R´ecemment, des m´ethodes de d´eformation fond´ees sur la modification du vecteur de nœuds

ont ´et´e pr´esent´ees [Hoffmann et Juh´asz, 2001, Goldenthal et Bercovier, 2003]. La premi`ere

m´ethode permet de d´eplacer un nœud pour interpoler un point donn´e. Le polygone de contrˆole

n’´etant pas modifi´e, le point doit se trouver dans l’enveloppe convexe. Les solutions offertes

sont donc limit´ees car la courbe est d´eplac´ee `a l’int´erieur de l’enveloppe convexe du polygone

de contrˆole. Par cette restriction, nous ne pouvons pas garantir que les contraintes soient

toujours respect´ees.

Dans la deuxi`eme m´ethode, les auteurs consid`erent le probl`eme d’approximation ou

d’in-terpolation de points par une courbe B-spline comme un probl`eme d’optimisation o`u la

fonc-tion de coˆut est, suivant l’objectif `a atteindre, l’erreur d’approximation ou un crit`ere sur la

forme de la courbe. La fonction de coˆut d´epend des diff´erentes variables d´efinissant la courbe

B-splines, c’est-`a-dire, les coordonn´ees des points de contrˆole, la param´etrisation et le vecteur

de nœuds. La solution optimale est calcul´ee it´erativement. A chaque ´etape, la fonction coˆut

est optimis´ee en fonction du vecteur de nœuds puis en fonction de la param´etrisation.

L’al-gorithme est arrˆet´e lorsqu’une solution stable est atteinte. Cette m´ethode permet de prendre

en compte des crit`eres de formes pour l’approximation de donn´ees. Le probl`eme est que la

m´ethode est relativement lente puisque, d’apr`es ses auteurs, la r´esolution du probl`eme peut

prendre plusieurs minutes pour une courbe avec une dizaine de points de contrˆole.

Plus couramment, les d´eformations se font en d´epla¸cant les points de contrˆole. Une

m´ethode ´el´ementaire serait de construire une courbe B-spline approchantlmin. Le probl`eme

est de s’assurer que la courbe est toujours du bon cˆot´e de lmin. Des conditions sur

les d´eriv´ees peuvent ˆetre ajout´ees pour contraindre la forme de la courbe [Dietz, 1996,

Berglund et al., 2001]. Des pond´erations peuvent ´egalement ˆetre introduites pour que la

courbe soit plus proche de certains points que d’autres mais nous ne pouvons jamais garantir

que la contrainte de lisibilit´e est respect´ee. Il existe ´egalement des m´ethodes locales

d’approxi-mation visant `a corriger certains artefacts apparaissant sur une ligne. Dans [Farin, 1992], une

m´ethode est pr´esent´ee o`u l’on applique un sch´ema de subdivision dans le sens inverse pour

r´eduire le nombre de points de contrˆole. Le probl`eme est que la solution n’est pas toujours

va-lide et nous ne contrˆolons pas le d´eplacement final. Enfin, la courbe peut ´egalement ˆetre liss´ee

localement en corrigeant les points donnant une mauvaise approximation [Zhang et al., 2001] :

lorsqu’un point n’est pas bon, l’´energie de d´eformation est minimis´ee localement et une

nou-velle position est calcul´ee.

Les m´ethodes pr´esent´ees ont toutes la mˆeme limite : dans le cadre de la g´en´eralisation

marine, elles ne permettent pas de garantir que le conflit soit corrig´e et que la contrainte

de lisibilit´e soit respect´ee. En effet, le probl`eme n’est pas d’approcher au mieux lmin mais

de d´efinir une courbe situ´ee enti`erement du mˆeme cˆot´e de l_min. Nous n’avons pas trouv´e

dans la litt´erature de m´ethodes r´epondant `a ce probl`eme. Une m´ethode d’interpolation avec

des contraintes de positivit´e est pr´esent´ee dans [Meek et al., 2003] mais cette m´ethode est

appliqu´ee aux courbes rationnelles non polynomiales. La positivit´e est ´etablie en modifiant

les poids des fonctions et non les nœuds ou les points de contrˆole.

3.3.1.3 D´eformation de courbes par des approches m´ecaniques

Les approches m´ecaniques consistent `a appliquer des forces aux points `a d´eplacer, ces

forces ´etant d´efinies en fonction des contraintes `a respecter. Des forces internes reliant les

points entre eux sont ´egalement d´efinies. De ce fait, lorsqu’un point est d´eplac´e par l’action

d’une force, la d´eformation est propag´ee aux autres points. Nous pr´esentons deux mod`eles

m´ecaniques utilis´es en g´en´eralisation cartographique.

Le mod`ele des ressorts Un mod`ele utilisant des ressorts est pr´esent´e dans [Bobrich, 2001]

pour la d´eformation de polylignes. Les segments reliant les points sont assimil´es `a des ressorts

sous tension. En fonction des conflits `a corriger, les points peuvent ˆetre fixes ou libres. Des

ressorts de torsion sont ´egalement plac´es autour des points pouvant ˆetre d´eplac´es (figure 3.8).

Lorsque des points sont modifi´es, les points situ´es dans le voisinage sont ´egalement d´eplac´es.

Les nouvelles positions sont calcul´ees en minimisant la somme des potentiels des ressorts de

tension et de torsion. La minimisation se fait par une m´ethode de descente.

P0

Pi

Pi−1 Pi+1

Rc

Rc Rc

Rt Rt Rt

Fig.3.8 —Mod`ele des ressorts :P0est un point fixe,Rtsont les ressorts de torsion (d’apr`es

[Bobrich, 1996]).

Les r´eseaux de barres Les r´eseaux de barres ont ´et´e introduits pour la mod´elisation de

courbes et de surfaces par L´eon dans [L´eon et Trompette, 1995]. Les auteurs pr´esentent une

m´ethode de d´eformation de courbes o`u le polygone de contrˆole est assimil´e `a un r´eseau de

barres. Les d´eformations sont effectu´ees en modifiant les forces internes donnant la tension

dans les barres ou les forces externes appliqu´ees aux points de contrˆole. L’int´erˆet de la m´ethode

est que la condition d’´equilibre s’exprime sous la forme d’un syst`eme d’´equations lin´eaires.

La d´eformation peut ˆetre contrˆol´ee en fixant la position de certains points de contrˆole et en

laissant les autres points libres. La m´ethode de L´eon est pr´esent´ee en annexe A.

Les r´eseaux de barres ont ´et´e utilis´es pour le lissage et le d´eplacement d’isobathes

repr´esent´ees par des courbes B-splines dans [Saux, 1999]. L’objectif est de lisser une courbe

en d´epla¸cant ses points de contrˆole tout en tenant compte de la contrainte de s´ecurit´e,

c’est-`a-dire, en la d´eformant dans le sens des profondeurs d´ecroissantes. L’op´eration se fait en deux

´etapes. D’abord, il faut choisir les points de contrˆole fixes et libres. Pour cela, nous fixons

les points de contrˆole situ´es du cˆot´e de la plus grande profondeur par rapport `a la courbe.

Les autres points de contrˆole sont laiss´es libres. Ensuite, les points de contrˆole libres sont

d´eplac´es dans le sens des profondeurs croissantes. De ce fait, la s´ecurit´e est pr´eserv´ee et la

courbe est liss´ee puisque les points de contrˆole libres sont plus proches des points fixes.