Z T 0 (M + 1 + m(τ ))dτ ≤ kyq−1k + r 3 ≤ ky0k + 2r 3 ; 3)_kxk(t)k = xk(τkq−1) + Z t τ_kq−1 ˙xk(τ ))dτ ≤ kxq−1k + Z T 0 (_ky0k + 2r 3 )dτ ≤ kx0k + T ky0k + (1 + 2T 3 )r. Par cons´equent, Z T 0 k¨x k(t)k2dt≤ Z T 0 (M + 1 + m(t))2dt.

Les suites (¨xk(.))_k et ( ˙xk(.))k sont int´egralement born´ees dans L2([0,T ] ,IRn) et pour tout

t∈ [0,T ] , les ensembles (xk(t))k et ( ˙xk(t))k sont relativement compacts. D’après le théorème

d’Ascoli, il existe une sous-suite encore not´ee (xk(.))k et une fonction absolument continue

x(.): [0,T ]→ IRn

satisfaisant aux conditions i), ii), iii) suivantes : i) xk(.) converge uniform´ement vers x(.);

ii)x.k(.) converge uniform´ement vers ˙x(.);

(28)

On démontre que la famille des solutions approchées vérifie la propriété suivante : Proposition 3.3 Pour tout t_{∈ [0,T ] , il existe q ∈ {1,...,s}, telle que :}

lim k→∞dgrF(xk(t), . xk(t); ¨xk(t)− f(t,xk(τ_kq−1), . xk(τ_kq−1))) = 0.

Preuve. Par construction de τ_kq, pour tout t_{∈ [0,T ], il existe q, tel que t ∈}τkq−1,τ q k et (τ q k)k converge vers t. De plus, ¨ xk(t)− f(t,xk(τkq−1), . xk(τkq−1)) = wq−1 ∈ F (xk(τkq−1), ˙xk(τkq−1)) + 1 kTB Donc lim k→∞dgrF((xk(t), . xk(t)); ¨xk(t)− f(t,xk(τkq−1), . xk(τkq−1))) ≤ lim_k→∞( x_k(t)− x_k(τ_kq−1) + ˙x_k(t)− ˙x_k(τ_kq−1) + 1 kT). Puisque _k¨xk(t)k ≤ M + 1 + m(t) , k ˙xk(t)k ≤ ky0k + 2r 3 et (τ q

k)k converge vers t, alors

lim k→∞ x_k(t)− x_k(τ_kq−1) = lim k→∞ ˙x_k(t)− ˙x_k(τ_kq−1) = 0, donc lim k→∞dgrF((xk(t), . xk(t)); ¨xk(t)− f(t,xk(τkq−1), . xk(τkq−1))) = 0

Ceci compl`ete la preuve.

Puisque xk(.) converge uniform´ement vers x(.) , ˙xk(.) converge uniform´ement vers ˙x(.) et ¨xk(.)

converge faiblement dans L2_{([0,T ] , IR}n

) vers ¨x(.), ( f (.,xk(.), ˙xk(.) )ket ( f (.,xk(τkq−1), ˙xk(τkq−1) )k

convergent vers f (.,x(.), ˙x(.)) dans L2_{([0,T ] ; IR}n_{). F est semi-continue sup´erieurement alors,}

en appliquant le théorème 1.4.1 dans [3], x(.) est solution du problème convexifié suivant :

¨

x(t)∈ f(t,x(t), ˙x(t)) + co(F (x(t), ˙x(t))) x(0) = x0, ˙x(0) = y0

(29)

Proposition 3.4 L’application x(.) est solution du probl`eme (2.1).

Preuve. En vertu de la relation (3.1) et du Lemme 3.3 dans [6] , on obtient :

d dtV ( ˙x(t)) = h¨x(t) ; ¨x(t) − f(t,x(t), ˙x(t))i p.p. sur [0,T ] donc V ( ˙x(T ))_{− V (y}0) = Z T 0 k¨x(τ)k 2 dτ ₋ Z T 0 h¨x(τ); f(τ,x(τ), ˙x(τ))i dτ (3.2)

D’autre part, pour tout q _{∈ {1,...,s}} ¨ xk(t)− f(t,xk(τkq−1), . xk(τkq−1))∈ F (xk(τkq−1), . xk(τkq−1) + 1 kTB alors ¨ xk(t)− f(t,xk(τ_kq−1), . xk(τ_kq−1))∈ ∂V ( . xk(τ_kq−1) + 1 kTB Il existe bq ∈ B, tel que :

¨ xk(t)− f(t,xk(τkq−1), . xk(τkq−1)) + 1 kTbq∈ ∂V ( . xk(τkq−1)

