-+ Filtre adapté k
r
* * yk sˆk (1/ ) H z 2 *(1/ *) s DS f Gλ λ z σ -Filtre adaptéFiltre récursif stable
Filtre transverse anti-causal ( ) 1
G zλ −
Figure 2.15 – Structure de l’Egaliseur Linéaire Récursif ELR
6.3 Egaliseurs non lineaires à base de filtre
Les égaliseurs linéaires que nous venons de voir dans la section précédente, ne prennent pas en compte la nature même du message émis à part leur statistique qui est souvent limité à l’ordre 2. Or nous avons déjà vu (Section 4) que les meilleurs critères qui sont ceux du Maximum de Vraisemblance et du Maximum à Priori, prennent en compte en plus des statistiques du signal émis, la nature du message émis à savoir entre autre la constellation. Dans cette partie, nous présentons des architectures non-linéaires basées sur des filtres et qui utilisent la constellation du signal émis permettant d’améliorer les performances des égali-seurs linéaires déjà présentés. Il s’agit de l’égaliseur à retour de décision (ERD) et de l’Annuleur d’Interférences (AI) que nous présenterons. Pour tous ces égaliseurs la non-linéarité est introduite par le module de décision qui sera intégré dans l’éga-liseur. Tout comme les égaliseurs linéaires, ces architectures non-linéaires mettent en œuvre le critère du Minimum d’erreur quadratique MEQM. Nous rappelons également que seul le canal SISO est étudié dans cette partie. Le cas des autres types de canaux pouvant se généraliser.
6 Architectures classiques 85
6.3.1 ERD : Egaliseur à Retour de Décision
La structure de l’égaliseur à retour de décision (ERD) découle directement d’une écriture particulière de la séquence reçue. En effet, le symbole reçu à l’instant k d’un canal est donné par l’expression suivante :
rk =∑ n hnsk−n +wk =h0sk+ ∑ n>0 hnsk−n | {z } IES precurseur + ∑ n<0 hnsk−n | {z } IES post−curseur +wk (2.84)
L’équation 2.84 met en évidence plusieurs termes. On a le symbole recherché lui même sk, le bruit wk et deux types d’interférences entre symboles : Une inter-férence avec les symboles passés que nous avons appelé IES précurseur et une interférence avec les symboles futurs appelés ici IES postcurseur. On peut ainsi remarquer que si les symboles passés ont été parfaitement retrouvés, il devient pos-sible de supprimer complètement la partie de l’IES précurseur et améliorer ainsi les performances de l’égaliseur. C’est le principe même des égaliseurs à retour de décision (ERD). Leur structure est donnée ci-contre Figure 2.16.
-+
Filtre adapté
Filtre transverse causal k
r
2y
ksˆ
k * * (1/ ) s DS f Gλ λ z σ * * (1/ ) H zFiltre transverse causal
Feed-forward Filter Feed-back Filter ( ) C z ( ) B z ( ) 1 G zλ −
Figure 2.16 – Structure de l’Egaliseur à Retour de Décision (ERD)
Cette structure présente deux parties : La première qui élimine les interférences faisant intervenir les symboles non encore décidés ou symboles futurs du récepteur grâce à un simple filtre appelé en anglais (Feedforward filter) ; et la seconde partie qui élimine, grâce à une estimation des symboles passés, les interférences faisant intervenir ces mêmes symboles par le moyen d’un autre filtre appelé en anglais (Feedback filter).
Si l’on choisit le critère du MEQM comme critère d’égalisation, les filtres Feedfor-ward C (z) et Feedback B(z) sont donnés ci-dessous où f𝜆, G(z) sont les termes de la décomposition spectrale de l’égaliseur donné dans l’équation (2.79).
C (z) = fH∗(1/z∗)
𝜆G∗(1/z∗) et B(z) = G(z) (2.85)
Pour que ce égaliseur puisse fonctionner correctement, il est nécessaire que les symboles déjà décidés soit corrects. En effet puisque ces derniers sont reconduits dans le filtre arrière (feedback filter) pour estimer le symbole actuel sk, une erreur de décision sur ces derniers pourrait donc entrainer une erreur d’estimation de sk
et tous les symboles futures décidés seront faussés. Ce phénomène est connu sous le nom de propagation d’erreur dans l’ERD. C’est un inconvénient majeur pour cet type d’égaliseur.
Pour lutter contre la propagation d’erreur, d’autres structures basées sur le même principe existe dans la littérature. L’ERD pondéré ERDP [59] [60] en est un exemple. Dans cet égaliseur, l’entré du Feedback Filter n’est plus les symboles décidés mais un symbole résultant de la combinaison du symbole décidé et du symbole égalisé. La combinaison se fait en fonction de la fiabilité du symbole décidé de la façon suivante :
b(n) = 𝛼ˆs(n) + (1 − 𝛼)y(n) (2.86)
où ˆs(n) correspond au symbole estimé, y(n) la sortie de l’égaliseur et 𝛼 le para-mètre représentant la fiabilité du symbole décidé. Si le symbole décidé est correct, la confiance calculée sera 𝛼 =≈ 1 ce qui revient donc au cas classique de l’égaliseur ERD. Par contre si le symbole décidé est peu fiable, l’entrée du Feedback Filter ne serait plus ˆs(n) mais plutôt un symbole proche de la sortie de l’égaliseur. Une version aveugle de l’ERDP a été proposéè par A.Goupil et J.Palicot dans [61] permettant, en plus de la commutation de structure RLS vers ERD effectuée dans un ERDP classique, de faire commuter également les algorithmes asociés.
