D´efinition des sorties pond´er´ees

x^c_t,i(n) = xt,i(N − Nu+ n) si 0 ≤ n ≤ Nu− 1

x^c_t,i(n) = xt,i(n − Nu) si N_u ≤ n ≤ N + Nu− 1 ^(B.4) Nous pouvons alors exprimer xc

i(n) `a partir de xc t,i(n) :

x^c_i(n) = xc

t,i(ℓ), n = (N + Nu)t + ℓ. (B.5)

Dans la suite, nous utilisons la notation ˘· pour d´esigner la transform´ee de Fourier discr`ete sur N points, c’est-`a-dire physiquement la repr´esentation fr´equentielle d’une grandeur. Apr`es extraction du pr´efixe cyclique et transform´ee de Fourier discr`ete sur N points, en utilisant (B.3), nous pouvons ´ecrire :

˘yt,j(p) =^XnT

i=1

˘ht,ji(p)˘xt,i(p) + ˘nt,j(p), 0 ≤ p ≤ N − 1 (B.6) o`u t est l’indice de slot. Dansht,ji, il permet de refl´eter l’hypoth`ese d’invariance du canal sur la dur´ee de transmission d’un paquet de taille N + Nu et l’´eventuelle variation du canal sur deux blocs successifs (dans le cas d’une transmission de type TDMA par exemple). Cette ´equation admet une g´en´eralisation matricielle, qui est la suivante :

˘yt(p) = ˘Ht(p)˘xt(p) + ˘nt(p), 0 ≤ p ≤ N − 1 (B.7) avec ˘xt(p) = ^h˘xt,1(p) ˘xt,2(p) . . . ˘xt,nT(p)^iT, ˘yt(p) = ^h˘yt,1(p) ˘yt,2(p) . . . ˘yt,nR(p)^iT, ˘nt(p) =^h˘nt,1(p) ˘nt,2(p) . . . ˘nt,nR(p)^iT et ˘Ht(p) la matrice des nR× nT coefficients ˘h_t,ji(p).

B.2 D´efinition des sorties pond´er´ees

Dans ce paragraphe, nous nous appliquons `a d´ecrire les ´echanges d’information entre les quatre dispositifs principaux qui constituent le r´ecepteur it´eratif. Pour simplifier l’expos´e, nous nous pla¸cons dans le contexte du sch´ema OFDM. L’extension au sch´ema SC est directe : l’annu-leur d’interf´erence op`ere dans le domaine fr´equentiel alors que les convertisseurs pond´er´es sym-bole/binaire et binaire/symbole de mˆeme que le d´ecodeur de CCE fonctionnent dans le domaine temporel n´ecessitant l’insertion d’une transform´ee de Fourier discr`ete inverse en sortie de l’AI et une transform´ee de Fourier discr`ete en sortie du convertisseur binaire `a symbole.

Nous consid´erons que les ´el´ements binaires d’information sont ind´ependants et identiquement distribu´es. Nous les notons α(k). Ils sont cod´es par un code correcteur quelconque d’alphabet C. Un mot de code est not´ec et la k-i`eme composante d’un mot de code est not´ee c(k). Avant d’ˆetre modul´es, les ´el´ements binaires cod´es sont entrelac´es. La fonction d’entrelacement (respectivement d´esentrelacement) est identifi´ee par la fonction π (respectivement π⁻¹).

B.2.1 D´ecodeur de CCE

Le d´ecodeur de canal requiert en son entr´ee des logarithmes de rapport de vraisemblance (LRV) pour chacun des ´el´ements binaires cod´es. Notons Λdec

in (k) le logarithme de rapport de vraisem-blance relatif au bit c(k). Il est utilis´e dans le d´ecodeur pour d´efinir les probabilit´es a priori :

Pr(c(k) = ǫ|Λdec in (k)) = ^e ˜ǫλdec_{in (}k) 2 e λdec_in(k) 2 + e^−λdecin (k) 2 , ˜ǫ = 2ǫ − 1 (B.8)

Le d´ecodeur produit lui-mˆeme des LRV en exploitant la corr´elation introduite par le CCE. Le LRV relatif au bit c(k), produit par le d´ecodeur et not´e Λdec

out(k) s’exprime ainsi : Λdec out(k) = lnPr(c(k) = 1|Λdec in ) Pr(c(k) = 0|Λdec in ) = ln P c(ℓ)∈C|c^(ℓ)(k)=1Pr(c = c(ℓ)|Λ^dec_in ) P c(ℓ)∈C|c^(ℓ)(k)=0Pr(c = c(ℓ)|Λ^dec_in ) = Λdec in (k) + ln P c(ℓ)∈C|c^(ℓ)(k)=1Πm6=iPr(c(m) = c(ℓ)(m)|Λdec in (m)) P c(ℓ)∈C|c^(ℓ)(k)=0Πm6=iPr(c(m) = c(ℓ)(m)|Λdec in (m)) = Λdec in (k) + ωdec out(k). (B.9)

La quantit´e ω_out^dec(k) est appel´ee information extrins`eque produite en sorte du d´ecodeur. Il s’agit d’une information ind´ependante deΛdec

in (k), contribution de la contrainte de codage `a la connais-sance de l’´el´ement binaire c(k). Cette information constitue la deuxi`eme entr´ee du convertisseur symbole binaire. Le vecteurΛdec

out^{est utilis´e apr`es entrelacement pour fournir une estimation des} symboles d’interf´erence utilis´es dans l’annuleur d’interf´erence.