Par d´efinition du sous-diff´erentiel, on a pour z_{∈ ∂V (}x.k(τkq−1)

V (x.k(τ q k))− V ( . xk(τkq−1))≥< . xk(τ q k − . xk(τkq−1); z > (3.3) En particulier pour z = ¨xk(t)− f(t,xk(τ_kq−1), . xk(τ_kq−1)) + 1 kTbq V (x.k(τ_kq))− V ( . xk(τ_kq−1))≥< . xk(τ_kq) − . xk(τ_kq−1); ¨xk(t)− f(t,xk(τ_kq−1), . xk(τ_kq−1)) + 1 kTbq > donc V (x.k(τkq))− V ( . xk(τkq−1))≥ < Z τ_kq τ_kq−1 ¨ xk(τ )dτ ; ¨xk(t)− f(t,xk(τkq−1), . xk(τkq−1)) + 1 kTbq >

(30)

Par conséquent V (x.k(τ q k))− V ( . xk(τkq−1))≥ Z τ_kq τ_kq−1 < ¨xk(τ ),¨xk(τ ) > dτ − Z τ_kq τ_kq−1 < ¨xk(τ ),f (t,xk(τ_kq−1), . xk(τ_kq−1)) > dτ + Z τ_kq τ_kq−1 < ¨xk(τ ), 1 kTbq > dτ on en déduit la relation V(k(T ))− V (y0)≥ Z T 0 k¨x k(τ )k2dτ − s X q=1 Z τ_kq τ_kq−1 < ¨xk(τ ); f (τ,xk(τ_kq−1), ˙xk(τ_kq−1)) > dτ + s P q=1 1 kT Z τ_kq τ_kq−1 < ¨xk(τ ); bq > dτ (3.4) Proposition 3.5 La suite ( s P q=1 Z τ_kq τ_kq−1 < ¨xk(τ ); f (τ,xk(τkq−1), ˙xk(τkq−1)) > dτ )k converge vers Z T 0 < ¨x(τ ); f (τ,x(τ ), ˙x(τ )) > dτ . Preuve. On a les inégalités suivantes :

s P q=1 Z τ_kq τ_kq−1 < ¨xk(τ ); f (τ,xk(τkq−1), ˙xk(τkq−1)) > dτ − Z T 0 < ¨x(τ ); f (τ,x(τ ), ˙x(τ )) > dτ = s P q=1 Z τ_kq τ_kq−1 (< ¨xk(τ ); f (τ,xk(τkq−1), ˙xk(τkq−1)) >− < ¨x(τ); f(τ,x(τ), ˙x(τ)) >)dτ ≤ s P q=1 Z τ_kq τ_kq−1 < ¨xk(τ ); f (τ,xk(τkq−1), ˙xk(τkq−1)) >− < ¨x(τ); f(τ,x(τ), ˙x(τ)) > dτ ≤ s P q=1 Z τ_kq τ_kq−1 < ¨x_k(τ ); f (τ,x_k(τ_kq−1), ˙x_k(τ_kq−1)) >− < ¨x_k(τ ); f (τ,x_k(τ ), ˙x_k(τ )) > dτ + s P q=1 Z τ_kq τ_kq−1 k< ¨xk(τ ); f (τ,xk(τ ), ˙xk(τ )) >− < ¨xk(τ ); f (τ,x(τ ), ˙x(τ )) >k dτ + s P q=1 Z τ_kq τ_kq−1 k< ¨xk(τ ); f (τ,x(τ ), ˙x(τ )) >− < ¨x(τ); f(τ,x(τ), ˙x(τ)) >k dτ

(31)

En faisant une sommation sur q, on obtient alors l’∈0 egalit´esuivante : s P q=1 Z τ_kq τ_kq−1 < ¨xk(τ ); f (τ,xk(τ_kq−1), ˙xk(τ_kq−1)) > dτ − Z T 0 < ¨x(τ ); f (τ,x(τ ), ˙x(τ )) > dτ ≤ s P q=1 Z τ_kq τ_kq−1 < ¨xk(τ ); f (τ,xk(τkq−1), ˙xk(τkq−1)) >− < ¨xk(τ ); f (τ,xk(τ ), ˙xk(τ )) > dτ + Z T 0 k< ¨x k(τ ); f (τ,xk(τ ), ˙xk(τ )) >− < ¨xk(τ ); f (τ,x(τ ), ˙x(τ )) >k dτ + Z T 0 k< ¨x k(τ ); f (τ,x(τ ), ˙x(τ )) >− < ¨x(τ); f(τ,x(τ), ˙x(τ)) >k dτ.

