3.3 Modélisation de la fonction de température des amas X
3.3.6 Effets de sélection
Z z 0 h Ωm(1 +x)3+ 1−Ωm i−1/2 dx 3 (3.15) avec H0 = 100hkm.s−1.Mpc−1. 3.3.6 Effets de sélection
Le calcul de la fonction de température nécessite une fonction de sélection en température. En pratique il est beaucoup plus simple de déterminer une fonction de sélection en luminosité plutôt qu’en température. Il est donc nécessaire d’exprimer
le N(> T) à partir de cette fonction de sélection en luminosité.
Pour des échantillons à grand redshift, le cut en redshift appliqué entraîne un cut en luminosité. Ainsi en dessous d’une certaine luminosité, le volume de détection se retrouve nul. Une partie des amas à un z donné sera alors manquante et on aura une perte d’information entraînant alors une sous-estimation de la distribution. Cet effet se manifeste principalement aux faibles températures par l’apparition d’un affaissement (c’est-à-dire proche de la luminosité seuil) lors de la détermination de la fonction de température. Ainsi, en utilisant ces distributions dans la détermination des paramètres cosmologiques, le modèle chercherait à passer par tous les points, ce qui pourrait biaiser le résultat final.
Dans le cas de notre échantillon local flux-limité, le volume de détection d’un amas n’est pas nul quelle que soit la luminosité. Les effets de sélection sont donc absents. La figure (3.11) montre les distributions en température obtenues à partir des données des amas X des échantillons locaux (triangles noirs) et profonds (carrés de couleurs). Les barres d’erreurs sont déduites à partir la variance de l’estimateur par :
σ2(> T)≡ X
Ti>T
1
V2(Ti) (3.16)
Comme notre estimation de la fonction de température est non biaisée et qu’elle repose sur le fait que le volume de détection d’un amas n’est pas nul, il faut donc corriger ces effets de sélection en corrigeant notamment les volumes de détection. Pour les échantillons les plus profonds, l’espace des redshifts étant restreint, on va donc prendre en compte les amas qui n’auraient pas été sélectionnés à travers l’algorithme de sélection. On écrira alors :
Z +∞
Lseuil
n(T, L)dT dL=N(> T)Z +∞
Lseuil
p(L, T)dL (3.17) où p(L, T) représente la probabilité qu’un amas de température T ait une lumino-sité L. Ainsi, la distribution des amas en température s’écrira comme l’estimateur suivant : N(> kBT)≡ R+∞ 0 n(T, L)dL R+∞ Lseuiln(T, L)dL X i 1 Vmax,i =w(T, Lseuil)X i 1 Vmax,i (3.18) oùn(T, L) est la distribution des amas ayant une température T et une luminosité
L. Le facteur w(T, L) est alors un facteur de pondération permettant la correction en volume. L’avantage de cette relation c’est qu’elle reste valable quel que soit le seuil en luminosité que l’on choisira.
Pour les échantillons à grand redshift, la luminosité est aussi à corriger des effets d’évolution. En supposant que l’on puisse écrire :
L−T|z = e(z)L−T|z=0 (3.19) avec par exemple : L−T|z=0 =ATα, on aura alors :
L−T|z =e(z)ATα (3.20) En injectant cette relation dans l’équation (3.17), on peut en extraire une forme analytique pour le facteur de pondération par :
w(T, Lseuil)'
R+∞
0 n(T, L)dL
R+∞
Lseuil/e(z)n(T, L)dL (3.21) En pratique, la détermination du facteur w(T, Lseuil)se fait soit de manière ana-lytique soit en utilisant l’échantillon local. Dans le premiers cas on peut considérer que la distribution des points autour de la loiL−T est log-normale. Le coefficient s’écrira alors : w(T, Lseuil) = " Z +∞ Lseuil 1 √ 2πσexp −(lnl−lnL(T))2 2σ2 !#−1 dlnL (3.22)
Figure 3.12 – Fonctions de température corrigées des effets de sélection issues des ob-servations des amax X. Ces amas proviennent des survey 400deg2 et MACS ainsi que de la base de données BAX.
Echantillon z α A Dispersion e β Locala 0.0−0.10 2.219±0.118 0.0336+0.0063 −0.0053 0.53 – – Localb 0.0−0.10 2.163±0.115 0.0676+0.0123 −0.0104 0.52 – – 400 deg2 C1a 0.35−0.45 (2.219) 0.0876+0.0159 −0.0135 0.53 2.61 3.37 400 deg2 C2a 0.45−0.55 (2.219) 0.0625+0.0048 −0.0045 0.26 1.86 1.84 400 deg2 C3a 0.55−0.88 (2.219) 0.0857+0.0160 −0.0135 0.34 2.29 2.46 MACS 2010b 0.30−0.45 (2.163) 0.150+0.0140 −0.0128 0.52 2.21 3.15 MACS 2007b 0.50−0.70 (2.163) 0.138+0.0178 −0.0157 0.40 2.05 1.85
Table3.4 –Résumé des valeurs des paramètres de la relationL−T déduits des différents échantillons. L’exposant a signifie que la bande d’énergie considérée est la bande [0.5-2] keV. L’exposant b est pour la bande [0.1-2.4] keV.
où L(T) est donnée par la relation d’échelle L−T.
Dans le deuxième cas, on prend en compte le fait que la pente de la relation
L−T ne change pas avec le redshift ce qui permet de supposer que la pente entre la luminosité et la température, dans tous les échantillons étudiés, reste la même (voir équation (3.20)).
La luminosité seuil d’un échantillon profond sera prise comme étant la luminosité la plus faible de l’échantillon. En corrigeant des facteurs d’évolution on déduit la valeur de cette luminosité L0 à z = 0 c’est-à-dire localement. En considérant que l’échantillon local est complet, on effectue un cut en luminosité, correspondant àL0. En réeffectuant le calcul de la distribution en température pour l’échantillon local coupé, on obtient une nouvelle distribution légèrement différente.
le coefficient w(T, Lseuil) qui rend compte de l’incomplétude pour une température
T et à une luminosité seuil Lseuil.
Le fit analytique étant plus satisfaisant, il sera adopté dans tout le reste de cette étude. La figure (3.12) donne les fonctions de température corrigées du facteur
w(T, Lseuil)analytique. Les valeurs pour les différents coefficients de la relationL−T
sont données dans le tableau (3.4). On note cette fois-ci que l’affaissement disparaît totalement ce qui permettra une meilleure utilisation pour l’étude statistique. Notons aussi que l’échantillon 400deg2 a été divisé en trois sous-échantillons C1, C2 et C3, ce qui permet de mieux sonder la gamme de redshift couverte. Ainsi les sous-échantillons auront respectivement un redshift moyen dezmoy,C1 = 0.4,zmoy,C2 = 0.5
etzmoy,C3 = 0.7.
Afin de maîtriser complètement toutes les systématiques, un cut en température a été effectué afin d’enlever les amas pour lesquels la correction de volume est beaucoup trop importante. Ainsi ne seront utilisés que les amas dont la température estT1 >3
keV pour le sous-échantillon C1 etTM10 >7keV pour l’échantillon MACS de 2010.