Effet tunnel et activation thermique

5

V_S [mV]

I p

[

µ

A]

I

c

2∆

R

shunt

V

sg

Figure 4.7 – Caractéristique

courant-tension de l’échantillon

S_QB pour un flux de polarisation

de Φp = 0.415Φ0.

extraites dans la suite du manuscrit, est en bon accord avec la valeur mesurée V_sg^exp =

180µV.

4.2 Processus d’échappement

Proche du courant critique l’état fondamental de la particule, piégée en fond de puits,

a un temps de vie fini et l’échappement de la particule est un processus probabiliste. Cet

échappement est exponentiellement dépendant de la hauteur de la barrière de potentiel.

La première partie rappellera les deux processus d’échappement : l’activation thermique

et l’effet tunnel macroscopique. Puis nous verrons comment se déroule expérimentalement

la mesure de la probabilité d’échappement. Nous présenterons ensuite les mesures de

pro-babilité d’échappement à courant fini. Nous verrons ensuite que les mesures de propro-babilité

d’échappement à courant nul ont necessité la mise au point d’une nouvelle méthode de

mesure. La comparaison avec les prédictions du modèle MQT nous permettra d’extraire

avec précision les paramètres des SQUIDs.

4.2.1 Effet tunnel et activation thermique

Considérons la situation où la particule est piégée dans un puits de potentiel. On

sup-pose que la particule est localisée en fond de puits dans la direction transverse au chemin

de minimum énergie. On peut alors se limiter à l’étude de la dynamique

unidimension-nelle de la particule le long de ce chemin de minimum énergie. La figure 4.8 représente

schématiquement le potentiel le long de cette direction. Celui-ci présente une barrière de

potentiel ∆U et la particule oscille en fond de puits, caractérisée par sa fréquence propre

longitudinale ν_k. Le temps de vie de cet état de tension nulle est fini car deux mécanismes

permettent à la particule de s’échapper du puits : elle peut sauter la barrière par activation

thermique (AT) ou la traverser par effet tunnel.

Le taux d’échappement par activation thermiqueΓAT

0 est donné par [71, 43] :

Figure 4.8 – Processus d’échappement par

activation thermique (AT) et effet tunnel

ma-croscopique (MQT). Passage d’un état de

tension moyenne nulle à un état de tension

moyenne finie.

G

0 MQT

G

0 AT

Activation thermique

Effet tunnel

V = 0_s

_

V _s

_

2D

e

_

x _//

U

DU

//

n

Γ^AT₀ (I_p,Φ_p, T) = a⊥ν_k exp

−^∆U

kbT

(4.6)

où k_b est la constante de Boltzman. Le préfacteur a_⊥ est égal au rapport entre les

fréquences du mode transverse en fond du puits et au point col.

A basse température, l’activation thermique devient négligeable. Ce processus est alors

relayé par l’effet tunnel macroscopique (MQT, pour Macroscopic Quantum Tunneling).

Dans la limite où le potentiel du SQUID dans la direction longitudinale ne comporte qu’une

famille de puits, il a été vérifié que l’effet tunnel était bien décrit par la loi

unidimension-nelle connue pour les jonctions Josephson sous amorties [64]. Le taux d’échappement par

effet tunnel Γ^{M QT}₀ est donné par [72] :

Γ^{M QT}₀ (Ip,Φp) = 12

s

6π∆U

hνk

νk exp

−³⁶

5

∆U

hνk

(4.7)

La transition entre le régime MQT et le régime d’activation thermique a lieu pour une

température T^∗donnée par :

T^∗ = ^hνk

2πk_b (4.8)

La fréquence du mode longitudinal proche de l’échappement est au minimum de10GHz

pourS_QB et de 5GHz pour S_2D. On obtient alors des températures de transition

respec-tives deT_QB^∗ = 80mK etT₂^∗_D = 40mK. La température du cryostat est deT = 40mK et

il faudra donc tenir compte de la contribution résiduelle de l’échappement par activation

thermique dans le SQUID S₂D.

La probabilité d’échappement pendant une durée ∆t s’écrit :

P_ech(I_p,Φ_p,∆t, T) = 1−exp^h−(Γ^AT₀ + Γ^{M QT}₀ )∆tⁱ (4.9)

Cas du potentiel quadratique-quartique Comme nous l’avons décrit dans le chapitre

2, proche du courant nul et d’un demi quantum de flux plusieurs états de flux peuvent

coexister. Un potentiel type dans cette zone est présenté dans la figure 4.9. Celui-ci est

très différent d’un potentiel en tôle ondulée et cela a deux conséquences.

Figure 4.9 – Forme du potentiel proche du

courant nul et d’un demi quantum de flux.

La particule peut s’échapper à travers deux

barrières de potentiel.

//

n

x _//

U

G

G

G

D

DU DU

G D

D’une part deux chemins d’échappements sont possibles. Nous considérerons ici que

le taux d’échappement total Γ^{M QT}₀ est simplement la somme du taux d’échappement à

travers la barrière de potentiel de gauche Γ_G et à travers la barrière de potentiel de droite

Γ_D :

Γ^{M QT}₀ (I_p,Φ_p) = Γ_D+ Γ_G (4.10)

D’autre part, la loi MQT pour un potentiel cubique (4.7) n’est plus valable pour

estimer Γ_G et Γ_D. En effet le potentiel ne peut plus être localement approximé par un

potentiel de type quadratique-cubique. Il faut alors prendre un compte un terme quartique

supplémentaire. Nicolas Didier a, durant sa thèse[73], calculé le taux d’échappement tunnel

dans un potentiel général, quadratique-cubique-quartique, en utilisant le formalisme des

instantons. Hors de la zone de coexistence entre deux états de flux, ces résultats convergent

vers la loi pour un potentiel quadratique-cubique. A l’opposé, il existe une limite analytique

lorsque que l’on se trouve dans la situation particulière où le potentiel est totalement

symétrique par rapport au minimum dans lequel est piégée la particule (casI_p = 0). Dans

ce cas ∆U_G = ∆U_D et Γ_D = ΓG. Le taux d’échappement Γ^{M QT}₀ est donné par la loi

suivante :

Γ^{M QT}₀ = 16

s

2π∆U

hνk

νk exp

−¹⁶

3

∆U

hνk

(4.11)

La différence la plus notable avec la loi de MQT dans un potentiel quadratique-cubique

est le préfacteur dans la fonction exponentielle, qui vaut maintenant 16/3au lieu de36/5.

Entre les deux cas limites, les formules sont plus complexes et sont résolues

numéri-quement. Pour de plus amples détails, nous renvoyons au manuscrit de thèse de N. Didier

[73].

Dans le document Dynamique quantique dans un dcSQUID : du qubit de phase à l'oscillateur quantique bidimensionnel (Page 85-88)