Puisque f est de Carath´eodory, xk(.)→ x(.) et ˙xk(.)→ ˙x(.) uniform´ement,

k¨xk(s)k ≤ M + 1 + m(s), m(.) ∈ L2([0,T ] ,IRn) et ¨xk(.) → ¨x(.) faiblement dans L2([0,T ] ,IRn)

le dernier terme converge vers 0. Ceci compl`ete la preuve. Puisque lim k→∞ s P q=1 1 kT Z τ_kq τ_kq−1 < ¨xk(τ ); bq > dτ = 0

Donc, en passant `a la limite pour k _{→ ∞ dans la relation (3.4) et en utilisant la continuit´e} de la fonction V sur la boule B(y0,r), on obtient l’estimation suivante :

V ( ˙x(T ))− V (y0)≥ lim k→∞sup Z T 0 k¨x(τ)k 2 dτ − Z T 0 < ¨x(τ ) ; f (τ,x(τ ), ˙x(τ ) > dτ

De plus, l’´egalit´e (3.2) entraˆıne

k¨xk22 ≥ lim_k→∞supk¨xkk2₂.

Et compte tenu de la semi-continuit´e inf´erieure de la norme, nous avons la relation :

k¨xk22 ≤ lim_k→∞inf k¨xkk2₂

On en d´eduit que lim

k→∞k¨xkk 2

2 =k¨xk 2

2, i.e. (¨xk(.))kconverge fortement vers ¨x(.) dans L2([0,T ] ,IRn).

Par cons´equent, il existe une sous-suite ¨xk(.) qui converge presque partout vers ¨x(.). Compte

tenu de la proposition 3.3, on en conclue que:

(32)

Le graphe de F ´etant ferm´e, donc

¨

x(t)_{∈ f(t,x( t), ˙x(t)) + F (x(t), ˙x(t))} p.p. sur [0,T ] . Finalement, pour tout t_{∈ [0,T ] , il existe (τ}_kq)_k, tel que lim

k→∞ τ q k = t. Puisque lim k→∞kx(t) − xk(τ q

k)k = 0, xk(τkq) ∈ K et K est ferm´e, en passant `a la limite pour

k _{→ ∞, on obtient x(t) ∈ K.} Ceci compl`ete la preuve .

(33)

Bibliographie

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(34)

Chapitre III

Un R´

esultat de Viabilit´

e pour une Inclusion

Diff´

erentielle non convexe du Second-ordre

Résumé. Dans ce chapitre, on montre l’existence de solutions locales pour une inclusion différentielle du second-ordre de type :

   ¨ x(t)_{∈ ext(F (t,x(t));} x(0) = x0, ˙x(0) = v0 ∈ TK(x0); x(t)_{∈ K.}

où F est une multifonction Hausdorff continue à valeurs convexes, faiblement compactes, d’intérieur non vides dans un espace de Hilbert séparable H. K est une partie fermée de H, extF (t,x) désigne l’ensemble des points extremaux de F (t,x). Les techniques de démonstrations reposent sur le théorème de Baire.

1. Introduction

Soient H un espace de Hilbert s´eparable, K un convexe, ferm´e, non vide de H et

F : [0,T ]× K → 2H _{une multifonction Hausdorff continue, `a valeurs convexes, faiblement}

compactes, d’intérieure non vides dans H. Considérons le problème de Cauchy :

(1.1)    ¨ x(t)_{∈ ext(F (t,x(t));} x(0) = x0, ˙x(0) = v0 ∈ TK(x0); x(t)∈ K.

Le but de ce chapitre est de d´emontrer l’existence de solutions du probl`eme (1.1), en suppo-sant la condition de tangence suivante :

(T C)

[intF (t,x)]_∩TK(x)∩ D 6= ∅;

co[ext(F (t,x))∩TK(x)∩ D] = F (t,x) ∩ TK(x)∩ D.

Où D est une partie convexe compacte de H, TK(x) est le cône contingent à K en x,

int(F (t,x)) est l’intérieur de F (t,x) et co désigne l’enveloppe convexe fermée. Deux cas mérite d’être montionnés :

Si H est de dimention finie, F est uniform´ement born´ee et F (t,x)_{⊂ T}K(x). Alors la condition

(35)

Les inclusions différentielles du premier ordre sans contrainte et dont l’enveloppe convexe du second membre est d’intérieur non vide avec les mêmes hypothèses sur F ont été étudiés par De Blasi et Pianigiani [1,2,3,4]. Afin de surmonter l’hypothèse de la non convexité, ces auteurs utilisent le théorème de Baire. Cette approche sera utilisée dans ce chapitre.