B.2.2 Convertisseur binaire symbole pond´er´e

Notons Λ^eq_in = π^Λdec out 

les logarithmes de rapport de vraisemblance fournis `a l’entr´ee du convertisseur binaire symbole. La fonction de ce dispositif est de fournir une estimation des symboles de modulation. Dans la suite, dans un souci d’all´eger les notations, nous n’indiquons les indices qu’en cas de n´ecessit´e et adoptons un formalisme g´en´erique. Un symbole de modulation quelconque est not´e s. Il appartient `a l’alphabet Q-aire Q. La fonction d’´etiquetage des paquets de log₂(Q) ´el´ements binaires ι =^hι₁ . . . ι_log2(Q)i

est bijective et est not´ee η :

η : ι ∈ {0, 1}log₂(Q)7→ s ∈ Q (B.10)

Etant donn´e un vecteur binaire ι, notons Λ le vecteur de LRV associ´e. Nous souhaitons d´efinir une estimation de s = η(ι) bas´ee sur la connaissance de Λ. Le plus simple est d’utiliser la r´egression lin´eaire qui fournit une estimation de s, not´ee ˆs, conditionnelle par rapport `a Λ et d´efinie par : ˆs = E[s|Λ] = ^X s^(ℓ)∈Q s^(ℓ)Pr(s = s(ℓ)|Λ) = ^X η(ι^(ℓ))∈Q η(ι(ℓ))Π^log2(Q) q=1 Pr(ιq= ι(ℓ) q |Λq), (B.11)

B.2.3 Convertisseur symbole binaire pond´er´e Notons ω^eq_in = π^ω_out^dec

. Dans le mˆeme souci d’all´eger les notations, nous adoptons un formalisme g´en´erique. Etant donn´e un symbole s, l’annuleur d’interf´erence fournit la variable de d´ecision ¯s. L’objectif du convertisseur symbole binaire pond´er´e est de produire un LRV binaire sur chaque ´el´ement binaire ιq participant `a la d´efinition de s, `a partir de ¯s et ω^eq_in vecteur d’information extrins`eque d´elivr´e en sortie du d´ecodeur de canal. Nous utilisons la mod´elisation de la sortie de l’annuleur d’interf´erence sous la forme ¯s = gs + ζ o`u g est un gain r´eel positif et ζ une variable complexe circulaire gaussienne centr´ee, de variance σ²_ζet ind´ependante de s. Pour chaque ´el´ement binaire ι_q intervenant dans la d´efinition de s, le logarithme de rapport de vraisemblance est calcul´e comme suit :

Λeq out(q) = ln^Pr(ιq = 1|¯s, ω^eqin) Pr(ιq = 0|¯s, ω^eq_in) = ln P η(ι(ℓ))∈Q|ι^(ℓ)q =1Pr(s = η(ι(ℓ))|¯s, ωin^eq) P η(ι(ℓ))∈Q|ι^(ℓ)q =0Pr(s = η(ι(ℓ))|¯s, ω_in^eq) = ln P η(ι(ℓ))∈Q|ι^(ℓ)q =1^p(¯s|s = η(ι(ℓ))) Pr(s = η(ι(ℓ))|ω^eq_in) P η(ι(ℓ))∈Q|ι^(ℓ)q =0^p(¯s|s = η(ι(ℓ))) Pr(s = η(ι(ℓ))|ω^eq_in) ^(B.12) Pour calculer (B.12), nous utilisons p(¯s|s = s(ℓ)) = 1

πσ²_ζ exp^−^|¯s−gs_σ2^(ℓ)|2 ζ  etPr(s = η(ι(ℓ))|ωin^eq) = Π^log2(Q) q=1 Pr(ιq =^(ℓ)q |ωin

eq(q)). Nous pouvons alors obtenir une information extrins`eque, qui sera inject´ee apr`es d´esentrelacement `a l’entr´ee du d´ecodeur : ω^eq_out= Λ^eq_out− ω^eq_in.

Annexe

C

Curriculum vitae

C.1 Etat civil^´

Karine CAVALEC, ´epouse AMIS

N´ee `a Landerneau (29) le 8 novembre 1974 Mari´ee, trois enfants

Maˆıtre de conf´erences

Institut Mines-T´el´ecom ; T´el´ecom Bretagne D´epartement Signal & Communications Technopˆole Brest-Iroise - CS 83818 29 238 Brest Cedex 3 - France

T´el´ephone : 02 29 00 13 59 T´el´ecopie : 02 29 00 10 12

E-mail : karine.amis@telecom-bretagne.eu