Le r´egime p´eriodique

Rebonds d’une bille sur un plan vibrant [16]

On peut observer des situations de rebonds p´eriodiques dans d’autres syst`emes. Un exemple est le rebond d’une bille sur un plateau vibrant. Dans certaines conditions de fr´equence et d’amplitude, la bille peut rebondir de fa¸con p´eriodique sur le plan. Il y a une corr´elation entre le temps de vol de la bille et les oscillations du plan. Ce syst`eme a ´et´e ´etudi´e en d´etail [16] car il correspond `a un syst`eme mod`ele simple pour ´etudier la transition vers le chaos.

136 CHAPITRE 6. REBONDS `A PETIT NOMBRE DE WEBER Les donn´ees du probl`eme sont les suivantes, si on appelle z la position du plan, V la vitesse d’arriv´ee de la bille sur le plan, et V′

sa vitesse de d´epart :

ˆ Le plan vibre `a une fr´equence ω impos´ee par l’exp´erimentateur :

z(t) = A₀cos(ωt) (6.6)

ˆ La bille rebondit sur le plan avec un coefficient de restitution en vitesse µ :

(V^′− ˙z) = −µ(V − ˙z) (6.7)

ˆ Le choc est instantan´e.

On peut rechercher les solutions p´eriodiques du probl`eme. Il en existe plusieurs, dont la p´eriode est impos´ee par la p´eriode du plan vibrant. Recherchons les conditions d’obtention du premier mode, pour lequel le temps de vol de la bille est ´egal `a la p´eriode de vibration du plan. La bille repart `a la vitesse `a laquelle elle est arriv´ee :

V′

= −V = ^gT

2 ^(6.8)

Cette ´equation combin´ee `a l’´equation 6.7 impose une condition entre l’amplitude des oscillations A<sub>0</sub> et τp la phase commune `a tous les chocs :

A₀ωsin(ωτ_p) = −^gT₂ ^{1 − µ}_{1 + µ} (6.9)

Il y a une amplitude critique A_c de l’oscillation du plan vibrant n´ecessaire pour observer un r´egime p´eriodique :

A_c= ^gT 2ω

1 − µ

1 + µ ^(6.10)

Au-dessus de cette amplitude, une infinit´e de solutions p´eriodiques existent, qui sont donn´ees par une relation entre la phase du choc et l’amplitude du plan vibrant.

Rebonds d’une goutte vibrante sur un plan

Ce probl`eme est similaire au nˆotre. Une goutte qui vibre rebondit sur une plaque fixe. On suppose que la goutte vibre avec une amplitude A<sub>0</sub>et avec une fr´equence correspondant `a la fr´equence propre du mode quadrupolaire d’oscillation de la goutte. On peut rechercher de fa¸con analogue des solutions p´eriodiques de rebonds.

Il faut dans un premier temps d´eterminer l’´equation du choc (analogue `a l’´equation 6.7). On a observ´e (paragraphe 6.3) que le coefficient de restitution d´epend de la phase φ de la goutte `a l’impact, ainsi que de la vitesse d’impact. Le coefficient de restitution s’´ecrit donc, toujours avec la mˆeme convention de phase :

q ≃ q0(1 − k^A_R⁰

0

sin(φ))(b + aV ) (6.11)

6.4. DISCUSSION 137 Si on n´eglige la variation du coefficient de restitution avec la vitesse (variation du second ordre), on peut ´ecrire une relation entre la vitesse V′

de red´ecollage et la vitesse V d’impact de la goutte : V^′ = −V q0(1 − k^A_R⁰

0sin(φ)) (6.12)

Au moment du d´ecollage, la phase de la goutte vaut π/2. Si on appelle t_v le temps de vol entre deux impacts, on peut d´eduire la phase φ de la goutte `a l’impact :

φ = ωt_v+^π

2 ^(6.13)

Pendant le vol, la goutte n’est soumise qu’`a la gravit´e ; donc, si l’on veut qu’elle tombe sur la plaque avec la mˆeme vitesse V que celle du choc pr´ec´edent (condition de p´eriodicit´e), on obtient :

V = V^′− gtv (6.14)

Enfin, il y a contact quand le bas de la goutte touche la surface. La trajectoire du bas de la goutte pendant le vol s’´ecrit :

x_b(t) = 0 − g^t 2 2 ^{+ V} ′ t + A₀cos(ωt + ^π 2^{) (6.15)} Au contact, on a : −g^t 2 v 2 ^{+ V} ′ t_v− A0sin(ωt_v) = 0 (6.16)