Dans la littérature, les problèmes de viabilité du second ordre ont été introduits par Cornet et Haddad [5]. Ces auteurs ont étudié l’existence de solutions du problème de Cauchy suivant :

(1.3)    ¨ x(t)∈ Q(x(t), ˙x(t)); x(0) = x0, ˙x(0) = v0; x(t)_{∈ K} ˙x(t)_{∈ T}K(x(t))

Pour étudier le problème (1.3), Cornet et Haddad ont imposé des conditions forte sur K et v0, notamment K = LT M , v0 ∈ TL(x0)T T IM(x0) et le graphe de la multifonction TL est

localement compacte, où T IM est le cône intérieur tangent à M introduit par Dubovitskij et

Muljutin [6].

Dans ce travail, on ´etablit l’existence de solutions du probl`eme (1.1) sans restrictions sur v0

et K, mais on suppose que K est convexe et v0 ∈ TK(x0).

2. Notations, D´efinitions et r´esultats principal

Dans la suite de ce chapitre, notons que H est un espace de Hilbert s´eparable, muni du produit scalaire h.,.i, et de la norme k.k. Soit 2H _{l’ensemble des partie de H. On d´efinit :}

B(H) = _{X∈2H_{/ X est convexe faiblement compact d’int´erieur non vide}_},

C(H) = _{X∈2H_{/ X est convexe, ferm´ee}_}.

On muni B(H) de la distance de Hausdorff _{H. Soit S un espace métrique non vide, A ⊂ S.} On note par ¯A l’adhérence de A, intA l’interieur de A, χA la fonction caractéristique de A

et ∂A la fronti`ere de A. Pour x∈ S, on note d(x,A) la distance de x `a A.

Pour X _{∈ 2}H_{, notons extA l’ensemble des points extremaux de A et co l’enveloppe convexe}

fermée de A. Pour tout x_{∈ H on note T}K(x) le cône contingent à K en x. Si X est un fermé

convexe de H, on note πX(x) la projection de x sur X.

Soit J un intervalle de IR, AC2_{(J,H) d´esigne l’espace des applications absolument continues}

dont les dérivées premières sont également absolument continues de J dans H, muni de la topologie de la convergence uniforme :

kx(.)k = sup

t∈J kx(t)k

3. R´esultat Principal

Soit Q une multifonction de [0,T ]_{× K à valeurs convexes fermées d’intérieurs non vides dans} H. Considérons le problème de Cauchy suivant :

(CP)    .. x ∈ Q(t,x); (x(0); ˙x(0)) = (x0,y0); x(t)_{∈ K.}

(36)

On appelle solution de (CP), tout couple (s,x(.))∈]0,T ] × AC([0,s],H) tel que :    .. x ∈ Q(t,x) p.p. sur [0,s]; (x(0); ˙x(0)) = (x0,y0); x(t)_{∈ K} _{∀ t ∈[0,s].} Notons SIQ, l’ensemble des solutions de (CP) sur J = [0,s].

Soit I = [0,T ], K ∈ 2H_{. On consid´ere la multifonction F d´efinie de I}_{× K →2}H_{. On suppose}

que pour tout (t,x)∈ I ×K, F (t,x) ∈ B(H) et F est Hausdorff continue. De plus, on suppose vérifiées les hypothèses (Ha) ou bien (Hb).

Hypoth`eses Ha

(A1) : K ∈ C(H),

(A2): Il existe un convexe compact D de H tel que, pour tout (t,x)∈ [0,T ] × K, on ait :

(TC) [intF (t,x)]_{∩ T}K(x)∩ D 6= ∅; co[(extF (t,x))_{∩ T}K(x)∩ D] = F (t,x) ∩ TK(x)∩ D. Hypoth`eses Hb (H1) : K = H, (H2) :H(F (t,x),0) ≤ M, M > 0 pour tout (t,x)∈ I × K

Maintenant, on peut formuler le r´esultat principal :

Soit x0 ∈ K, v0 ∈ TK(x0) et F : I = [0,T ]× K →2H. On va prouver le r´esultat suivant:

Théorème principal 3.1 On suppose que F vérifie les conditions Ha respectivement les

conditions Hb alors, le probl`eme (1.1)(respectivement (1.2)) admet une solution

La remarque qui suit, montre un cas particulier où la condition (A2) est vérifiée.

Remarque : Si K est un convexe compact non vide de H, non r´eduit `a un singleton. Alors A2 est satisfaite dans le cas suivant :

D ={x − y : (x,y) ∈ K x K}; F (t,x) = πD(x) + d(0,∂riD) ¯B(0,1).

