D´ efinition du probl` eme

Nous pouvons maintenant ´enoncer l’extension du probl`eme standard au cas reconfig-urable. Nous l’appelons<<probl`eme cyclique des K-plus-courts chemins reconfigurables sans conflits>>CRKPP.

• Probl`eme cyclique des K-plus-courts chemins reconfigurables sans conflits CRKPP Une instance du probl`eme consiste en un graphe orient´e G = (V, E), un cycle d’´emission de longueur T , et un ensemble fini de tables TDMA. Un nœud source donn´e s peut avoir une ou plusieurs tables qui lui sont attach´ees et qui peuvent ˆ

etre interchang´ees `a chaque cycle d’´emission. Une table TDMA δ attach´ee `a un nœud source s est sp´ecifi´ee par l’ensemble

M_δ^s = {µi = (s, ti, qi) : ti∈ V, qi> 0, i = 1, . . . , k_δ} des messages qui lui sont at-tach´es, o`u (s, t_i) est une paire origine/destination, et q_i le nombre de paquets. Le but est de sp´ecifier l’instant de d´epart de chaque message dans l’intervalle [0, T− 1] et les chemins origine/destination de longueur totale minimale de routage

Sp´ecification des flots de communication 49

des messages, tels que les chemins soient sans conflits quelle que soit la table TDMA qui est ´emise `a chaque cycle.

Il convient de noter que l’objectif du probl`eme est soit la minimisation de la somme des longueurs des chemins, soit la minimisation de la longueur du plus long chemin, alors que les contraintes r´esident dans l’occupation temporelle des arcs telle que les chemins soient sans conflits. Le CRKPP est une extension du CKPP dont on peut d´efinir une version min-sum, telle que dans l’´enonc´e, et une version min-max si l’objectif de-vient la minimisation de la longueur maximum d’un chemin.

3.3 Sp´ecification des flots de communication

Dans le NoC µSpider II [9], la sp´ecification des flots de communication attribu´es aux diff´erents IP est effectu´ee `a partir de l’analyse de l’application repr´esent´ee par des graphes de d´ependances de communications. O`u, chaque graphe repr´esente une tˆache. Les ´echanges entre les tˆaches repr´esentant les communications. Cette repr´esentation permet de calculer la bande passante r´eelle, et la taille des donn´ees maximale des communications ´echang´ees par les composants du NoC. Pour nous, nous partons d’un graphe de communication de l’application qui sp´ecifie les communications souhait´ees (ouvertes) entre un ensemble de composants IP, et nous pr´esentons le probl`eme de d´etermination des valeurs de flot de communication. Il s’agit d’un probl`eme de flot maximum qui ´etend la version donn´ee dans le chapitre pr´ec´edent pour le cas standard. Le but est de donner un ´eclairage sur la difficult´e `a ´elaborer des jeux de donn´ees valides pour le probl`eme et illustrer l’int´erˆet et les limites de l’approche de reconfiguration pro-pos´ee. Pour nos exp´erimentations, un de nos objectifs est de g´en´erer des jeux de tests al´eatoires en grand nombre r´epondant aux contraintes.

Soit Π = {1, 2, . . . P }, l’ensemble des IP pouvant ˆetre soit des nœuds source, soit des nœuds de destination. Pour prendre en compte des configurations d’´emission multi-ples, nous d´efinissons le graphe de communication de l’application (ACG^∗) comme une matrice multi-lignes ainsi qu’illustr´e `a la figure3.4-a. Les coefficients de cette matrice C = (c_ijk), avec 1≤ i, j ≤ P , 1 ≤ k ≤ Θi, et Θ_i le nombre de configurations d’´emission (ou tables TDMA) associ´ees au nœud i, sont tels que cijk= 1si une communication est allou´ee entre les deux IP i et j, via la table k, cijk = 0sinon.

En partant de la donn´ee d’un ACG, il s’agit de maximiser des valeurs de flot x_ijk repr´esentant le nombre de paquets associ´es `a chaque liaison source-destination (i, j) et table d’´emission k. Sachant que les tables TDMA d’un IP sont interchangeables `

a chaque cycle d’´emission de mani`ere ind´ependante et asynchrone relativement aux autres ´emetteurs, il convient de pr´eciser les contraintes qui d´efinissent un flot valide. Afin d’´eviter l’introduction de conflits en r´eception, les diff´erents ´emetteurs reli´es `a un r´ecepteur donn´e (colonne) doivent se partager chacun un montant maximum de trafic. La contrainte sur les ´emetteurs (lignes) reste inchang´ee par rapport au cas stan-dard. Nous appelons l’extension du probl`eme de g´en´eration de flot standard<<probl`eme

50 Probl`eme de routage reconfigurable avec garantie de trafic

Figure 3.4: Un ACG (a) et une configuration de flot reconfigurable (b).