Le SADFE Un autre égaliseur appelée SADFE ou « Self-Adaptive Decision Feedabck Equalizer »[58] [54], a été proposé dans le cadre de l’amélioration des performances en termes de convergence du DFE ou ERD classique. Cet égali-seur possède une double structure qui lui procure cette capacité à converger plus vite qu’un DFE ou ERD classique tout en ayant des performances comparable en termes d’EQM que celui-ci. Cette double structure se décline selon le mode de fonctionnement du SADFE. Lorsque celui-ci est en mode de convergence c’est-à-dire que les filtres sont non-optimaux, c’est la structure de la figure 2.17 qui est utilisée. Cette structure possède deux parties essentielles : Un filtre récursif linéaire déterminé de façon adaptative par un critère autodidacte de type Godard (confère Section 4.5 de ce chapitre), et un filtre de prédiction de bruit déterminé par le critère du minimum d’erreur quadratique moyen (confère chapitre 2 sec-tion 4.4). Tout l’intérêt du SADFE repose sur le filtre prédicteur qui permet de réduire considérablement l’EQM à la sortie de l’égaliseur comparativement aux performances d’un DFE classique en phase de convergence.
6 Architectures classiques 87 ( ) 1 C z − ( ) 1 D z − ( ) B z ( ) H z W g e−jθ ejθ + -+ -+
--Figure 2.17 – Structure du SADFE en phase de convergence
Dans ce cas précis, il en découle une simplification de la structure de base de la figure 2.17 vers une structure plus simple équivalente à celle d’un DFE classique donnée sur la figure 2.18. Le basculement vers la structure du DFE classique est arbitré par le niveau de l’EQM à la sortie de l’égaliseur. Lorsque celui-çi est inférieur à certain seuil, défini entre autre par le type de modulation utilisée, alors le basculement intervient et le filtre optimal de la figure 2.18 est piloté par des symboles de décision qui sont fiables.
( ) 1 C z − ( ) B z ( ) H z W g e−jθ ejθ +
-Figure 2.18 – Structure du SADFE en phase de poursuite
Block-DFE Le DFE (Decision Feedback Equalizer) ou ERD temporel tel qu’il est d’écrit dans [44] est connu pour avoir de meilleures performances qu’un éga-liseur linéaire classique. Cependant, cet égaéga-liseur peut avoir une complexité très élevée quand on considère des canaux très dispersifs pour des raisons de traite-ment numérique du signal mais aussi de design en ce qui concerne les filtres avant et arrière de cet égaliseur. Pour cette raison, plusieurs versions de cet égaliseur basée sur un fonctionnement par bloc sont proposés par certains auteurs afin de réduire cette complexité. Nous pouvons citer par exemple l’égaliseur défini en [62] qui reconstitue exactement le fonctionnement du DFE classique en adoptant un traitement par bloc pour ses filtres avant et arrière. Le principal inconvénient de cette proposition est l’utilisation d’algorithme complexe à savoir l’algorithme de type Winograd [63] pour résoudre le problème de convolution de ces filtres. Ce-pendant, l’intérêt de cette technique d’égalisation par bloc repose sur la facilité à
l’adapter dans le domaine fréquentiel dans lequel le filtrage se réduit à une simple multiplication vectoriel.
Une autre proposition d’un égaliseur par bloc est proposée en [64] par les mêmes auteurs. Il s’agit de l’EBA-DFE ou « Efficient Block-Adaptive »DFE. Cette pro-position met en exergue le problème de causalité lié au traitement par bloc du filtre arrière de cet égaliseur. La solution adoptée est basée sur une technique ité-rative (voir EBA-DFE Chapitre 3 section 3.3) conduisant à la détermination du vecteur de décisions à la sortie de l’égaliseur.
6.3.2 AI :Annuleur d’Interférences
Ce type d’architecture est utilisé non pas directement en tant qu’égaliseur mais en tant que système améliorant les séquences égalisées auparavant par un autre égaliseur. Il est utilisé par exemple en turbo-égalisation. La Figure. 2.19 donne une représentation de cette architecture où la séquence {¯sk} est une estimation donnée par un autre égaliseur.
-+
Filtre adapté
kr
2y
ksˆ
k * * 2 s 2(1/ )
s wH z
σ
σ +σ
Filtre annuleur
ˆ
( )
k ks = f s
2( )
* * 2 s 2( ) (1/ ) 1
s wH z H z
σ
σ σ+ −
Figure 2.19 – Structure de l’égaliseur Annuleur d’Interférence (AI)
Comme pour l’ERD, le calcul des coefficients des filtres optimaux est rendu difficile dans le cas général. Cependant, en utilisant une hypothèse de décision correcte, ce calcul peut se faire facilement en supposant que les symboles ¯sk correspondent exactement à la source, c’est-à-dire ¯sk =sk. Dans ce cas, on montre que (voir [54] et [65])les filtres optimaux selon le critère du MEQM sont donnés par (2.87) et (2.88) :
F (z) = 𝜎2s
𝜎2 s + 𝜎2
6 Architectures classiques 89
B(z) = 𝜎2s 𝜎2
s + 𝜎2
w [H∗(1/z∗)H (z) − 1] (2.88)