O`u ∂riD est la fronti`ere relative de D.

Il est `a noter que la condition A2, est plus faible que la condition suivante :



 F (t,x)∩ D ⊂ TK(x); [intF (t,x)]_{∩ D 6= ∅;}

(37)

En outre, si H est de dimension finie. Alors A2est satisfaite dans le cas o`u F est uniform´ement

born´ee et F (t,x)⊂ TK(x), ∀(t,x) ∈ [0,T ] x K.

Dans tout ce qui suit et pour des raisons techniques on pose I = [0,T ] et on définit sur I_{× H la multifonction G(t,x) = F (t,π}K(x)). Il est clair que G hérite de toutes les propriétés

de F . Plus précisément G une multifonction Hausdorff continue, définie de I = [0,T ]_{× H à} valeurs dans B(H). De plus, elle vérifie la condition de tangence suivante :

[intG(t,x)]_{∩ T}K(x)∩ D 6= ∅;

co[(extG(t,x))_{∩ T}K(x)∩ D] = G(t,x) ∩ TK(x)∩ D.

4. Fonctionnelles semi-continues sup´erieurement

Les techniques de démonstrations utilisées reposent sur le théorème de Baire appliqué à des ensembles engendrés par des fonctions semi-continues supérieurement. A cet effet, on introduit la fonction de Choquet [7].

Considérons la suite (en)n∈IN telle que kenk = 1, dense dans la sphère unité de H. On définit

la fonction f par : f (t,x,v) =    ∞ P n=1 [< en,v >]2 2n si v ∈ G(t,x); +∞ si non.

Soit L, l’ensemble des fonctions affines continues définies de H à valeurs dans [0, +_{∞[ . On} associe à f , la fonction ˆf définie de I _{× H × H → [−∞,∞[ par :}

ˆ

f (t,x,v) = inf{a(v)/ a ∈ L, a(z) ≥ f(t,x,z) ∀z ∈ G(t,x)} Définition 4.1 La fonction de Choquet Φ asssociee à G, est définie par : Φ : I× H × H → [−∞,∞[ telle que :

Φ(t,x,v) =

f (t,x,v)− ˆf (t,x,v) si v ∈ G(t,x) ; −∞ sinon.

La proposition suivante présente quelques propriétés fondamentales de la fonction de Cho-quet :

Proposition 4.2 la fonction de Choquet vérifie les propriétés suivantes : i) 0 ≤ Φ(t,x,v) ≤ M2_,_{∀v ∈ G(t,x) avec kvk ≤ M, M ≥ 0.}

ii) Φ(t,x,v) = 0 si et seulement si v _{∈ ext G(t,x).}

iii) Φ est semi-continue sup´erieurement sur I _{× H × H.}

iv) Si (xn(.))_n∈IN est une suite de SGI qui converge uniform´ement vers x(.), avec{¨xn(t)/ n∈ IN,t ∈ I}

born´e, alors lim n→∞sup R I Φ(t,xn(t),¨xn(t)) dt≤ R I Φ(t,x(t),¨x(t)) dt.

(38)

Pour la preuve, se référer à [2] et [3].

Proposition 4.3 La fonction qui a (x,y)_{−→ d(y,T}K(x)) d´efinie sur K× H est semi-continue

sup´erieurement.

Pour la preuve, se référer à [8, Th.1, p: 220 et Cor. 1, p.52].

Lemme 4.4 Pour toute fonction absolument continue f : I _{−→ H, on a:} d

dt[d(f (t),K)]≤ d( ˙f (t),TK(πK(f (t)))) p.p sur I. Preuve, voir [8, corollaire 1, p.179]

Lemme 4.5Soient C et D des parties de B(H), alors _{H(C,D)=H(∂C,∂D).} Pour la preuve on peut se référer à [10]

Le lemme ci-dessus, permettra d’´etablir le corollaire suivant :

Corollaire 4.6 Soit Q une multi-application continue d´efinie de [0,T ]× H `a valeurs dans B(H). Alors, la fonction (t,x,y) _{−→ d(y,∂Q(t,x)) est continue}

Preuve : Il suffit de remarquer que pour tout (t,v,w) et tout (s,x,y) on a:

d(y,∂Q(s,x))_{≤ ky − wk + d(w,∂Q(t,v)) + H(∂Q(s,x),∂Q(t,v))} Le lemme suivant, jouera un rˆole important dans la preuve du r´esultat principal.