d’injection de trafic reconfigurable>>(RTIP^∗). Il est d´efini par les conditions suivantes :

maximiser X

i,j∈{1,...,P } k∈{1,...,Θi}

cijkxijk (3.1)

sous les contraintes

X i∈{1,...,P } max k (c_ijkx_ijk)≤ T, ∀j ∈ {1, . . . , P } (3.2) X j∈{1,...,P }

c_ijkx_ijk≤ T, ∀i ∈ {1, . . . , P }, k ∈ {1, . . . , Θi} (3.3) c_ijkx_ijk ≥ cijks, ∀i, j ∈ {1, . . . , P }, k ∈ {1, . . . , Θi} (3.4) x_ijk∈ {0, . . . , T } (3.5)

Construire une instance de flot valide consiste `a g´en´erer une solution optimale ou sous-optimale de ce probl`eme. Un exemple de matrice de flot reconfigurable valide est donn´e `a la figure 3.4-b. Il correspond `a l’ACG de la figure 3.4-a. Les ´equations (3.2) et (3.3) traduisent respectivement les contraintes sur les colonnes et les lignes et donc sur les d´ecompositions de bande passante en r´eception et en ´emission respectivement.

Sp´ecification des flots de communication 51

donn´ee pour le cas standard, au cas reconfigurable par :

T SL =    ^X i max k X j cijkxijk  _/PET  × 100, (3.6)

o`u PE est le nombre d’IP ´emetteurs. Le TSL traduit le niveau maximum d’injection de trafic `a un instant donn´e. Il correspond `a une configuration donn´ee des TDMA qui max-imise la quantit´e de paquets inject´es dans le r´eseau. Cette valeur ne traduit cependant pas les b´en´efices de la reconfiguration. Pour cela, nous proposons une mesure de d´ebit visant `a refl´eter le degr´e de flexibilit´e obtenu par la reconfiguration. Nous l’appelons<< taux maximum de saturation d’un r´ecepteur>>(MRT^∗). Il est d´efini par :

M RT =    ^X i X j max k c_ijkx_ijk  _/PRT  × 100, (3.7)

o`u P<sub>R</sub> est le nombre d’IP r´ecepteurs. Cette mesure s’applique relativement aux r´ ecep-teurs. Elle traduit non pas le taux d’injection maximum de paquets dans le r´eseau `a un instant donn´e, mais le taux maximum d’absorption de paquets par un r´ecepteur, sachant que chaque r´ecepteur peut ˆetre consid´er´e `a un instant diff´erent, c’est-`a-dire chacun dans une configuration de TDMA qui maximise sa r´eception, et donc son utili-sation. Ce calcul a ´et´e effectu´e pour le cas de la matrice de flot de la figure 3.4-b. Le MRT et le TSL sont donn´es dans la cellule du coin inf´erieur droit de la matrice de flot. La figure3.5permet d’illustrer ´egalement l’int´erˆet de ces deux coefficients sur un cas simple. Deux configurations de trafic sont possibles suivant (a) et (b). On constate un TSL de 75%, pour un MRT de 100%. Cela signifie dans cet exemple qu’il existe pour chaque r´ecepteur une configuration de TDMA telle qu’il rec¸oive exactement un paquet par unit´e de temps. Un r´ecepteur est dans ce cas utilis´e `a plein. Si, sans perte de g´en´eralit´e, nous avons PE = P<sub>R</sub>, nous avons ´egalement T SL≤ MRT . Dans le cas de flot standard sans reconfiguration, ces mesures sont confondues. Nous pouvons donner le th´eor`eme suivant :

Th´eor`eme 2. Pour tout graphe de communication ACG, et tout flot de communication associ´e, MRT peut ˆetre rendu ´egal `a 100% par ajout de nouvelles configurations d’´emission, sans cr´eation de nouveaux canaux de communication.

Preuve Il suffit par ajout de tables TDMA (de lignes) aux ´emetteurs d’augmenter leur taux d’injection vers les r´ecepteurs (colonnes), ceux-ci ´etant consid´er´es un par un et s´equentiellement, en utilisant une communication d´ej`a ouverte dans l’ACG, de mani`ere `a saturer le r´ecepteur avec un total de T paquets, ´eventuellement en retirant des paquets vers les autres r´ecepteurs.

Autrement dit, il est toujours possible d’ajouter des tables TDMA de mani`ere `a ce que chaque r´ecepteur soit, `a un moment ou `a un autre, pleinement utilis´e (M RT = 100%) selon les canaux d´ej`a ouverts. Nous allons voir en revanche qu’en ce qui

con-52 Probl`eme de routage reconfigurable avec garantie de trafic

cerne les ´emetteurs, les m´ecanismes de reconfiguration asynchrones sont insuffisants dans certains cas pour garantir leur utilisation `a plein.

Figure 3.5: Possibilit´e de saturation maximum d’un r´ecepteur.