D´ efinition 5 Soient f et g deux courbes param´etriques d´efinies de I ⊂ dans 2 et de

I⁰ ⊂ dans ². L’intersection def et deg `a une tol´erance pr`es est d´efinie comme ´etant

{(t, t⁰)∈I×I⁰,kf(t)−g(t⁰)k ≤} (1.3)

Suivant cette d´efinition, d`es qu’un point defet un point degsont `a une distance inf´erieure

`a, ils sont consid´er´es en intersection. Cette d´efinition peut ´egalement ˆetre ´etendue aux

auto-intersections [Dubois, 2000]. Dans ce cas, il faut s’assurer que la courbe est bien revenue sur

ses pas pour qu’il y ait un conflit. L’auto-intersection est alors l’ensemble des intersections `a

pr`es des couples de segments disjoints s´epar´es par un segment dont la tangente d´ecrit un

secteur angulaire sup´erieur `a π.

D´efinition 6 Soitf une courbe param´etrique d´efinie deI ⊂ dans ². L’auto-intersection

de f `a pr`es est d´efinie comme ´etant

{(t, t0)∈I×I, ∃η >0,|t−t0|> η,

L’int´erˆet de ces d´efinitions est leur robustesse. Elles permettent de d´etecter tous les types

d’intersection de la mˆeme fa¸con et donnent toujours une r´eponse sur l’existence de

l’intersec-tion. Le seul probl`eme est la valeur de la pr´ecision. Il faut choisir unad´equat au probl`eme

trait´e. S’il est trop grand, les r´esultats ne correspondront pas aux int´erˆets de l’utilisateur.

S’il est trop petit, il peut persister des probl`emes num´eriques et les crit`eres d’intersection

peuvent ne pas ˆetre satisfaits.

1.2.3.3 Intersection de visualisation et intersection de mod´elisation

Dans la conception d’un syst`eme de CAO, deux types d’intersection sont distingu´ees : les

“intersections de mod´elisation” et les “intersections de visualisation”. Dans le premier cas, il

s’agit de d´efinir l’intersection `a la pr´ecision du mod`ele en coordonn´ees cart´esiennes (position

de l’intersection dans l’espace) et en coordonn´ees param´etriques. La tol´erance not´ee_mod est

donc faible afin d’avoir une mod´elisation math´ematique du r´esultat. Ceci est n´ecessaire par

exemple pour la mod´elisation d’un objet en CFAO.

Le deuxi`eme type d’intersection est li´e aux probl`emes de rendu et de visualisation d’une

sc`ene sur un support (´ecran ou carte papier par exemple). La pr´ecision de l’intersection

est donc li´ee `a la pr´ecision du support et est not´ee vis. Dans le cadre de la g´en´eralisation

cartographique, un des objectifs est d’obtenir une carte lisible. Nous disons donc qu’il y a

intersection visuelle entre deux segments de courbe si un crit`ere de lisibilit´e n’est pas

sa-tisfait. Ce crit`ere est li´e `a l’´echelle de la carte. Les intersections sont donc bien d´efinies `a

une tol´erance pr`es mais cette tol´erance est beaucoup plus grande que la pr´ecision requise

pour les intersections de mod´elisation. Nous appelons cette tol´erance la distance de

lisibi-lit´e. Elle d´epend de deux choses : l’´epaisseur du trait de crayon utilis´e pour le trac´e et la

distance n´ecessaire pour que l’observateur puisse percevoir deux courbes distinctes sur la

carte [Ruas et Bianchin, 2002]. Sur les figures 1.3 et 1.4, nous avons deux exemples

d’auto-intersection visuelle. Sur la premi`ere figure `a gauche, il n’y a pas d’auto-d’auto-intersection mais `a

droite, le trait est plus ´epais et il y a auto-intersection visuelle. Sur la figure 1.4, le trait est

le mˆeme que sur la courbe de gauche mais il y a auto-intersection parce que l’´echelle est plus

petite. Sur les deux figures, il y a un conflit qui doit ˆetre corrig´e pour que l’information soit

lisible.

1.3 Les m´ethodes de d´etection

Les diff´erentes m´ethodes de d´etection des intersections entre courbes param´etriques

peuvent ˆetre r´eparties en trois cat´egories. Nous pr´esentons dans un premier temps les

m´ethodes alg´ebriques et les m´ethodes non lin´eaires fond´ees sur des m´ethodes num´eriques.

En-suite, nous expliquons le principe des m´ethodes g´eom´etriques. Ces m´ethodes sont it´eratives.

A chaque ´etape, nous testons s’il n’y a pas intersection et nous segmentons les courbes. Nous

nous int´eressons `a deux points : les volumes englobants utilis´es pour tester les intersections et

57 58 59

56.5 57.5 58.5 59.5

33

34

32.5

33.5

34.5

Fig.1.3 —Auto-intersection visuelle due `a l’´epaisseur du trait.

Fig. 1.4 —Auto-intersection visuelle due au changement d’´echelle.

les m´ethodes de segmentation des courbes. Enfin, nous abordons le cas des auto-intersections.

1.3.1 Les m´ethodes alg´ebriques et non lin´eaires

Ces m´ethodes transforment le probl`eme d’intersection en la r´esolution d’un syst`eme

d’´equations. Ces m´ethodes peuvent ˆetre directes ou it´eratives. Dans la litt´erature, elles sont

pr´esent´ees pour des courbes de B´ezier. Lorsque les courbes sont repr´esent´ees sous forme

B-spline, il faut les transformer en ins´erant des nœuds dans le vecteur nodal afin qu’ils soient

tous de multiplicit´e k ´egale `a l’ordre de la spline (r´esultat 1).

1.3.1.1 Les m´ethodes alg´ebriques

La mise en ´equation du probl`eme d’intersection impose pour ces m´ethodes

[Sederberg et Parry, 1986, Manocha et Demmel, 1994] la connaissance d’une entit´e sous sa

forme implicite (c’est-`a-dire, sous la forme d’une ´equation f(x, y) = 0). Les points

d’inter-section entre deux courbes f et g o`uf est une fonction implicite de 2 dans et g est une

fonction param´etrique de I ⊂ dans ² sont les solutions de f(g(t)) = 0.

Les d´emarches ´elabor´ees sont issues de la g´eom´etrie alg´ebrique et font appel `a la notion de

r´esultant. Le r´esultant est un polynˆome `a deux inconnues calcul´e `a partir de deux polynˆomes

f₁ et f₂ `a valeurs r´eelles. Il est d´efini de mani`ere `a s’annuler lorsque les deux polynˆomes ont

[Manocha et Demmel, 1994].