Lemme 4.7 Soit Q une multi-application continue d´efinie de [0,T ]_{×H `a valeurs dans B(H).} On a pour tout y_{∈ H l’ensemble}

Uy ={(t,x) ∈ I × H / y ∈ intQ(t,x)}

est un ouvert de I_{× H.}

Preuve Soit (t0,x0)∈ Uy. Puisque ∂Q(t0,x0) est ferm´e, il existe ε > 0 tel que :

d(y,∂Q(t0,x0)) > ε

En vertu du Corollaire 4.6, il existe 0 < δ < max{|t − t0| , kx − x0k} tel que pour tout

(t,x)∈ [0,T ] × H on a : d(y,∂Q(t,x)) > ε

Montrons qu’il existe γ < δ tel que, pour tout (t,x)∈ [0,T ] × H on a : max{|t − t0| , kx − x0k} < γ ⇒y∈ intQ(t,x)

A cet effet, supposons le contraire :

(39)

Donc,

d(y,∂Q(t1,x1)) = d(y,Q(t1,x1)) > ε.

Q ´etant continue, donc il existe ξ _{≤ γ tel que, pour tout (t,x) ∈ [0,T ] × H v´erifiant,} max_{{|t − t}0| , kx − x0k} < ξ, on ait :

H(Q(t,x),Q(t0,x0)) < ε

Comme ξ ≤ γ < δ et y ∈ intQ(t0,x0), alors: d(y,∂Q(t1,x1)) < ε

Ce qui est absurde, d’où le résultat recherché. 5. Preuve du résultat principal

Lemme 5.1 Sous les hypoth`eses (Ha) il existe T0 ∈ ]0,T ] , x1(.)∈AC2([0,T0] ,H) tels que :

(i) x..1(.)est constante sur [0,T0] tel que x1(0) = x0, .

x1(0) = v0 ∈ TK(x0)

(ii)_{∀t ∈ [0,T}0] , ..

x1(t)∈ [intG(t,x1(t))]∩ TK(x0)∩ D

Preuve : Soit w0 ∈ [intG(0,x0)] ∩ TK(x0) ∩ D. Posons x1(t) = x0 + tv0+

t2

2w0. En vertu de la proposition 4.7 Il existe T0 ∈ ]0,T ] tels que pour tout t ∈ [0,T0] , w0 ∈ intG(t,x1(t)) ce qui

compl`ete la preuve.

Dans ce qui suit, notons, I0 = [0,T0] , S l’ensemble des solutions sur I0 du probl`eme : ..

x(t) _{∈ G(t,x(t)), x(0) = x}0, .

x(0) = v0,

et S∗ _{la partie de S telle que pour tout x(.)}

∈ S∗_{, on a :}

(i) x (.) est constante sur chaque intJ.. n o`u {Jn}n∈IN la famille d’intervalles satisfaisant :

I = [

n∈IN

Jn et sup Jn= inf Jn+1 ∀ n ∈ IN.

(ii) x(0) = x0, .

x(0) = v0 , ..

x (t)_{∈ [intG(t,x(t)) ∩ D] p.p. sur I}0.

Il est facile de voir que la solution x1(.) donn´ee par le Lemme 5.1 est dans S∗. Puisque S∗

est une partie ferm´ee de S alors, S∗ _{est une partie compl`ete de S.}

Pour α > 0, on d´efinit les sous-ensembles de S∗ _{comme suit :}

• Sα Φ= x∈ S∗_/ Z I0 Φ(t,x(t),x (t)) dt < α.. ; • Sα d = x_{∈ S}∗_/ Z I0 d(x(t),T. K(πK(x(t)))) dt < α ;

(40)

• Sα_{= S}α Φ∩ Sdα; • Rn_{= S}1 n, ∀ n ∈ IN∗. Notons que : T n∈IN∗ Rn₌_{x ∈ S}∗_{/ Φ(t,x(t),}_{x (t)) = d(}.. _{x (t),T}. K(πK(x(t)))) = 0 p.p. sur I0

En cons´equence, en vertu de la proposition 4.2 et le Lemme 4.4, tout x_∈ T

n∈IN∗ Rn _{verifie :}    .. x ∈ extG(t,x) p.p sur I0; (x(0); ˙x(0)) = (x0,y0); x(t)_{∈ K} sur I0. en d’autres termes    .. x _{∈ extF (t,x)} p.p sur I0; (x(0); ˙x(0)) = (x0,y0); x(t)_{∈ K} sur I0.

Par conséquent, pour établir le résultat principal, Il suffit de prouver que Rn _{est un ouvert}

dense dans S∗_.

Lemme 5.2 Pour tout α > 0, Sα _{est une partie ouverte de S}∗_.