On a donc un syst`eme de trois ´equations `a trois inconnues (V , V′

, et t_v) que l’on peut r´esoudre. Si l’on pose x = ωt_v et a₀=A₀/R₀, l’´equation v´erifi´ee par x s’´ecrit :

(1 − q0)^x 3R²₀κ² 16 ⁺ q₀ 2^{a0ksin(2x) + q0} R²₀κ² 16 ^kx 2 cos(x) + (1 − q0)sin(x) = 0 (6.17) κ ´etant l’inverse de la longueur capillaire. On peut r´esoudre cette ´equation num´eriquement. Les solutions sont tr`es peu d´ependantes de k, on choisit donc k = 1. Les fonctions ´etant p´eriodiques, il y a plusieurs solutions selon l’amplitude des oscillations. Les solutions en fonction de a<sub>0</sub> sont report´ees sur la figure 6.17, pour une goutte d’eau `a 100◦

C de rayon R₀=1.1 mm.

Si l’amplitude des oscillations est sup´erieure `a une amplitude a_cdonn´ee par : a_c= 1 − q0

q₀ ^(6.18)

des solutions p´eriodiques existent. Ces solutions tendent vers π, 3π et 5π `a faible amplitude. Ces r´esultats d´ecrivent bien nos r´esultats exp´erimentaux. Le r´egime p´eriodique d´ecrit plus haut corres-pond `a x = 3π, et l’on a observ´e des gouttes oscillant deux fois en l’air ce qui correscorres-pond `a x = 5π (paragraphe 6.2.3). Un choix diff´erent pour k aurait conduit `a une amplitude seuil un peu diff´erente. On peut ´etudier la stabilit´e de ces solutions, en regardant l’´evolution de la trajectoire apr`es une perturbation du temps de vol de la goutte dans un r´ef´erentiel centr´e sur la goutte et oscillant `a la mˆeme fr´equence et avec la mˆeme amplitude. La trajectoire du bas de la goutte sera alors une arche de parabole, et celle de la plaque chauffante une sinuso¨ıde. Un exemple de l’´evolution de la

138 CHAPITRE 6. REBONDS `A PETIT NOMBRE DE WEBER stable stable stable instable instable instable

Fig. 6.17: Solution num´erique de l’´equation 6.17 en fonction de l’amplitude des oscillations de la goutte, de rayon initial R0=1.1 mm, avec un coefficient de restitution µ pris ´egal `a 0.9.

trajectoire apr`es une augmentation du temps de vol est repr´esent´e sur la figure 6.18, pour la branche sup´erieure, tendant vers 3 π. On fait de mˆeme pour une diminution de temps de vol, et on d´etermine ainsi la stabilit´e des branches de solutions (figure 6.17).

t z

b

Fig. 6.18: Trajectoire p´eriodique (trait plein) du bas de la goutte dans le r´ef´erentiel oscillant comme la goutte. La plaque chaude dans ce r´ef´erentiel a un mouvement p´eriodique de fr´equence ω0. La solution p´eriodique correspond `a la solution juste sup´erieure `a 3π. Trajectoire perturb´ee (traits pointill´es) du bas de la goutte dans le mˆeme r´ef´erentiel. On voit qu’`a l’impact d’apr`es, il y a un retour vers l’´equilibre : la solution est stable.

On comprend donc qu’il est possible d’observer des r´egimes p´eriodiques, comme il est possible de passer au travers (on observe des gouttes non cal´ees). Il faut pour cela que l’amplitude des oscillations de la goutte soit suffisante. On observe exp´erimentalement dans le r´egime cal´e une amplitude de l’ordre de 0.15 R₀. Cette amplitude est tout juste sup´erieure `a l’amplitude critique, si le coefficient de restitution vaut 0.9. C’est pourquoi la solution p´eriodique se rapproche d’un temps de vol qui tend vers 3 π.

Nous avons suppos´e dans notre approche que l’amplitude A0 des oscillations de la goutte reste constante. C’est ce que nous avons observ´e exp´erimentalement (figure 6.6). Cette hypoth`ese sugg`ere plusieurs interrogations :

ˆ Quels sont les facteurs de dissipation des oscillations, et sur quelles ´echelles de temps agissent-ils ?

6.4. DISCUSSION 139 ˆ Quel est le rˆole de l’´evaporation de la goutte dans le m´ecanisme ?