Preuve : Montrons que S∗_{\ S}α _{est une partie ferm´ee de S}∗_{. Soit x}

n(.) ∈ S∗\ Sα qui converge

vers x(.) dans S∗_{. Par d´efinition de S}α_{, on a pour tout n}_{∈ IN}∗

Z I0 Φ(t,xn(t), .. xn(t)) dt ≥ α et Z I0 d(x.n(t) ,TK(πK(xn(t)))) dt≥ α En utilisant la proposition 3.4.2, on a : Z I0 Φ(t,x(t),x(t)) dt.. _{≥ lim} n→∞sup Z I0 Φ(t,xn(t), .. xn(t)) dt ≥ α Donc, x(.) /_{∈ S}α

Φ. D’autre part, puisque ..

xn(.) est constante sur chaque intJn, l’ensemble

{x..n(t); t∈ I0, n ∈ IN} est une partie d´enombrable de D. On peut l’ecrire donc, sous la

forme {an

i; (i,n)∈ IN × IN}. D ´etant compact, il existe une suite (ϕ(n))n telle que pour

tout i _{∈ IN la suite}naϕ(n)_i o

n∈IN converge. On en d´eduit que la suite ( ..

xϕ(n)(.))n∈IN converge

uniform´ement vers x(.). D’o`.. u, en vertu du Lemme 4.3, on obtient :

Z

(41)

En d’autres termes x(.) /∈ Sα

d, ce qui compl`ete la preuve.

Avant prouver la densit´e de Sα _{dans S}∗_{, on ´etablit, le Lemme d’approximation suivant :}

Lemme 5.3 Soient x(.) ∈ S∗

, α > 0 et J0 =[0, t1] un intervalle tel que ..

x(.) est constante sur intJ0. Alors, il existe deux suites ((yn(.))n∈IN une famille de fonctions dans AC2(J0,H)

et (Pn)n une famille d’intervalles J n

q v´erifiant sup Jqn= inf Jq+1n ∀ n, q ∈ IN, tels que :

(i) yn(0) = x0, .

y(0) = v0 et ..

yn(t)∈ intG(t,yn(t)) ∩ TK(x0) ∩ D sur [0,t1] ;

(ii) y..n(.)est constante sur chaque intJqn, ∀q ∈ IN;

(iii) Z t1 0 Φ(t,yn(t), .. yn(t)) dt ≤ αt1 2T0 ; (iv) Z t1 0 d(y.n(t) ,TK(πK(yn(t)))) dt≤ αt1 2T0 ; (v) lim n→∞sup_t∈J 0 k yn(t)− x(t)k = 0.

Preuve. En vertu du Lemme 4.3, il existe δ > 0 tel que, pour tout (t,x)_{∈ I × H :} max{kx − x0k , ky − v0k < δ ⇒ d(y ,TK(πK(x))) <

α 2T0

Posons M = sup_{{kxk , x ∈ D}. Sans perdre de généralité, supposons que :} t1 < min δ 2, δ 2M, δ 2(kv0k + MT0)

Tout au long de la d´emonstration de ce lemme, on d´esigne par a la constante ¨x(t), pour tout t_{∈]0, t}1[. Soit (en)n une suite croissante d’entiers naturels non nuls. Pour tout n ∈ IN

et i_{∈ {0,...,e}n} , posons tni =

it1

en

. Il est clair que J0 = en−1 S i=0 tn i, tni+1 . Puisque a_{∈ co[(extG(0,x}0))∩ TK(x0) ∩ D] = G(0,x0) ∩ TK(x0) ∩ D.

Alors, pour tout n il existe λn

i > 0, bni ∈ (extG(0,x0))∩ TK(x0)∩ D) , i = 1,...mn, mn ∈ IN avec mn P i=1 λn i = 1 tels que : a− mn X i=1 λnib n i < 1 2n (5.1)

(42)

cni(γ)∈ (intG(0,x0))∩ TK(x0)∩ D (5.2)

D’autre part, en vertu de la proposition 4.3, on a :

Φ(0,x0,bni) = 0 ,∀n ∈ IN, ∀i ∈ {1,....,mn} (5.3)

Par cons´equent, d’apr`es la Proposition 4.2, le Lemme 4.3 et la Proposition 4.7 on a, pour tout n il existe ξn∈ [0,δ] , γ0 > 0 tel que, pour tout i∈ {1,....,mn} et (t,x,v) ∈ J0× H × H,

v´erifiant max_{{t, kx − x}0k , kv − v0k} < ξn , on ait :

i) cni(γ0)∈ (intG(t,x)) ∩ TK(x0)∩ D; ii) Φ(t,x,cn i(γ0))≤ α 2T0 ; (5.4) iii) d(cn i(γ0),TK(πK(x)))≤ α 2T0 .

Quitte `a prendre γ0 assez petit, on suppose :

a₋ mn X i=1 λn ic n i(γ0) < 1 2n (5.5)

Pour tout n_{∈ IN, i ∈ {1,....,e}n− 1} et j ∈ {1,....,mn} , on d´efinit :

   τn i,0 = tni = it1 en ; τn

i,j = τi,j−1n + λnj(tni+1− tni).

Remarque. Il est clair que la longueur de ∆n

i,j =τi,jn, τi,j+1n , j ∈ {0,....,mn− 1} est ´egale `a

λn j(tni+1− tni) et tni, tni+1 = mn−1 S j=0 ∆n i,j.

Par r´ecurrence, on d´efinit les fonctions suivantes:

∀t ∈ ∆n 0,0 = [0,λn1tn1] y0,0n (t) = x0+ tv0+ t2 2 c n 1(γ0) et pour tout t∈ ∆n 0,j, j ∈ {1,..,mn}

(43)

Pour i∈ {1,....,en− 1} et t ∈tni, tni+1 , on d´efinit yn i(t) = mn−1 P j=1 χ∆n i,j(t) y n i,j(t), o`u yn

i,j(t) = yni−1,j(τi,jn) + (t− τi,jn) . yn_i−1,j(τn i,j) + (t_{− τ}n i,j)2 2 c n j(γ0).

Finalement, pour tout n, consid´erons le recollement

yn(t) = en−1 P j=1 χ[t n i, tni+1](t) y n i(t).

Notons que, pour tout _{∀ n ∈ IN et t ∈ [0, t}1] , on a : ..

yn(t)∈c n

j(γn), j = 1,....,mn . (5.6)

De plus, le choix de t1 entraˆıne que, pour tout t∈ [0,t1] , on a :

ky._n(t)_{− v}0k ≤ Z t1 0 .. y_n(u) du < δ et kyn(t)− x0k ≤ Z t1 0 . yn(u) du < δ.

D’où, en combinant les inégalités (5.4) et (5.6) on a, pour tout t∈ [0, t1]

       - y..n(t)∈ (intG(t,yn(t)))∩ TK(x0)∩ D), - Φ(t,yn(t), .. yn(t))≤ α 2T0 , - d(y.n(t),TK(πK(yn(t))))≤ α 2T0 .

Par cons´equent, on a construit la suite (yn(.))_n∈ AC2([0,t1] ,H) tels que pour tout n

- yn(0) = x0, .

y(0) = v0 et ..

yn(.) est constante sur chaque ∆ni,j, i∈ {0,....,en− 1} ,

j _{∈ {0,....,m}n}; - y..n(t)∈ intG(t,yn(t)) ∩ TK(x0) ∩ D ∀ t ∈ [0,t1]; -Z t1 0 Φ(t,yn(t), .. yn(t)) dt ≤ αt1 2T0 ,

(44)

-Z t1 0 d(y.n(t),TK(πK(yn(t)))) dt≤ αt1 2T0 . - max_{kyn(t)− x0k , k . yn(t)− v0k} < δ 2 ∀ t ∈ [0,t1].

D’o`u, pour achever la d´emostration du Lemme 5.3, il suffit de prouver que :

lim

n→∞sup_t∈J₀k yn(t)− x(t)k = 0.

Pour ce faire, notons que pour tout n_{∈ IN on a :} ky._n(tn 1)− . x(tn 1)k = Z tn1 0 (y.._n(τ )₋x..n(τ ))dτ = mn−1 P j=0 Z ∆0,j (a_{− c}n j+1(γn))dt La relation (5.5) implique : ky.n(tn1)− . x(tn 1)k = mn P j=1{a − c n j+1(γn)}λnjtn1 = tn 1 a₋ mn P j=1 λn jcnj(γn) ≤ t n 1 2n

Par r´ecurrence, on montre que :

ky._n(tn i)− . x(tn i)k ≤ tn i 2n ∀ i ∈ {1,....,en− 1} , Donc, ky.n(tni)− . x(tn i)k ≤ T0 2n, ∀i = 0,...,en. (5.8)

Soit t∈ [0,t1] . Pour n posons in l’entier tel que t ∈tnin, t

n

in+1 . Il est clair que:

ky.n(t)− . x(t)k ≤ . yn(t)− . yn(tnin) + . yn(tnin)− . x(tn in) + . x(tn in)− . x(t) d’autre part, On a : max . x(tn in)− . x(t) , . y_n(t)₋y._n(tn in) ≤ M T0 en .

Donc, en utilisant la relation (5.8), on d´eduit que :

ky.n(t)− .